首都師范大學(xué)附屬回龍觀育新學(xué)校(102208)李路軍 李洪景

1 試題呈現(xiàn)

題目(海淀區(qū)2020-2021 高三期末練習(xí)19 題)橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,E是橢圓C上一點(diǎn),且|F1F2|=2,|EF1|+|EF2|=4.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;(答案:=1)

(Ⅱ)M,N是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)E位于x軸的兩側(cè)),∠MF1N= ∠MEN= 90°,直線EM交x軸于點(diǎn)P,求的值.

2 問(wèn)題(Ⅱ)的解法探究

解法一設(shè)M(0,m),N(0,n),E(x0,y0).又F1(-1,0),F2(1,0).因?yàn)椤螹F1N= 90°, 所以= 0, 即(1,m)·(1,n)= 1 +mn= 0.所以mn=-1.又因?yàn)椤螹EN=90°,所以=0,即(x0,y0-m)·(x0,y0-n)=-m)y0-1=0.又因?yàn)?1,所以4--m)y0-1 = 0.即m)y0-3 = 0.所以y0=或y0=-3m.因?yàn)辄c(diǎn)M與點(diǎn)E位于x軸的兩側(cè),即y0與m異號(hào),所以y0=-3m.所以

解法二設(shè)MN中點(diǎn)為T(mén)(0,t),E(x0,y0).因∠MF1N=∠MEN=90°,則|TF1|=|TE|.即+2ty0-3=0.所以y0= 3(-t±因?yàn)辄c(diǎn)M與點(diǎn)E位于x軸的兩側(cè), 所以yM=t ?所以

解法三如圖1,設(shè)E(x0,y0),由題意可知, 點(diǎn)E不是橢圓的頂點(diǎn), 設(shè)NE的方程為y -y0=k(x-x0)(設(shè)k ＜0),得N(0,y0-kx0); 因?yàn)椤螹EN= 90°, 則直線ME的方程為y - y0=得M(0,y0+又因?yàn)椤螹F1N=90°;所以得

圖1

因?yàn)樵O(shè)=t(t為常數(shù)), 即=t, 得k=代入(1)式,化簡(jiǎn)得= 1, 所以t=-3.則

3 題目一般化

性質(zhì)1橢圓C:= 1(a ＞ b ＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,E是橢圓C上一點(diǎn),M,N是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)E位于x軸的兩側(cè)),∠MF1N= ∠MEN= 90°, 直線EM交x軸于點(diǎn)P, 則

證明設(shè)E(x0,y0),由題意可知,點(diǎn)E非橢圓頂點(diǎn),假設(shè)E在橢圓第一象限內(nèi), 設(shè)NE方程為y -y0=k(x-x0),得N(0,y0- kx0); 因?yàn)椤螹EN= 90°, 則直線ME方程為y - y0=(x - x0), 得M(0,y0+又因?yàn)椤螹F1N=90°;所以=0,得

性質(zhì)2橢圓C:= 1(a ＞ b ＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,E是橢圓C上一點(diǎn),M,N是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)E位于x軸的兩側(cè)),∠MF1N=∠MEN=90°,則NE為橢圓切線.

證明由性質(zhì)1 證明知kOE·kNE=根據(jù)橢圓第三定義,則NE為橢圓切線.

性質(zhì)3橢圓= 1(a ＞b ＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,E是橢圓C上一點(diǎn), 過(guò)E的切線交y軸于點(diǎn)N, 過(guò)E且與切線垂直的直線交y軸于M, 則∠MF1N=90°.

證明設(shè)E(x0,y0), 則過(guò)點(diǎn)E的切線方程為,得過(guò)點(diǎn)E且與切線垂直的直線方程為,得=c2-c2=0.則∠MF1N=90°.

性質(zhì)4橢圓C:1(a ＞ b ＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,E是橢圓C上一點(diǎn),M,N是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)E位于x軸的兩側(cè)),∠MF1N= ∠MEN= 90°, 直線EM交NF1于點(diǎn)A,直線F1M交NE于點(diǎn)B,直線EF2交y軸于點(diǎn)Q,如圖2,則直線AB與x軸平行,且A,B,Q三點(diǎn)共線.

圖2

證明因?yàn)椤螹F1N= ∠MEN= 90°,所以點(diǎn)M為三角形ABN的垂心, 則直線AB與x軸平行.設(shè)E(x0,y0),根據(jù)上述證明可知,直線EF2的方程為y=(x-c),得yQ=下面只需證明yQ=yA;直線NF1、EM的方程分別為= 1 與聯(lián)立消元得yA=只需證其可化為=1.得證.

4 類比到雙曲線

雙曲線C:=1 的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,E是雙曲線C上一點(diǎn).如圖3.

圖3

性質(zhì)5M,N是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)E位于x軸的兩側(cè)),∠MF1N= ∠MEN= 90°,直線EM交x軸于點(diǎn)P,則b2.

性質(zhì)6M,N是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)E位于x軸的兩側(cè)),∠MF1N=∠MEN=90°,則ME為雙曲線切線.

性質(zhì)7E是雙曲線C上一點(diǎn),M,N是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)E位于x軸的兩側(cè)),∠MF1N= ∠MEN=90°,直線EM交NF1于點(diǎn)A,直線F1M交NE于點(diǎn)B,直線EF2交y軸于點(diǎn)Q,如圖4.則直線AB與x軸平行,且A,B,Q三點(diǎn)共線.

圖4

性質(zhì)8過(guò)E的切線交y軸于點(diǎn)M,過(guò)E且與切線垂直的直線交y軸于N,則∠MF1N=90°.

5 平面幾何背景

實(shí)際上,如果去掉橢圓或雙曲線,對(duì)于一個(gè)三角形的垂心有如下相關(guān)性質(zhì).如圖5,ΔABC中,其垂心為M,三個(gè)垂足分別是D,E,F,如圖.則點(diǎn)F關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)P在直線DE上.

證明以BC、AD所在直線分別為x,y軸,D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系, 如圖6.設(shè)B(-b,0),C(c,0),A(0,a), 利用直線AC與BE方程, 得點(diǎn)同理得點(diǎn)點(diǎn)F關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)可得kDE=kDP, 故三點(diǎn)共線;

圖6

同理點(diǎn)F關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)在直線DE上.點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)在直線EF上.即對(duì)于任一三角形,一條邊上的高線的垂足關(guān)于高的對(duì)稱點(diǎn)與另外兩個(gè)垂足共線.