王月月，呂堂紅，周林華

(長春理工大學 理學院，吉林 長春130022)

0 引 言

偏利共生關系在生態(tài)學中描述的是對一方有利而對另一方既無利也無害的共生類型. 例如，蘭花依附在喬木枝干的表面，使自己更易獲得陽光和空氣中的水分，而對喬木本身卻無影響. 雖然這種生物現象很常見，但是直到2003年，孫廣才等[1]才根據Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)提出了針對偏利共生的生物模型，隨后，祝占法等[2]提出了一方不能獨立生存的兩種群偏利合作模型，分析了污染中偏利共生的兩種群持續(xù)生存與絕滅的閾值.

生態(tài)系統(tǒng)不斷受到不可預測的力量干擾，這會導致某些生物參數發(fā)生改變，如存活率[3]. 為了更準確地描述這種干擾，學者們引入了反饋控制變量，文獻[4-9]討論了具有反饋控制變量的系統(tǒng)的動力學性質. 2018年，楊英鐘等[10]研究了具反饋控制的一方不能獨立生存的偏利合作系統(tǒng)

(1)

式中：bi,aij,η,fi(i,j=1,2)均為正常數.xi(i=1,2)表示種群在t時刻的生長密度，ui(i=1,2)表示反饋控制變量，b1,b2表示種群x1,x2的內稟增長率，aii(i=1,2)表示兩種群的密度制約系數.研究結果表明，不適當的反饋控制變量將導致系統(tǒng)中不能獨立生存的種群x1絕滅.

在自然界中一種控制策略會對多個物種產生影響. 例如，在農業(yè)生產中，噴灑農藥可以減少雜草的數量，但同時也對農作物或相關動物的生長產生負面影響. 2015年，韓榮玉等[11]討論了具有單反饋控制變量的Lotka-Volterr合作系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分析得到在適當限制反饋控制變量系數的情況下，系統(tǒng)仍然可以保持全局穩(wěn)定或滅絕. 注意到，對于加入反饋控制變量后的模型，學者們研究的多是反饋控制變量對于系統(tǒng)穩(wěn)定性、 持久性、 絕滅性等的影響，而并沒有考慮在模型中加入時滯項，并證明其分支存在性以及研究其分支周期解穩(wěn)定性的研究成果. 因此，筆者在模型(1)的基礎上，考慮單反饋控制變量對于偏利合作系統(tǒng)的影響，同時引入種群x2的妊娠時滯τ，提出具有單反饋控制變量和時滯的偏利合作系統(tǒng)

(2)

式中：τ表示種群x2的妊娠期；u表示反饋控制變量；其他參數意義同模型(1).

1 局部穩(wěn)定性和Hopf分支

(3)

因此，有

于是，當

(H1)：a12η>a1f2;b2(a12η-a1f2)>b1(a22·η+a2f2)成立時，系統(tǒng)(2)存在唯一正平衡點.

系統(tǒng)(2)在正平衡點E*處的Jacobi矩陣為

(4)

其中

P32=f2,P33=-η.

于是，系統(tǒng)(2)在正平衡點E*處的特征方程為

λ3+P1λ2+P2λ+P3+P4e-λτ=0,

(5)

其中

P1=-(P11+P22+P33);

P2=P11P22+P11P33+P22P33-P13P31-P23P32;

P3=P13P22P31+P11P23P32-P11P22P33;

當τ=0時，式(5)變?yōu)?/p>

λ3+P1λ2+P2λ+P3+P4=0.

(6)

又因為P1>0,假設

(H2)P3+P4>0；

(H3)P1P2>P3+P4.

由Hurwitz判據知，方程(6)的所有根均具有負實部.

當τ≠0時，令λ=iω(ω>0)為(5)的一個根，分離實部與虛部，有

(7)

兩邊同時平方相加得到

(8)

令v=ω2，則式(8)變?yōu)?/p>

v3+m1v2+m2v+m3=0,

(9)

引理1對于式(9)，有如下結果：

k=1,2,3;i=0,1,2,….

(10)

經計算有

(11)

假設

(H6)f′(v)≠0.

由上述討論，可得以下結論：

定理1對于系統(tǒng)(2)，如果(H1)～(H3)成立，則有

1) 若滿足(H4)，則當τ∈[0,τ0)時，則E*(x*,y*,u*)是局部漸近穩(wěn)定的；

2) 若滿足(H5)和(H6)，則當τ>τ0時，E*(x*,y*,u*)是不穩(wěn)定的；當τ=τ0時，系統(tǒng)(2)在E*(x*,y*,u*)處產生Hopf分支.

2 局部Hopf分支方向及其穩(wěn)定性

下面研究在τ≠0條件下，運用Hassard[12]的中心流形定理和規(guī)范型方法，得到決定系統(tǒng)(2)的Hopf分支性質的表達式.

令u(t)=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈R3，u1(t)=x1(τt)，u2(t)=x2(τt)，u3(t)=u(τt)，τ=τ0+μ,μ∈R，則系統(tǒng)(2)在C=C([-1,0],R3)上變?yōu)橐话愕姆汉⒎址匠?/p>

(12)

(13)

F(μ,φ)=(τ0+μ)(F1(μ,φ),F2(μ,φ),F3(μ,φ))T,

(14)

因此，由Riesz表示定理，能找到一個有界變差的三階矩陣

η(θ,μ)∶[-1,0]→R3，

使得

這里

其中，δ(θ)是Dirac-delta函數.

對于φ∈C1([-1,0],R3)，定義

于是，系統(tǒng)(12)可改寫為

(15)

式中：u=(u1,u2,u3);ut(θ)=u(t+θ),θ∈[-1,0].

對于ψ∈C1([-1,0],(R3)*)，定義A=A(0)的伴隨算子A*為

和一個雙線性型

θ)dη(θ)φ(ξ)dξ.

設A和A*對應于特征根iω0τ0與-iω0τ0的特征向量分別為q(θ)和q*(s). 于是

A(0)q(θ)=iω0τ0q(θ)，

A*(0)q*(s)=-iω0τ0q*(s).

通過計算，可以得到

這里

下面計算在μ=0處的中心流形C0，令Xt為μ=0時，方程(15)的解. 定義

z(t)=〈q*,Xt〉，W(t,θ)=Xt(θ)-2Rez(t)q(θ).

(16)

在中心流形C0上，有

(17)

記

其中

(18)

由(16)和(17)得到

Xt(θ)=W(t,θ)+2Re{z(t)q(θ)}=

綜合(14)得到

與式(18)比較系數，得到

為了確定g21，下面計算W20(θ),W11(θ). 由式(15)和式(16)得到

(19)

其中

(20)

結合式(16)和式(17)，將式(20)代入到式(19)中，比較系數，得到

(2iω0τ0-A)W20(θ)=H20(θ),

-AW11(θ)=H11(θ).

由式(19)易知，當θ∈[-1,0)時

(21)

比較式(20)和式(21)，有

(22)

(23)

因此，

類似地，有

因此，可以得到

(24)

(25)

式中：C1(0)由式(24)給出，易得出μ2，β2，T2的值.因此，有

定理2當τ=τ0時，式(25)的各個表達式決定了分支周期解在中心流形上的性質，因此，得出下面的結論：

1)μ2確定Hopf分支的方向.如果μ2>0(μ2<0)，則分支周期解為前向(后向)；

2)β2確定分支周期解的穩(wěn)定性.如果β2<0(β2>0)，則分支周期解是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的)；

3)T2確定分支周期解的周期.如果T2>0(T2<0)，則分支周期解的周期增大(減小).

3 數值模擬

為了驗證上面分析所得的理論結果，選擇適當的參數，考慮以下系統(tǒng)

(26)

不難驗證(H1)～(H3)、 (H5)～(H6)成立，此時得到系統(tǒng)(26)的正平衡點為

E*(0.2245,0.6649,1.3362).

通過計算得到ω0≈0.363 3，τ0≈5.126 7，C1(0)≈-0.150 5-0.857 0i，μ2≈0.072 9>0，β2≈-0.301 0<0，T2≈12.154 3>0.

當τ=4.8<τ0≈5.126 7時，由圖1 可知，系統(tǒng)(26)的正平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的； 當τ=5.8>τ0≈5.126 7時，由圖2 可知，系統(tǒng)(26)的正平衡點E*是不穩(wěn)定的.由定理 2 可知，關于τ>τ0時的Hopf分支是前向分支，分支周期解是穩(wěn)定的且其周期增加.

(a) 種群x1的波圖

(b) 種群x2的波圖

(c) 反饋控制變量u的波圖

(d) 系統(tǒng)(26)的相圖

(a) 種群x1的波圖

(b) 種群x2的波圖

(c) 反饋控制變量u的波圖

(d) 系統(tǒng)(26)的相圖

4 結 論

本文研究了一類具有時滯和單反饋控制變量的偏利合作系統(tǒng)的動力學行為，考慮了種群x2的妊娠期時滯以及單反饋控制變量對偏利合作系統(tǒng)的種群密度的影響. 研究結果表明，時滯變化對具有單反饋控制變量的偏利合作系統(tǒng)的正平衡點的局部穩(wěn)定性產生影響，當分支數值在適當的范圍內，系統(tǒng)的正平衡點是局部漸近穩(wěn)定的；而當時滯超過臨界值時，系統(tǒng)的正平衡點是不穩(wěn)定的，且發(fā)生Hopf分支并產生周期解.