華 震,高丙坤,岳航宇,崔翔宇

(東北石油大學電氣信息工程學院,黑龍江 大慶 163318)

1 引 言

快速發(fā)展的光學技術的一個重要分支是光纖干涉?zhèn)鞲衅鞯膽?。已?jīng)證明這些傳感器比電傳感器靈敏幾個數(shù)量級[1],用于無接觸的實時自動監(jiān)測。光纖中的法布里-珀羅(F-P)干涉是一種快速、靈敏的振動分析的工具,它也可以與光纖信號傳輸相結合,在惡劣的工程環(huán)境中獲得穩(wěn)定的性能[2-3]。

干涉信號最初用條紋計數(shù)法來恢復振動信息[4],但其分辨率僅為波長的一半,這極大地限制了測量精度。在F-P干涉測量位移的應用中,2018年陳海濱提出了一種以摻鉺光纖放大器為光源的F-P干涉位移測量方法[5],但只能實現(xiàn)于11 mm長度范圍內1 μm的分辨率,并且實驗結構復雜；魏仁選提出了一種F-P干涉的微位移測量方法,利用F-P干涉的光譜相鄰波峰之間的波長差與腔長的關系來測量位移,但其需要寬帶光源,并且額外需要光譜儀等器件[6]；2005年,張彩妮提出了一種基于F-P干涉的角位移測量原理[7],利用角位移與干涉信號條紋數(shù)變化的函數(shù)關系,來測量角位移,但是需要把初始入射角調至40°到50°之間。2014年,李春成,王鳴等人提出基于F-P腔干涉的強度解調微位移方法[8],可實現(xiàn)在λ/4范圍內,測量誤差小于1 nm,但是需要額外的相位調制,增加實驗難度。在其他測量位移方法中,張恩政在2013年提出了一種基于數(shù)字頻率時鐘信號的上升條紋鎖定的外差干涉相位測量方法[9],但是需要解決外差干涉儀的非線性誤差；2016年,崔俊寧等人提出了一種新的零差正交干涉儀,可以大大抑制非線性誤差。然而,這種方法需要高度對稱的光學結構來獲得兩束激光之間的平衡干涉[10]。

2 理論分析

2.1 F-P干涉原理

F-P腔是最方便的干涉配置,因為它只是由兩個典型的平行鏡面之間的空間形成,如圖1所示。

圖1 F-P干涉原理圖Fig.1 Schematic diagram of F-P interference

自由空間波長為λ的單色光波在兩個平行鏡面間形成F-P腔,光波在F-P腔內往返出現(xiàn)了相位滯后現(xiàn)象,相位滯后為[11-12]

φ(t)=φ1-φ2=4πnL(t)cosθ/λ

=4πnL(t)/λ

(1)

其中,φ1和φ2是相應兩鏡面的相位滯后;n是鏡面之間介質的折射率;L(t)是鏡面間的距離;θ是入射角。如果腔內為空氣(n=1)且入射光平行,這時θ=0。在雙波干涉儀上疊加信號的平面波近似干涉的幫助下[13-14],FP干涉得到的輸出功率P可以表示為:

P=A12+A22+2A1A2cos(φ1-φ2)

(2)

A1和A2是兩個鏡面反射信號的振幅。

馮一余和保安到臥室門口，就見里邊床上和衣躺著一個男的，一身酒氣，正打著震天響的呼嚕。馮一余嚇了一跳，說，喝了酒還敢開車？女主人立刻生氣說，你不要亂說啊，他是喝了酒，可車不是他開回來的，是他朋友替他開回來的。保安說，難怪停錯了。兩個便上前叫那男的，卻叫不醒，推也推不醒，拉也拉不起來，醉成一攤泥了。

由公式(1),可推導出L(t)=φ(t)λ/4π

(3)

2.2 平方算法原理

通過直流阻隔和歸一化處理,由公式(1)和公式(2),干涉后的輸出功率P可以寫為:

P=cos(4πL(t)/λ)

(4)

這時P2可以寫為:

P2=cos(4πL(t)/λ)·cos(4πL(t)/λ)

=1/2cos(2·4πL(t)/λ)+1/2

(5)

為了不使加倍后的輸出功率引入新的常數(shù),公式(5)整體減1/2,得到1/2cos(2·4πL(t)/λ),此公式為條紋加倍的公式,圖2為平方算法流程圖。

圖2 平方算法流程圖Fig.2 Flow chart of the square algorithm

對于周期余弦函數(shù),如果目標的最小位移能引起一個條紋變化,設為ΔL。公式(5)中的相位變化量Δφ可以寫為:

Δφ=2π=2·4πΔL/λ

(6)

因此,從公式(6)能得到ΔL=λ/4,條紋的精度在此時達到了λ/4,故條紋加倍。

當經(jīng)過平方運算后,由公式(5)可得,此時的φ(t)=2·4πL(t)/λ,故L(t)=φ(t)λ/8π。

為了驗證該算法的有效性,進行了如下仿真。圖3給出了目標運動的仿真結果。在圖3中,激光波長為1550 nm,運動是驅動頻率為100 Hz,零初始相位,振幅為1.55 μm,采樣頻率為400 kHz,采樣點4000個。

圖3(a)表示的是原始干涉條紋的圖像,由于振幅為1.55 μm,故峰峰值為3.1 μm,由半波長代表一個條紋,故初始條紋4條。圖3(b)展示了經(jīng)過平方算法后的圖像,初始參數(shù)與圖3(a)參數(shù)保持一致,由圖像可看出條紋增加到8條。故驗證了其原理的有效性。

圖3 平方運算仿真圖Fig.3 Simulation of square arithmetic

2.3 多重希爾伯特變換原理

希爾伯特變換的表達式為:

(7)

希爾伯特變換對原始干涉信號實現(xiàn)π/2的相移,當進行3次希爾伯特變換實現(xiàn)3π/2的相移,則在數(shù)學上等價于實現(xiàn)-π/2相移,故可以總結為希爾伯特變換類似于π/2的移相器,即輸入一個正弦信號可得出余弦信號,因此可以通過希爾伯特變換得到tan[φ(t)],然后通過相位展開得到φ(t)[15]。

圖4(a)展示了F-P干涉信號經(jīng)多重希爾伯特變換的信號與初始信號,①的信號是初始的干涉信號,②的是干涉信號經(jīng)多重希爾伯特變換后的信號。圖4(b)展示了包裹相位arctan(φ(t))。

圖4 仿真多重希爾伯特變換信號Fig.4 Simulates signals of multiple Hilbert transforms

2.4 數(shù)值仿真

為了驗證算法的有效性和準確性進行如下的仿真。圖5和圖6分別展示了基于多重希爾伯特變換的振動重構和基于平方運算和多重希爾伯特變換的振動重構,在圖5和圖6中,設置激光波長λ=1550 nm,物體運動的驅動頻率為80 Hz,零初始相位,并且振幅為A=3.1 μm(A=2λ),采樣頻率為50000 Hz,采樣點為5000,圖5(a)表示的初始F-P干涉信號,圖5(b)為F-P干涉信號經(jīng)多重希爾伯特變換后的信號,圖5(c)①為原始物體振動位移,②是經(jīng)該算法重構出的振動位移,圖5(d)顯示的為重構出的位移與初始位移間的誤差。圖6(a)表示初始F-P干涉信號,圖6(b)表示經(jīng)平方運算后的干涉信號,圖6(c)表示初始信號先經(jīng)平方運算再通過多重希爾伯特變換后的信號,圖6(d)和(e)表示的與圖5(c)和(d)表示的一致。對比圖5和圖6可知,基于平方運算與多重希爾伯特變換的振動重構的精確度明顯高于基于多重希爾伯特變換的振動重構的精度。

圖5 基于多重希爾伯特變換的振動重構仿真圖Fig.5 Vibration reconstruction simulation basedon multiple Hilbert transforms

圖6 基于平方運算與多重希爾伯特變換的振動重構仿真圖Fig.6 Vibration reconstruction simulation diagram basedon square operation and multiple Hilbert transform

3 測量實驗與結果

為了進一步證明所提方法的有效性,進行如下實驗,圖7為實驗裝置。DFB激光器的波長為1550 nm,DFB激光器與耦合器相連,耦合器其中一個端口的光照射在一面鏡子上,其鏡子放在壓電陶瓷器(PZT)上做振動,另一個端口用于照射在外置PD,用于采集干涉信號,通過數(shù)據(jù)采集模塊(USB-4431,NI)獲取電壓信號,并在PC上進行處理。

圖7 實驗裝置圖Fig.7 Experimental setup diagram

首先,PZT控制的運動頻率5 Hz,振動峰峰值為6.2 μm,采樣頻率為50 kHz,圖8(a)展示了實驗干涉信號,圖8(b)展示了其干涉信號的多重希爾伯特變換后的信號,圖8(c)①表示參考振動信號,②為重構的信號,圖8(d)顯示了重構誤差。

圖8 基于多重希爾伯特變換的振動重構實驗圖Fig.8 Vibration reconstruction experimentaldiagram based on multiple Hilbert transforms

接下來進行基于平方運算與多重希爾伯特變換的振動測量,與圖8實驗的數(shù)據(jù)相同,圖9(a)顯示了實驗的干涉信號,圖9(b)展示了其經(jīng)過平方算法后的信號,圖9(c)顯示了平方運算后的多重希爾伯特變換信號,圖9(d)顯示了①的參考振動信號以及②的振動重構信號,圖9(e)顯示了重構誤差。由圖9(d)所示,重構振動信號的最大誤差為5.65 %,由圖9(e)所示,重構的最大誤差為4.1 %。表1列出其他組實驗數(shù)據(jù)的誤差比較。

圖9 基于平方運算與多重希爾伯特變換的振動重構實驗圖Fig.9 Vibration reconstruction experimental diagram basedon square arithmetic and multiple Hilbert transforms

表1 兩種算法重構振動的誤差比較Tab.1 Comparison of the errors of the twoalgorithms in vibration reconstruction

4 結 論

本文提出了一種快速有效的微振動重構方法。先通過平方算法使F-P干涉條紋加倍,然后對反向點兩側的干涉條紋分別進行一次和三次希爾伯特變換,重組出一組與加倍后信號相差π/2相位的信號,然后重構出物體的振動。并且實驗裝置結構簡單,不涉及任何復雜的計算。實驗結果表明:振動測量精度在納米級,相比于基于多重希爾伯特變換的振動測量可降低誤差。