徐燕娟

中心對(duì)稱圖形是中考命題的熱點(diǎn)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，特別是平行四邊形的性質(zhì)和判定。所以我們?cè)趯W(xué)習(xí)這一章的時(shí)候要能結(jié)合圖形理解掌握所學(xué)的知識(shí)，并靈活應(yīng)用，融會(huì)貫通，做題時(shí)不主觀臆斷，要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f理證明。本章內(nèi)容概念多，性質(zhì)定理和判定方法多樣，同學(xué)們?nèi)菀谆煜稿e(cuò)，下面就以常見錯(cuò)誤——作輔助線默認(rèn)三點(diǎn)共線來舉例并加以分析。

例1 已知：如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)E、F，且AE=CF，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。

【錯(cuò)解】證明：如圖2，連接AC。

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，∠AEF=∠CFE。

又∵AE=CF，

∴△AOE≌△COF，

∴OA=OC。

∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，

∴OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形。

【剖析】錯(cuò)解中，連接AC，并不能保證AC必過點(diǎn)O。本題出現(xiàn)的錯(cuò)誤是證△AOE≌△COF時(shí)，默認(rèn)了A、O、C 三點(diǎn)共線。

【正解】證明：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，∠DEO=∠BFO。

∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，

∴OB=OD，

∴△DOE≌△BOF，

∴DE=BF。

又∵AE=CF，

∴DE+AE=BF+CF，即AD=BC。

∵AD∥BC，AD=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形。

例2 如圖3，已知，矩形ABCD中，過點(diǎn)O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點(diǎn)E、F，且DE=BF，連接AF、CE，試證明：四邊形AFCE為菱形。

【錯(cuò)解】證明：如圖4，連接BD。

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC。

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，∠DEO=∠BFO。

又∵DE =BF，

∴△DOE≌△BOF，

∴OE=OF。

又∵OA=OC，

∴四邊形AECF是平行四邊形。

∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形。

【剖析】錯(cuò)解中，連接BD，并不能保證BD必過點(diǎn)O。因此，在證明△DOE≌△BOF時(shí)，默認(rèn)了B、O、D三點(diǎn)共線。事實(shí)上，我們不能默認(rèn)點(diǎn)O就是對(duì)角線的交點(diǎn)。

【正解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC。

又∵DE =BF，

∴AD-DE=BC-BF，

∴AE=CF。

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴四邊形AECF是平行四邊形。

∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形。

（作者單位：江蘇省常州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）