摘? 要：從三道中考數(shù)學(xué)試題閱卷中的學(xué)生解題現(xiàn)象入手，簡析并提出中考閱卷的雙重境界——從“閱卷”到“悅卷”再到“越卷”，并從中引發(fā)教學(xué)感悟，兼談初中生數(shù)學(xué)閱讀和數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)的培育，提出基于教材精讀的初中生數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)提升路徑.

關(guān)鍵詞：中考閱卷;教材精讀;數(shù)學(xué)交流

一、緣起

在中考閱卷中，相信很多人都會有所體悟，也許是對一道題的解法產(chǎn)生了更多思考，也許是對學(xué)生的錯誤解法產(chǎn)生一種憂慮，又或是為學(xué)生的創(chuàng)新解法而感到快樂. 筆者參加中考數(shù)學(xué)閱卷已有15年，期間批閱了各種類型的試題，也在試題命制、解題分析等方面發(fā)表了不少文字，但要總結(jié)寫出這些年來的體悟，還有點為難. 這是因為年年閱卷的感受，其實是相差無幾的. 從什么角度落筆呢？看看各主流雜志上發(fā)表的基本上是關(guān)于壓軸題的命制及其教學(xué)啟示，很少涉及簡單的基礎(chǔ)試題的閱卷體悟，可能多數(shù)教師認(rèn)為在難題上做解析，會留給讀者更多的思考.

然而，在“以學(xué)為中心”的理念下，通過一些簡單試題去研究學(xué)生的學(xué)習(xí)和思考，也許其價值不亞于對難題的解析. 如果能從更多角度去觀察思考，整體上了解學(xué)生對簡單題、中等題和難題是怎樣思考的，又是怎樣解答表述的，教師該怎樣依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀試題，怎樣立足教材精讀知識內(nèi)涵，怎樣基于數(shù)學(xué)思考展開交流，從而幫助學(xué)生學(xué)習(xí)它、認(rèn)識它、掌握它，或許這樣更能讓大家看清楚教學(xué)的方向，對教師教學(xué)會更有幫助.

下面結(jié)合近三年廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)試卷中的兩道簡單題和一道壓軸題的閱卷經(jīng)驗，就看到的學(xué)生的一些答題現(xiàn)象進(jìn)行解析并提出閱卷的雙重境界，兼談由閱卷引發(fā)的教學(xué)感悟，即數(shù)學(xué)閱讀和數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)培育的提升路徑.

二、第一重境界：從“閱卷”到“悅卷”

“悅”，即喜悅. 如果僅僅是為了完成批閱試卷任務(wù)，或是從中了解試題評分標(biāo)準(zhǔn)、解法和書寫規(guī)范，則中考閱卷可能就是苦差事了. 但如果能在批閱過程中探析學(xué)生的解題邏輯，由此產(chǎn)生對自身教學(xué)的導(dǎo)向思考，那么苦差事就會變成一種喜悅，即達(dá)到從“閱卷”到“悅卷”的境界. 現(xiàn)列舉兩道簡單的幾何題來說一說.

1. 閱卷中的解題現(xiàn)狀

對于這兩道簡單題，在閱卷時發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生的解題思路清晰，書寫步驟規(guī)范，但均有一成學(xué)生的解題過程邏輯混亂，不懂尋找證明三角形全等需要滿足的三個條件. 他們常自創(chuàng)邏輯聯(lián)系，通過自造條件來證明，且缺乏書寫表達(dá)邏輯，出現(xiàn)死用知識或不會應(yīng)用知識的現(xiàn)象. 例如，在題目1的解答中，存在以下答題現(xiàn)象：由FC∥AB，得到FC = AD或內(nèi)錯角∠ADE = ∠DEC;或從圖1中直觀感知得到∠ADE = ∠EFC;或無目的亂用對頂角∠AEF = ∠DEC;或出現(xiàn)繞圈證明，由FC∥AB，得到△AED ≌ △CEF，由三邊對應(yīng)成比例且DE = FE，得到另兩邊相等得證. 這種把簡單問題復(fù)雜化的解題實質(zhì)上是思維量不足的表現(xiàn).

而題目2增強(qiáng)了在核心知識融合處的考查，突出在知識交會處命題，受此影響，一些學(xué)困生得分不高，被圖形所迷惑. 因圖2中∠ACB和∠D的度數(shù)相差無幾，誤以為∠BCA = ∠D而得出錯誤結(jié)論. 中等生的解題錯誤則反映在解題慎重，解題步驟重復(fù)，無法精簡表述關(guān)鍵點. 優(yōu)等生的解題錯誤則為出現(xiàn)跳步現(xiàn)象，忽略關(guān)鍵書寫步驟. 在題目2的解答中，仍然出現(xiàn)不少繞圈推理，如連接BD得到兩對全等三角形，導(dǎo)致證明過程復(fù)雜，不能清晰完整表述，用兩次全等或等腰三角形的性質(zhì)達(dá)到解題目的，費力不討好.

從學(xué)生的答題現(xiàn)狀可以看出，學(xué)困生的解題問題依舊在于沒有掌握基本概念、公式、定理，導(dǎo)致解題時沒有思路，不會用數(shù)學(xué)語言組織、表述解答過程. 中等生的解題錯誤則為邏輯混亂，自造條件或直觀判斷，因果倒置，也存在解題思路不簡潔、不清晰，解題過程表述不規(guī)范，將簡單問題復(fù)雜化.

2. 從批閱到教學(xué)喜悅

在日常教學(xué)中，教師應(yīng)該如何解決以上問題？數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)需要怎樣精當(dāng)、合理、有序地呈現(xiàn)？筆者結(jié)合以上兩道題目談一下個人的看法.

閱讀題目1發(fā)現(xiàn)，需要由條件FC∥AB得到邊或角相等才能展開證明，因此，可以保持這個條件不變，先讓學(xué)生在圖3中添加一個條件求證△ABE ≌ △CFE，目的在于讓學(xué)生感知和理解證明三角形全等的方法. 例如，令點E是AC的中點，進(jìn)而展開串聯(lián)，連接AF，補(bǔ)成平行四邊形，回歸到基本圖形的認(rèn)識上，建立三角形與四邊形的聯(lián)系. 還可以讓圖形動起來，思考：在圖1中，點D是AB上的一個動點，DF交AC于點E，點D從點B向點A運動，當(dāng)點D運動到何處時（或點E在何處時），△AED ≌ △CEF？并通過對比交流，明晰在靜態(tài)和動態(tài)下尋求證明三角形全等的條件，加深理解證明全等的方法，同時理解相似與全等的關(guān)系及其規(guī)范表達(dá).

題目2亦是如此. 先閱讀題目的已知條件，分析隱含條件和所求結(jié)論，關(guān)注圖形的直觀感知和應(yīng)用，在圖中識別對應(yīng)相等的線段或角，即通過閱讀培養(yǎng)學(xué)生識圖和用圖的能力，并從圖形變換的角度尋求全等或相似的基本圖形. 例如，從軸對稱圖形的角度感知圖形，避免干擾，正確用圖. 緊接著，把數(shù)學(xué)思考和交流融合起來，如為什么選擇AC = AC，而不選擇未經(jīng)證明的條件BC = DC或∠B = ∠D. 通過學(xué)生講數(shù)學(xué)，說出解題思路背后的原理，找到解題切入點，最后小心求證，規(guī)范書寫解題步驟，達(dá)成對解題過程的真正理解和應(yīng)用. 又如，在解法比較中交流體悟簡化思想，此題有如下三種解法：一是先運用三角形全等的判定和性質(zhì)，再應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求解;二是先應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理再運用全等三角形的判定和性質(zhì)求解;三是利用圖形（箏形）的特殊性，連接BD，通過證明AC垂直平分線段BD，再運用等腰三角形相關(guān)性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理也可以求解. 第三種方法雖然復(fù)雜，但能把三角形的相關(guān)知識和全等、等腰三角形等融合起來，還能讓學(xué)生在簡單題中充分體悟解題的求簡思想.

綜上，這是從“閱讀、思考、交流”三大方面幫助學(xué)生建立解決問題的方法和途徑，注重數(shù)學(xué)知識的有效聯(lián)系. 橫向聯(lián)系以促進(jìn)知識之間的關(guān)聯(lián)性;縱向聯(lián)系以提升知識運用的綜合性，提煉思想以增強(qiáng)知識運用的普適性. 實質(zhì)上就是注重對學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)和對教材的教法研究，讓學(xué)生能做到眼觀圖形，心連知識，達(dá)成知識和思想的有效傳遞，而這需要慢、細(xì)、透的教學(xué)，不求快，勿因簡單而放棄思考，以透徹學(xué)生心扉.

可見，從閱卷中看到問題，進(jìn)而在教學(xué)中改進(jìn)，建立提升課堂教學(xué)與知識考查的有效鏈接，能給教師帶來教學(xué)喜悅，這就是筆者所體悟的從“閱卷”到“悅卷”的境界！

三、第二重境界：從“悅卷”到“越卷”

“越”，即超越. 中考數(shù)學(xué)試題既是衡量初中生是否達(dá)到畢業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的主要依據(jù)，又是高中招生的重要依據(jù)，承載著教師培養(yǎng)學(xué)生思維的教學(xué)導(dǎo)向功能. 若僅是達(dá)到第一重境界，則不能完成超越試卷所承載的功能，更不能達(dá)成從“悅卷”到“越卷”的第二重境界. 以題目3為例說說這種境界.

1. 試題呈現(xiàn)與簡析解答

題目3 （2018年廣東·廣州卷）已知拋物線[y=x2+mx-2m-4 m>0].

（1）證明：該拋物線與[x]軸總有兩個不同的交點;

（2）設(shè)該拋物線與[x]軸的兩個交點分別為A，B （點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C，A，B，C三點都在[⊙P]上.

① 試判斷：不論[m]取任何正數(shù)，[⊙P]是否經(jīng)過y軸上某個定點？若是，求出該定點的坐標(biāo);若不是，說明理由.

② 若點C關(guān)于直線[x=-m2]的對稱點為點[E]，點[D0，1]，連接BE，BD，DE，△BDE的周長記為[l]，[⊙P]的半徑記為[r]，求[lr]的值.

分析：此題考查函數(shù)與方程的聯(lián)系時，回歸到方程根的本質(zhì)及拋物線圖形特征的性質(zhì)理解上，更突出數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理. 在考查定點問題時，突破常規(guī)，在雙定點情況下考查數(shù)學(xué)辨析能力. 可以從幾何角度構(gòu)建方程模型求解，也可以從代數(shù)運算角度列方程求解，更可以運用高中知識求解，可謂是模型不一，本質(zhì)歸一，突出指向了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng). 在不給圖的情況下，突出基于數(shù)學(xué)閱讀的理解，考查學(xué)生在內(nèi)容維度上融會貫通、情境維度的模型建構(gòu)和過程維度的思維經(jīng)驗積累三個方面的能力.

簡解：（1）解方程得[x1=2，x2=-m-2，] 判斷兩根不同，第（1）小題得解.

（2）① 由第（1）小題可求出[A2，0，][ B-m-2，0，] [C0，-2m-4]. 設(shè)[⊙P]與y軸交于點[K0，k，] 由這四點共圓，可以證得△AOK ∽ △COB. 得[OKOB=AOCO]. 解得[k=1]. 所以點K的坐標(biāo)為[K0，1].

② 如圖4，由已知條件可以證得[∠DCE=90°°]. 則DE是[⊙P]的直徑，即[DE=2r.] 由△BDE ∽ △ODA， 得[l△BDEl△ODA=DEAD]，即[l△BDE3+5=2r5]. 得[lr=10+655.]

2. 學(xué)生解答與存在的問題

有些學(xué)生不能準(zhǔn)確理解第（1）小題的條件與結(jié)論的關(guān)系，利用慣性思維直接寫[Δ>0]，或未利用條件[m>0]對判別式的符號進(jìn)行判斷，數(shù)學(xué)表達(dá)不規(guī)范、不嚴(yán)謹(jǐn). 在第（2）小題第①問時，有的學(xué)生取[m]的兩個特殊值求解，用特殊代替一般得到定點坐標(biāo)，沒能說明對任意[m]的值成立;有的學(xué)生缺少畫圖意識，不能借助圓的主圖進(jìn)行分析，卻被拋物線迷惑而畫不出圖形;或是數(shù)感意識不強(qiáng)，未能通過[-2m-4=2-m-2]看出[OC=2OB]而發(fā)現(xiàn)Rt△BOC的特殊性. 有些學(xué)生解答第②問時，一是不求出點E的坐標(biāo)，就直接運用勾股定理或相似三角形的性質(zhì)求三邊長，但對含有字母式子的運算能力較弱而產(chǎn)生錯誤，或不能看出三邊長都與根式[m2+4m+5]相關(guān)，導(dǎo)致無法發(fā)現(xiàn)所求三角形的特殊性;二是沒有說明“點[D]在[⊙P]上”，沒有關(guān)注兩個小問之間的內(nèi)在聯(lián)系，出現(xiàn)表達(dá)不嚴(yán)謹(jǐn)，忽略證明“DE為[⊙P]的直徑”的關(guān)鍵步驟.

3. 兩重境界與教學(xué)思考

含字母式子的運算能力和發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)的簡捷性思考，是數(shù)學(xué)抽象思維教學(xué)訓(xùn)練的基礎(chǔ). 解決題目3需避免思維定勢和加強(qiáng)簡化思想的思維滲透教學(xué)，這是達(dá)成第一重境界的兩點教學(xué)思考.

一是明辨思維的互逆性以避免思維定勢. 拋物線與[x]軸交點個數(shù)和解析式中參數(shù)[m]的取值范圍存在互逆關(guān)系，若過多訓(xùn)練正向或逆向的單一類型題目，會出現(xiàn)解法的思維定勢理解. 已知交點個數(shù)到求[m]的取值范圍的方法單一，反之，至少可用三種方法求解，思維固化根源在于缺乏真正思辨和體悟數(shù)學(xué)思想的解題作用過程，而無法產(chǎn)生數(shù)學(xué)智慧.

二是注重全面閱讀以利于滲透求簡. 從相交弦、相似或半徑相等、勾股定理等路徑尋找獲得等量關(guān)系的方法很多，前者解法的本質(zhì)相同，計算量較小，但思考時間較長，沒有圖不易看出，而其他恰好相反. 該怎樣去尋求最簡求解路徑呢？離不開解法歸一的引導(dǎo)，即思考：在對比中體悟為何要這樣做？怎樣做才是合理有序的？怎樣學(xué)會反芻，如何把握整體，加強(qiáng)局部聯(lián)系？如此得出前述簡答的最佳解題路徑.

下面重點闡述通過“有效閱讀、獨立思考、數(shù)學(xué)交流”的教學(xué)過程，以達(dá)成第二重境界.

第一，開展有效閱讀，是基于教材精讀培養(yǎng)數(shù)學(xué)閱讀素養(yǎng). 沒有反思的閱讀，就像是不加消化地接受知識. 有效的數(shù)學(xué)閱讀是通過翻譯、設(shè)問、理解、校對、對比、批判等方法對知識加工和推理的過程，一般有四步策略：略讀、反思、精讀、表達(dá). 略讀是有選擇性瀏覽教材局部，以便簡單有效獲得對整節(jié)課的概念，且能抽出需要精讀的內(nèi)容. 例如，概念是怎樣獲得的？提供了怎樣的論據(jù)？如何辨析和應(yīng)用？反思是要問自己問題，對知識是否產(chǎn)生誤解或質(zhì)疑. 精讀即是加深和檢驗個人理解，逐句理解并隨手做記號，讀到有用之處，在空白處用自己的話寫下個人理解，即問題、思考或總結(jié). 表達(dá)是抓住數(shù)學(xué)概念及其形成的論據(jù)，或接受、或批判性質(zhì)疑呈現(xiàn)一個簡略版內(nèi)容，即把書讀薄. 有效閱讀還有很多形式，如重類比的聯(lián)系閱讀、建體系的整體閱讀、發(fā)散式的靈活閱讀、開放性的作業(yè)閱讀等.

第二，開展獨立思考，是基于問題提出的數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng). 面對問題，需要通過獨立分析、判斷、決策，尋求更好的問題解決方法. 獨立思考是指在個人理解基礎(chǔ)上帶著問題和觀點去了解知識，并保持有效批判分析，產(chǎn)生新見解，歸納總結(jié)出新的認(rèn)識. 如果“每個人都把自己視野的極限當(dāng)作世界的極限”（哲學(xué)家叔本華），就會讓自己的視野變得更為開闊，這需要學(xué)生更加深入和精確地領(lǐng)悟?qū)W習(xí)過程，養(yǎng)成獨立思考的習(xí)慣. 倘若學(xué)生逃避“想”，教師需要在教學(xué)中設(shè)置問題引導(dǎo)，讓學(xué)生能有想的機(jī)會，產(chǎn)生想的基礎(chǔ). 筆者提倡的“以退為進(jìn)”的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識方式，意在進(jìn)退間體悟數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)思維，退是凸顯，進(jìn)是發(fā)展，這是“先凸顯，再發(fā)展”的超越性思維培養(yǎng)的具體體現(xiàn). 在以退為進(jìn)的每一次遞進(jìn)過程中凸顯思維的積累和基礎(chǔ)的夯實，每一次的凸顯，關(guān)注的問題不一樣，就是一次思維進(jìn)化，而問題的層層逼近，是讓學(xué)生學(xué)會想，會想就會有可能想清楚知識的來龍去脈，這才是真正的學(xué)法指導(dǎo). 這是讓學(xué)生在簡單問題中體悟數(shù)學(xué)觀念，在一系列問題中的思維超越達(dá)到理想的學(xué)習(xí)狀態(tài)，讓大部分學(xué)生不懼怕數(shù)學(xué).

第三，開展精細(xì)交流，是基于獨立思考的數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)培養(yǎng). 數(shù)學(xué)交流是使用數(shù)學(xué)符號或圖形、文字來表達(dá)某個觀點，是一種探尋答案、獲取意義的思考，包含細(xì)致的觀察、記憶、懷疑、想象、解釋、評價、判斷等. 可見，思考與交流看似沒有聯(lián)系，事實上卻有密切聯(lián)系，表達(dá)觀點可以幫助人們更好地理順?biāo)悸? 獨立思考是交流的基礎(chǔ)，但受個人思維習(xí)慣影響，獨立思考過程是別人很難直接觀察和覺察的. 因此，學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念或解題時，需要獨立思考后通過交流表達(dá)和陳述看法，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)自己的盲點、弱點和錯誤. 特別地，與好的思考者交流，能把自己的極限性和傾向性糾正過來，因為他們會選擇不同視角，能考慮不同方法，更愿意使用想象力去冒險和考慮不同尋常的、更好的想法. 如此促進(jìn)自己深入理解問題，在思考過程中保持一條持續(xù)不間斷的線，從而有效地、創(chuàng)新性地提高解決問題的能力.

正如美國哲學(xué)家莫蒂默·阿德勒所說，思考者傾向于用口頭語言或者書面語言表達(dá)自己，但無法將其表達(dá)出來的人往往不知道自己的想法. 對數(shù)學(xué)問題的解決方案，只有在與他人交流分享后才更有意義. 但要注意的是，數(shù)學(xué)交流不能是連續(xù)的獨白，而是傾聽者需要努力思考發(fā)言者的思維心境，把前后每句話聯(lián)系起來理解，并注意忍住插話沖動，延遲判斷發(fā)言者的反饋，這是交流的策略和原則.

四、基于教材精讀的數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)提升路徑

核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)課堂中，教師要培養(yǎng)學(xué)生能“帶得走”的能力，實質(zhì)上就是培養(yǎng)學(xué)生通過閱讀、思考和交流開展深度學(xué)習(xí)，也就是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀和數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)，這與蘇霍姆林斯基認(rèn)為的“閱讀、書寫、觀察、思考和表達(dá)是學(xué)生主要的基本技能”的看法相一致. 師生只有精讀和讀懂教材的內(nèi)涵，才能避免學(xué)生出現(xiàn)表層化的、帶有虛假泡沫成分的閱讀，而且需要師生在閱讀中提“好問題”，并在提“好問題”的基礎(chǔ)上理解、發(fā)現(xiàn)和交流，才能是學(xué)生深度體悟后真正意義上的有效閱讀和交流.

對此，筆者開展并形成了基于教材精讀的初中生數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)提升路徑（如圖5），倡導(dǎo)基于問題引導(dǎo)的教材精讀，促使學(xué)生經(jīng)歷用心搜尋證據(jù)、充分思考證據(jù)和確信證據(jù)充足的過程. 這樣深刻的形成認(rèn)知的思維活動過程，要求學(xué)生必須經(jīng)歷有條理的、有邏輯的、有根據(jù)的思考，通過推理、聯(lián)系，有序化地抵達(dá)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的一種思維狀態(tài)，感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正力量.

發(fā)展獨立思考和獨立判斷的一般能力應(yīng)當(dāng)始終放在首位（愛因斯坦）. 基于此，筆者提出精讀交流從獨立思考開始，是教師基于教材提出“母問題”引導(dǎo)學(xué)生逐句理解和思考，而學(xué)生思考又促進(jìn)教師思考，師生圍繞“母問題”共同提出一系列“子問題”，課堂上聚焦問題而產(chǎn)生深刻的互動和精細(xì)交流，這也是發(fā)展師生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的最主要表現(xiàn). 當(dāng)學(xué)生能夠思考并可以從多個角度用準(zhǔn)確的、清晰的語言來表達(dá)看法和發(fā)表意見，就達(dá)到了真正的理解. 而教師傾聽后，就數(shù)學(xué)問題相機(jī)進(jìn)行點撥，串聯(lián)學(xué)生思維經(jīng)驗以啟發(fā)、體悟潛藏的數(shù)學(xué)思想，在一種對話的狀態(tài)下生成潛移默化的交流，這種“傾聽 + 串聯(lián)”的數(shù)學(xué)交流，是一種開放的數(shù)學(xué)知識建構(gòu)，是一種聚焦核心觀點的對話式交流，能有效增長學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧. 而歸納總結(jié)是一種反芻行為，是精當(dāng)?shù)膶W(xué)法指導(dǎo)體現(xiàn)，教師還需充分精讀和運用教材中的情境、情理、情趣、情態(tài)，激發(fā)學(xué)生的情思，指導(dǎo)和教會學(xué)生會學(xué)，才可達(dá)到善教、會教. 最后，就是對學(xué)生的體悟是否達(dá)標(biāo)進(jìn)行評價反饋.

老子有言：大道至簡，衍化至繁. 在教學(xué)中，教師帶領(lǐng)學(xué)生遍歷過精讀交流的各種復(fù)雜性，關(guān)注學(xué)生在過程中的隱性思維經(jīng)驗積累，發(fā)現(xiàn)重新回歸的簡單是一個有層次的、能守得住的簡單，此時方能使學(xué)生領(lǐng)悟到表現(xiàn)在過程中的數(shù)學(xué)智慧，才能有質(zhì)變的機(jī)會.

五、寫在最后

回到文章標(biāo)題，參與中考閱卷，就是有機(jī)會依據(jù)閱卷進(jìn)行診斷，啟示教師剖析和挖掘試題，以發(fā)揮中考試題引領(lǐng)教學(xué)的價值. 反映在針對性改進(jìn)課堂教學(xué)上，當(dāng)學(xué)生能夠自己閱讀教材和獨立思考時，就能夠發(fā)現(xiàn)和提出問題，從而師生能夠在課堂上充分進(jìn)行數(shù)學(xué)交流. 讓學(xué)生把教材讀明白，把問題想透徹，把思維講清晰，即能讀得懂、想得透、講得清，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

筆者曾對中考命題寫了一首小詩：“慣看陳題解法，年年思變誰知. 你意不同原意，新題勝似故題”. 意思是閱卷需懂題意，進(jìn)而導(dǎo)向自身教學(xué)，并懂得在知識的系統(tǒng)性延伸中讓學(xué)生理解和感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過反芻數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維和解題策略，引導(dǎo)學(xué)生尋找適合自己的學(xué)習(xí)方式，以提高理性思辨能力，形成數(shù)學(xué)智慧，即能達(dá)成前述的兩重境界. 如果說，遇到一道會啟迪師生思考、夯實學(xué)生基礎(chǔ)、突出數(shù)學(xué)思想的試題，則可稱之為題根;遇到一組會點燃師生激情、增強(qiáng)學(xué)生能力、覺醒學(xué)習(xí)自信的試題，則稱之為變式. 那么，真善美的教學(xué)，就是以題根滌蕩學(xué)生靈魂，以變式提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力，以愛心成就學(xué)生學(xué)業(yè).

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