楊燦權(quán) 李馨 王紅權(quán)

摘? 要：文章通過(guò)研究6個(gè)幾何定值問(wèn)題的解法，發(fā)現(xiàn)代數(shù)法是解決幾何定值問(wèn)題的通法，其本質(zhì)是消元;而幾何法是直觀、易懂、深刻地理解幾何定值問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合方能揭示定值背后的秘密.

關(guān)鍵詞：定值;代數(shù)消元;幾何意義

研究圖形的性質(zhì)就是研究圖形要素之間確定的關(guān)系，它是幾何研究中最重要的一環(huán). 在練習(xí)題和考試題中都會(huì)涉及多個(gè)基礎(chǔ)圖形的組合，如求解或者證明某些問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)就是在理解圖形結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上對(duì)新圖形進(jìn)行性質(zhì)探究. 數(shù)學(xué)是確定性的科學(xué). 幾何定值是指當(dāng)幾何元素按照一定的規(guī)律在確定的范圍內(nèi)變化時(shí)，與其相關(guān)的某些幾何量始終保持不變. 當(dāng)學(xué)生遇到定值問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)冥思苦想其解答方法，然后驚嘆于命題人是如何想到這么巧妙的構(gòu)思的. 事實(shí)上，“確定”依賴于一些圖形的結(jié)構(gòu)或者代數(shù)特征.

很多文獻(xiàn)對(duì)定值問(wèn)題進(jìn)行了研究，但是都是對(duì)單個(gè)或者某一類問(wèn)題的研究. 這不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，也說(shuō)明此幾何定值問(wèn)題之難，還有很多未解的幾何定值之謎等待探索，較難形成完整的體系. 本文也進(jìn)行了一些嘗試，從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面去揭開(kāi)“定值”的神秘面紗.“數(shù)”往往可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，“形”往往可以加強(qiáng)理解.

一、代數(shù)方法的本質(zhì)是消元

首先，定值問(wèn)題應(yīng)是一個(gè)變中求不變的過(guò)程，所以它的先決條件是變化;其次，研究變化的重要工具是函數(shù)，用以刻畫(huà)量與量之間的依賴關(guān)系;再次，需要確定變量，即需要知道哪些量能讓圖形確定不變;然后，用定量表示出圖形中所有其他的量;最后，通過(guò)代數(shù)變形，消去中間變量，得到定值. 從函數(shù)的角度看，定值源于可消元.

筆者通過(guò)以下3道例題具體闡釋這個(gè)過(guò)程.

例1中并未給出矩形的邊長(zhǎng)大小，因而此題的結(jié)論不會(huì)因?yàn)榫匦蔚男螤罡淖兌淖? 從定性上分析，只要矩形的兩條邊長(zhǎng)確定，矩形也就確定，線段AG，EG，F(xiàn)G的長(zhǎng)也隨之確定. 所以設(shè)矩形的兩條相鄰邊長(zhǎng)分別為a和b. 首先，分別用a，b表示出AG，F(xiàn)G，EG的長(zhǎng);然后，用EG，F(xiàn)G表示a和[ab];最后，代入就可得到AG，EG，F(xiàn)G的關(guān)系. 從以上過(guò)程可以看出，a和b是解答過(guò)程中的參數(shù)，是過(guò)渡的橋梁. 事實(shí)上，還可以發(fā)現(xiàn)圖形中任意3條線段都會(huì)存在某種固定關(guān)系，只是有時(shí)很難用一個(gè)表達(dá)式表示，或者表達(dá)式不夠美觀，更或者結(jié)論過(guò)于平凡.

證法3相較于前兩種證法的優(yōu)勢(shì)是明顯的. 第一，整個(gè)證明過(guò)程清晰明了，簡(jiǎn)單易懂，前面兩種證法對(duì)代數(shù)變形的要求較高. 第二，有利于結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，而不僅僅停留于結(jié)論的證明. 若用對(duì)角線BD和∠ADB來(lái)確定矩形，然后表示出GE和GF的長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系是很容易發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的. 此外，還可以發(fā)現(xiàn)[GEBD23+GFBD23=1]等. 第三，變量減少了. 事實(shí)上，待求證的等式兩邊是齊次的，即比例之和為常數(shù)，故只需要在相似的背景中就能得到相同的結(jié)論. 所以這是基于對(duì)問(wèn)題的深刻理解所做出的決策. 這種三角換元思想，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中非常重要，其目的還是消元.

有學(xué)生會(huì)覺(jué)得奇怪，DP的長(zhǎng)都確定了，那么圖形也應(yīng)該是確定的，談何變化？事實(shí)上，即使DP的長(zhǎng)是確定的，這個(gè)矩形依舊是無(wú)法確定的，那么確定這個(gè)矩形還需要兩個(gè)條件嗎？其實(shí)不然，因?yàn)槿鬉B的長(zhǎng)確定，則△ABP確定，則整個(gè)矩形也確定了. 所以只需設(shè)一個(gè)變量，可以依舊設(shè)角度，若設(shè)邊長(zhǎng)則需要較強(qiáng)的代數(shù)變形能力. 不妨以∠PBC作為變量進(jìn)行研究.

PD的長(zhǎng)應(yīng)是一個(gè)關(guān)于角[α]的函數(shù)，最后卻未出現(xiàn)角[α]，是因?yàn)閟in2[α]和cos2[α]的系數(shù)相等，所以合并后變成一個(gè)常數(shù). cos2[α]+sin2[α] = 1這個(gè)公式是很多定值問(wèn)題的根源，當(dāng)然其本質(zhì)是運(yùn)用勾股定理和平面圖形的特征解決問(wèn)題. 通過(guò)配湊系數(shù)，使得sin2[α]和cos2[α]合并后為定值，就出現(xiàn)很多定值問(wèn)題.

例3? 如圖5，扇形OAB的半徑[OA=3，] 圓心角[∠AOB=90°，] 點(diǎn)C是[AB]上異于點(diǎn)A，B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作[CD⊥OA]于點(diǎn)D，作[CE⊥OB]于點(diǎn)E，連接DE，點(diǎn)G，H在線段DE上，且[DG=GH=HE.] 求證：[CD2+3CH2]是定值.

例3中同樣是一個(gè)已知對(duì)角線的矩形. 只需設(shè)一個(gè)變量，即設(shè)[∠CED=α.] 若分別設(shè)矩形的兩邊長(zhǎng)，然后利用勾股定理得到一個(gè)方程，同樣可以解決問(wèn)題. 但設(shè)邊長(zhǎng)是一個(gè)先增元再消元的過(guò)程，如果在表示上沒(méi)有很明顯的便利，那么無(wú)需增元. 設(shè)一個(gè)變量其實(shí)是從函數(shù)的觀點(diǎn)去解圖形，能從本質(zhì)上理解它的變化過(guò)程.

所證結(jié)論中[CH2]的系數(shù)3是怎么來(lái)的？不妨設(shè)[CD2+][tCH2]是定值，則有[9+tsin2α+4tcos2α]是定值，所以[9+t=4t.] 解得[t=3.] 更一般地，設(shè)點(diǎn)H為DE靠近點(diǎn)E的k等分點(diǎn)，根據(jù)上面的分析很容易得到[t=][kk-2k≥3.]

通過(guò)以上3道例題可以清晰地看到，從函數(shù)的視角出發(fā)，通過(guò)“設(shè)元—表示—消元”能較好地發(fā)現(xiàn)和解決定值問(wèn)題. 借助三角函數(shù)有時(shí)則會(huì)更有效、更便捷. 從代數(shù)上看它是一種換元法，從幾何上看它是二維的量，包含了比線段更多的信息.

此外，這種代數(shù)消元的方法意義深遠(yuǎn)，解析幾何就是用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何圖形的特征. 高中圓錐曲線的內(nèi)容經(jīng)常會(huì)涉及求定點(diǎn)、定直線的問(wèn)題. 例如，“拋物線簇[y=x2-2m+1x+2-m]必過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)”“其頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡又是什么”等問(wèn)題，其本質(zhì)都是消元.

二、幾何理解的本質(zhì)是結(jié)構(gòu)

從某種程度上講，幾何問(wèn)題可以分為定量幾何和定性幾何. 定量幾何主要借助面積法、勾股定理、相似三角形和三角函數(shù)等方法，計(jì)算的比重較大. 如前面所述，往往可以借助代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題. 而定性幾何主要解決“等”與“不等”的問(wèn)題，依賴于平面的結(jié)構(gòu)——對(duì)稱性和平行性. 本文反其道而行之，先采用代數(shù)方法求解，后利用幾何解釋的方法來(lái)解決定值問(wèn)題.

下面的例4和例5，無(wú)論是條件還是結(jié)論都很類似，那么它們背后的秘密又是什么呢？

對(duì)于例4和例5，通過(guò)代數(shù)法都能很好地解決問(wèn)題，這說(shuō)明代數(shù)法是解決定值問(wèn)題的一種通法. 然而對(duì)于幾何定值問(wèn)題，它的“定”必然是源于其幾何基本圖形的結(jié)構(gòu)，這些基本圖形的結(jié)構(gòu)精簡(jiǎn)質(zhì)樸地反映了平面的結(jié)構(gòu)——對(duì)稱性和平行性. 以上兩道例題的解決最終都可以歸結(jié)到等腰三角形的軸對(duì)稱性和平行線的平行性（等價(jià)于三角形內(nèi)角和為180°）上. 對(duì)于平面幾何的學(xué)習(xí)，既是學(xué)習(xí)邏輯嚴(yán)密的幾何推理，又是通過(guò)數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)理解和刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)平面的特征. 若對(duì)于練習(xí)題的選擇和求解，教師能站在這一高度去看，能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

下面的例6也是一個(gè)典型的例子，用以說(shuō)明隱藏于定值背后的幾何意義.

例6? 如圖11，AB是[⊙O]的直徑，E是半圓上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A，B都不重合），點(diǎn)C是BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且[CD⊥AB，] 垂足為點(diǎn)D，CD與AE交于點(diǎn)H，點(diǎn)H與點(diǎn)A不重合. 若[CD=AB=2，] 求[HD+HO]的值.

圖11是一個(gè)隨著點(diǎn)D的位置變化而變化的動(dòng)態(tài)圖形. 點(diǎn)D和點(diǎn)C的軌跡均是線段，點(diǎn)E的軌跡是半圓，那么點(diǎn)H的軌跡是什么呢？帶著這樣的思考，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB為x軸，過(guò)點(diǎn)O作垂直于OB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為H[x，y]，則[OD=][x.] 根據(jù)三角形相似，易求得[HD=1-x22]，所以[y=1-x22，]所以點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線的一部分. 此拋物線的頂點(diǎn)為[0， 12，] 焦點(diǎn)為[0，0，] 準(zhǔn)線為直線[x=1.] 根據(jù)拋物線的幾何意義，OH的長(zhǎng)等于動(dòng)點(diǎn)H到直線[x=1]的距離，所以[OH+HD]等于點(diǎn)D到直線[x=1]的距離. 顯然[OH+HD]是定值. 此時(shí)，恍然大悟，此定值來(lái)源于拋物線的幾何意義：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離.

三、結(jié)束語(yǔ)

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程來(lái)看，幾乎所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都需要經(jīng)歷應(yīng)用的過(guò)程，其目的是促使學(xué)生理解概念，使所學(xué)知識(shí)能夠融會(huì)貫通，而這主要是通過(guò)解題練習(xí)來(lái)完成的. 如果說(shuō)解題是一場(chǎng)學(xué)生與命題人的博弈，那么教師的角色是什么？首先，教師需要充當(dāng)一個(gè)“開(kāi)鎖匠”，要教給學(xué)生一種解題方法，并找到解決同類問(wèn)題的鑰匙;其次，教師需要充當(dāng)一個(gè)解密者，用以傳達(dá)命題人的命題方法與思想，講出題目背后的故事;最后，教師需要充當(dāng)一個(gè)傳播者，來(lái)傳播數(shù)學(xué)之美，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的無(wú)窮力量. 筆者認(rèn)為這就是所謂的“師者，所以傳道授業(yè)解惑也”.

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科. 在日常教學(xué)中，教師不斷呼吁要加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想方法，也時(shí)常引用著名數(shù)學(xué)家華羅庚的名言“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，但又局限于沒(méi)有好的素材，沒(méi)有細(xì)致到位的講解. 而定值問(wèn)題能夠集代數(shù)、幾何眾多知識(shí)點(diǎn)于一體，滲透分類討論、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、方程及函數(shù)思想，綜合性較強(qiáng)，是典型的探究性習(xí)題. 讓學(xué)生在“數(shù)”與“形”的海洋中暢游，既能很好地解決問(wèn)題，又能很好地加深理解.

總之，無(wú)論是代數(shù)還是幾何，在解決問(wèn)題時(shí)都需要在一般觀念的引領(lǐng)下去思考. 例如，如何研究量與量之間的依賴關(guān)系？幾何性質(zhì)研究的是什么？幾何問(wèn)題背后的代數(shù)特征是什么？代數(shù)問(wèn)題背后的幾何結(jié)構(gòu)又是什么？圍繞這些真正的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)展有“數(shù)學(xué)含金量”的教學(xué)活動(dòng)，促使學(xué)生在獨(dú)立思考的過(guò)程中形成數(shù)學(xué)的思維方式，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.

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