張子振，鄒俊宸

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽蚌埠 233030)

先進(jìn)的網(wǎng)絡(luò)技術(shù)實(shí)現(xiàn)了世界各地分散資源的整合，使得人們能夠通過網(wǎng)絡(luò)及時(shí)共享和訪問有價(jià)值的資源[1].近年來，迅速普及的社交網(wǎng)絡(luò)和電子商務(wù)網(wǎng)站，給我們的日常生活和工作帶來了許多便利.與此同時(shí)，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)病毒的威脅日益嚴(yán)重，它們不僅試圖破壞或刪除計(jì)算機(jī)設(shè)備上的數(shù)據(jù)，甚至?xí)艟W(wǎng)絡(luò)服務(wù)器，竊取個(gè)人與企業(yè)的敏感信息，導(dǎo)致難以估計(jì)的經(jīng)濟(jì)損失[2].近年來，基于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)原理構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型，是研究網(wǎng)絡(luò)病毒傳播規(guī)律的一種重要途徑，并且已經(jīng)取得了不少研究成果.Zhu 等[3]研究了一類具有反饋控制的時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散SIRS（Susceptible Infectious Recovered Susceptible）網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的Hopf 分岔，Keshri 等[4-5]研究了兩類不同形式的SEIR（Susceptible Exposed Infectious Recovered）模型的穩(wěn)定性.Upadhyay 等[6]提出了一類具有免疫策略的SIV（Susceptible Infectious Vaccinated）無線傳感網(wǎng)絡(luò)蠕蟲傳播模型，并研究了模型的全局穩(wěn)定性和Hopf 分岔.Xiao 等[7]提出了一類具有隔離策略的SEIQR（Susceptible Exposed Infectious Quarantined Recovered）移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)蠕蟲傳播模型，并研究了模型的局部和全局穩(wěn)定性.

以上研究均未考慮移動(dòng)存儲(chǔ)介質(zhì)對(duì)網(wǎng)絡(luò)病毒傳播的影響.隨著網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)快速發(fā)展，我們的日常生活和工作，都離不開計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的支持，同時(shí)也離不開諸如U 盤和移動(dòng)硬盤等移動(dòng)存儲(chǔ)介質(zhì)的支持.因此，移動(dòng)存儲(chǔ)介質(zhì)的使用，在一定程度上也會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播.基于此，Gan 等[8]提出了下列考慮移動(dòng)存儲(chǔ)介質(zhì)影響的SIRS 網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型：

其中，S(t)、I(t)和R(t)分別表示易感節(jié)點(diǎn)、感染節(jié)點(diǎn)和恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)在時(shí)刻t的數(shù)量，b為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的輸入率，p為輸入到網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)的直接免疫率，q為輸入到網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的感染率，β為易感節(jié)點(diǎn)的感染率，μ為網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的移出率，α1為易感節(jié)點(diǎn)由于免疫措施而具有的免疫率，α2為恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)失去免疫的概率，γ1為感染節(jié)點(diǎn)由于反病毒軟件作用而轉(zhuǎn)化為恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的概率，γ2為感染節(jié)點(diǎn)由于重做操作系統(tǒng)而轉(zhuǎn)化為易感節(jié)點(diǎn)的概率，θ為易感節(jié)點(diǎn)由于移動(dòng)設(shè)備的使用而被感染的概率.

顯然，模型（1）假設(shè)恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)是瞬時(shí)失去免疫的.在現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)世界中，因?yàn)榘惭b有反病毒軟件，恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)往往具有一定的臨時(shí)免疫力，并且新網(wǎng)絡(luò)病毒的出現(xiàn)往往也需要一定的時(shí)間周期.因此在模型（1）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的臨時(shí)免疫期時(shí)滯，研究如下時(shí)滯模型：

其中，τ為恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的臨時(shí)免疫期時(shí)滯.本文主要研究臨時(shí)免疫期時(shí)滯τ對(duì)模型（2）穩(wěn)定性的影響.

1 Hopf 分岔的存在性

根據(jù)文獻(xiàn)[9]中的Hopf 分岔存在性定理，可以得到下列結(jié)論.

定理1 對(duì)于模型（2），如果條件(H1)和(H2)都成立，那么當(dāng)τ∈ [ 0,τ0)時(shí)，模型（2）局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)τ>τ0時(shí)，模型（2）失去穩(wěn)定并在有病毒平衡點(diǎn)E*(S*,I*,R*)處產(chǎn)生分岔周期解.

2 數(shù)值仿真

令p=0.5，q=0.2，b=5，μ=0.01，θ=0.001，β= 0.004 887，α1= 0.006，α2=0.8，γ1= 0.889 5，γ2= 0.01，可以得到如下模型（2）的示例模型，

方程（4）可以寫成

方程（11）存在唯一正根I*= 147.883 9.從而，可以得到示例模型（2）的唯一病毒平衡點(diǎn)E*(184.4671,147.883 9,166.8531).

進(jìn)而計(jì)算得到ω0= 0.7901，τ0= 1.672 8.

選取τ= 1.627 5 <τ0= 1.672 8，根據(jù)定理1 可知，示例模型（10）局部漸近穩(wěn)定.仿真效果如圖1 所示.

圖1 當(dāng) τ= 1.627 5 <τ0= 1.672 8，示例模型（10）的仿真效果圖

我們選取τ= 1.679 8 >τ0= 1.668 8，此時(shí)示例模型（10）失去穩(wěn)定，并且在E*(184.4671,147.883 9,166.8531)附近產(chǎn)生一簇分岔周期解.仿真效果如圖2 所示.

圖2 當(dāng) τ= 1.679 8 >τ0= 1.668 8，示例模型（10）的仿真效果圖

當(dāng)τ= 1.627 5，θ取不同值（其他參數(shù)取值如示例模型（10）中不變）時(shí)，感染節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)軌跡如圖3 所示.

圖3 當(dāng) τ = 1.627 5，θ 取不同值時(shí)，感染節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)軌跡

由圖3 仿真效果可知，θ的取值越大，感染節(jié)點(diǎn)的數(shù)量會(huì)增大.因此，對(duì)于移動(dòng)存儲(chǔ)介質(zhì)的使用，要進(jìn)行適當(dāng)控制，滿足需求即可.

當(dāng)τ= 1.627 5，p取不同值（其他參數(shù)取值如示例模型（10）中不變）時(shí)，感染節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)軌跡如圖4 所示.

圖4 當(dāng) τ = 1.627 5， p 取不同值時(shí)，感染節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)軌跡

根據(jù)圖4 仿真效果可知，當(dāng)p的取值越大，感染節(jié)點(diǎn)的數(shù)量會(huì)減少.

當(dāng)τ= 1.627 5，q取不同值（其他參數(shù)取值如示例模型（10）中不變）時(shí)，感染節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)軌跡如圖5 所示.

圖5 說明隨著q的值不斷增大，感染節(jié)點(diǎn)的數(shù)量會(huì)增多.因此，在網(wǎng)絡(luò)用戶的計(jì)算機(jī)接入網(wǎng)絡(luò)之前，要盡量安裝新版的反病毒軟件，以保證接入網(wǎng)絡(luò)中的計(jì)算機(jī)具有較強(qiáng)的免疫力.

圖5 當(dāng) τ = 1.627 5，q 取不同值時(shí)，感染節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)軌跡

3 結(jié) 論

在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步考慮到恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的臨時(shí)免疫期，引入臨時(shí)免疫期時(shí)滯，研究考慮移動(dòng)存儲(chǔ)介質(zhì)的時(shí)滯SIRS 網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型.相對(duì)于文獻(xiàn)[8]中的模型，本文提出的模型更加具有一般性.研究結(jié)果表明，當(dāng)時(shí)滯τ的取值足夠小時(shí)，模型處于理想的穩(wěn)定狀態(tài).此時(shí)便于控制網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播.當(dāng)時(shí)滯τ的取值超過臨界點(diǎn)τ0時(shí)，模型就會(huì)失去穩(wěn)定性，產(chǎn)生Hopf分岔，此時(shí)將不利于網(wǎng)絡(luò)病毒傳播的控制.此外，根據(jù)仿真結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)，適當(dāng)控制移動(dòng)存儲(chǔ)介質(zhì)的使用，加強(qiáng)接入網(wǎng)絡(luò)中計(jì)算機(jī)的免疫力，可以有效控制網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播.