趙竑愷 張國(guó)志 王萍

摘 要：對(duì)于設(shè)計(jì)壽命之前很少失效，設(shè)計(jì)壽命之后失效比例大幅增加的一類存儲(chǔ)產(chǎn)品，其壽命變量用ZZ分布來(lái)描述較為合適?；谥鸫味〝?shù)截尾樣本，首先利用泰勒展式將似然函數(shù)中的非線性部分轉(zhuǎn)化為線性表達(dá)，使似然方程可解，進(jìn)而得到參數(shù)的近似極大似然估計(jì)。其次，運(yùn)用最佳線性無(wú)偏估計(jì)法，給出了參數(shù)無(wú)偏估計(jì)的一般解析表達(dá)式，同時(shí)針對(duì)兩種特殊逐次定數(shù)截尾樣本，進(jìn)一步化簡(jiǎn)了估計(jì)的表達(dá)形式，且為便于使用，給出了計(jì)算所需數(shù)表的構(gòu)造公式。最后對(duì)兩種估計(jì)做了數(shù)值模擬比較，結(jié)果表明ZZ分布的最佳線性無(wú)偏估計(jì)優(yōu)于近似極大似然估計(jì)。

關(guān)鍵詞：ZZ分布;極大似然估計(jì);近似極大似然估計(jì);最佳線性無(wú)偏估計(jì)

DOI：10.15938/j.jhust.2021.03.023

中圖分類號(hào)： O231

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2021）03-0153-07

Parameter Estimation of ZZ Distribution under

Progressive Type-II Censored Data

ZHAO Hong-kai， ZHANG Guo-zhi， WANG Ping

（School of Science， Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）

Abstract：ZZ distribution is suitable to describe the life variable of a type of storage products that rarely fail before a given design life， and the proportion of failures has increased significantly after the design life. Based on a progressive type-II censored sample， firstly using Taylor′s formula to transform the the nonlinear part of the likelihood function into a linear expression， the likelihood equation is solvable， and the approximate maximum likelihood estimation（AMLE） of the parameter is given. Secondly， using the best linear unbiased estimation（BLUE） method， a general analytical expression of the parameter is given. At the same time， the expression form of the estimation is further simplified for two kinds of special progressive type-II censored sample and the required number table is constructed for the convenience of use. Finally， a numerical comparison of the two methods is performed， and the results show that the best linear unbiased estimation of ZZ distribution is better than the approximate maximum likelihood estimation.

Keywords：ZZ distribution; maximum likelihood estimation; approximate maximum likelihood estimation; best linear unbiased estimation

0 引 言

傳統(tǒng)的定時(shí)和定數(shù)截尾數(shù)據(jù)有一個(gè)共同的特點(diǎn)：在截尾時(shí)間點(diǎn)和截尾數(shù)上缺少靈活性，即在壽命試驗(yàn)中不允許有樣品在試驗(yàn)中途退出試驗(yàn)。然而有些試驗(yàn)樣品非常昂貴或者在研究耐久性試驗(yàn)時(shí)，如果試驗(yàn)人員為了減少試驗(yàn)時(shí)間希望在一些時(shí)間點(diǎn)將一些未失效的產(chǎn)品移出試驗(yàn)，傳統(tǒng)的截尾樣本數(shù)據(jù)就不適用了。隨著基礎(chǔ)理論的發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用中的需要，逐次定數(shù)截尾數(shù)據(jù)近年來(lái)受到廣泛關(guān)注。

有關(guān)逐次定數(shù)截尾數(shù)據(jù)的研究，在國(guó)外，最早研究這類數(shù)據(jù)問(wèn)題的文獻(xiàn)可以追溯到1963年，文[1-3]詳細(xì)的討論了逐次截尾數(shù)據(jù)下針對(duì)常見(jiàn)幾種分布的推斷問(wèn)題。1995年后，Sandhu等[4]給出了獲得逐次定數(shù)截尾樣本數(shù)據(jù)的抽樣方法。Balasooryia等[5]和Tse等[6]分別在兩參數(shù)指數(shù)分布和韋布爾分布下基于逐次定數(shù)截尾數(shù)據(jù)推導(dǎo)出了諸可靠性指標(biāo)。Balakrishnan等[7]的著作對(duì)逐次定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)進(jìn)行了深入研究，給出了相關(guān)模型較為詳細(xì)的闡述。Balakrishnan等[8-12]討論了逐次定數(shù)截尾樣本下正態(tài)分布、指數(shù)分布和極值分布參數(shù)的極大似然估計(jì)、區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。Soliman[13]研究了服從Burr-XII分布的極大似然估計(jì)和Bayes估計(jì)。Mahmoud[14]推導(dǎo)出了逐次定數(shù)截尾樣本下來(lái)自韋布爾-伽瑪分布的順序統(tǒng)計(jì)量的近似矩，并利用近似矩得到了參數(shù)的最佳線性無(wú)偏估計(jì)和極大似然估計(jì)。Singh等[15]研究了對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型的統(tǒng)計(jì)分析問(wèn)題，得到了參數(shù)的極大似然估計(jì)和Bayes估計(jì)。Mahmoud等[16]得到指數(shù)-帕累托參數(shù)的極大似然估計(jì)，并利用近似矩求得參數(shù)的最佳線性無(wú)偏估計(jì)。

國(guó)內(nèi)對(duì)逐次定數(shù)截尾數(shù)據(jù)的研究始于上世紀(jì)九十年代，賀國(guó)芳等[17]說(shuō)明了在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常遇到這類數(shù)據(jù)，因此有必要討論這類數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析方法。徐曉玲等[18]和王炳興[19]討論了Weibull分布基于逐次定數(shù)截尾壽命數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)，分別得到了參數(shù)的極大似然估計(jì)、逆矩估計(jì)以及區(qū)間估計(jì)。楊君慧等[20]給出了廣義指數(shù)分布參數(shù)和可靠度函數(shù)的極大似然估計(jì)，并在熵?fù)p失和加權(quán)平方損失函數(shù)下，給出參數(shù)和可靠度函數(shù)的Bayes估計(jì)。楊敏[21]基于平方損失函數(shù)和LINEX損失函數(shù)，討論了雙參數(shù)Rayleigh分布參數(shù)的貝葉斯估計(jì)。羅嘉成等[22]探討了Lomax分布的形狀參數(shù)和可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)。

由于上述給出的研究均基于常見(jiàn)的幾種壽命分布，然而有些存儲(chǔ)產(chǎn)品，在給定的設(shè)計(jì)壽命之前很少失效，過(guò)了設(shè)計(jì)壽命之后失效的比例大幅增加，再用常見(jiàn)一些分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷得到的結(jié)果與實(shí)際明顯不符。張寧[23]給出一個(gè)較好解決上述存儲(chǔ)產(chǎn)品壽命的ZZ分布，并對(duì)這類產(chǎn)品的可靠性指標(biāo)在截尾數(shù)據(jù)情況下進(jìn)行了相關(guān)的統(tǒng)計(jì)分析。

此外，上述對(duì)逐次定數(shù)截尾數(shù)據(jù)的研究，所獲得的大多是參數(shù)極大似然估計(jì)和貝葉斯估計(jì)的數(shù)值解，并未給出具體的解析表達(dá)式，且研究多基于幾種常見(jiàn)分布，并不能涵蓋所有產(chǎn)品的壽命類型，因此本文在逐次定數(shù)截尾樣本下，試給出ZZ分布參數(shù)估計(jì)的解析表達(dá)式，并配以數(shù)表以便使用。

1 ZZ分布與逐次定數(shù)截尾試驗(yàn)

1.1 ZZ分布

ZZ分布的分布函數(shù)F（t），密度函數(shù)f（t），失效率函數(shù)分別是λ（t）[23]：

F（t）=1-exp1-etηm，t>0

f（t）=mtm-1ηm·e（tη）m·e1-e（tη）m，t>0

λ（t）=mtm-1ηm·e（tη）m，t>0

它含有兩個(gè)參數(shù)η>0與m>0，記為ZZ（m，η），其中η稱為特征壽命，m稱為形狀參數(shù)。

1.2 逐次定數(shù)截尾試驗(yàn)

產(chǎn)品實(shí)施逐次增加定數(shù)截尾試驗(yàn)的操作如下：從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)獨(dú)立同分布產(chǎn)品在相同環(huán)境和應(yīng)力條件下同時(shí)進(jìn)行壽命試驗(yàn)，當(dāng)觀察到第1個(gè)樣品失效時(shí)刻XR1∶r∶n時(shí)，在剩下的n-1個(gè)未失效的樣品中任意抽取R1個(gè)撤離試驗(yàn)，還有n-1-R1個(gè)未失效的產(chǎn)品留下繼續(xù)試驗(yàn);當(dāng)觀察到第2個(gè)樣品失效時(shí)刻XR2∶r∶n時(shí)，在剩下的n-2-R1個(gè)未失效樣品中任意抽取R2個(gè)撤離試驗(yàn)，將余下n-2-R1-R2個(gè)未失效樣品留下繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn);如此下去，直至觀察到r個(gè)樣品失效時(shí)刻XRr∶r∶n時(shí)結(jié)束試驗(yàn)，此時(shí)余下的Rr=n-r-R1-R2-…-Rr-1個(gè)樣品退出試驗(yàn)。則XR1∶r∶n

考慮到在上述失效時(shí)刻XRj∶r∶n，j=1，2，…，r，都會(huì)隨機(jī)移出Rj個(gè)元件退出試驗(yàn)，故上述觀察到的失效時(shí)間不再是容量為n的樣本的前r個(gè)次序觀測(cè)值，而是n個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量中的某r個(gè)順序觀測(cè)值。實(shí)際上，可以將XR1∶r∶n看成容量為n的壽命為t1

設(shè)X=[XR1∶r∶n，XR2∶r∶n，…，XRr∶r∶n]是來(lái)自ZZ分布逐次定數(shù)截尾的樣本，R=[R1，R2，…，Rr]是試驗(yàn)中相應(yīng)被移出的產(chǎn)品數(shù)，為書(shū)寫(xiě)方便，簡(jiǎn)記Xj≡XRj∶r∶n，j=1，2，…，r，則逐次定數(shù)截尾下ZZ分布的極大似然函數(shù)為

L=c∏rj=1f（xj）[1-F（xj）]Rj=

cmrηmr∏rj=1xm-1j·exp∑rj=1（Rj+1）1-exjηm+∑rj=1xmjηm（1）

其中

c=n（n-1-R1）（n-2-R1-R2）…（n-r-R1-R2-…-Rr+1）是與未知參數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)因子。

2 近似極大似然估計(jì)

針對(duì)ZZ分布在逐次定數(shù)截尾樣本下的極大似然估計(jì)沒(méi)有解析解的情況，借鑒文[9]的方法，考慮近似似然函數(shù)，并求解顯示結(jié)果。

設(shè)隨機(jī)變量X～ZZ（m，η），則Y=lnX服從EZ分布[23]并且它的概率密度函數(shù)為

fy（μ，σ）=1σey-μσ·expey-μσ·exp1-expey-μσ

其中μ=lnη，σ=1/m。

μ=0，σ=1時(shí)標(biāo)準(zhǔn)的EZ分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)有以下的形式：

fy（0，1）=ey·exp{ey}exp{1-exp{ey}}

F（y）=1-exp{1-exp{ey}}

X=[XR1∶r∶n，XR2∶r∶n，…，XRr∶r∶n]是來(lái)自ZZ分布逐次定數(shù)截尾的隨機(jī)樣本，令YRj∶r∶n=lnXRj∶r∶n，zRj∶r∶n=YRj∶r∶n-μσ，則z=[zR1∶r∶n，zR2∶r∶n，…，zRr∶r∶n]可看成來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)EZ分布逐次定數(shù)截尾的隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)記z≡[z1，z2，…，zr]，那么由式（1）得到的似然函數(shù)可表示成以下式子：

L（μ，σ）=C1σr∏rj=1w（zj）（W（zj））Rj

其中：w（z）=exp{z+ez+[1-exp（ez）]}，W（z）=exp{1-exp（ez）}。

從而，對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

lnL=-rlnσ+∑rj=1ln（w（zj））+∑rj=1Rj·ln（W（zj））

上式對(duì)μ，σ分別求偏導(dǎo)數(shù)，有

lnLμ=-1σ∑rj=1w′（zj）w（zj）-∑rj=1RjσW′（zj）W（zj）=

-1σ∑rj=1w′（zj）w（zj）+∑rj=1Rjσw（zj）W（zj）

lnLσ=-mσ-∑rj=1zjσw′（zj）w（zj）+∑rj=1Rjzjσw（zj）W（zj）

得到下列的似然方程組：

-∑rj=1w′（zj）w（zj）+∑rj=1Rjw（zj）W（zj）=0（2）

-m-∑rj=1zjw′（zj）w（zj）+∑rj=1Rjzjw（zj）W（zj）=0（3）

由式（2）和式（3）組成的似然方程組不能解出和的明顯表達(dá)式。由于式（2）和式（3）不能直接解出是w′（zj）/w（zj）和w（zj）/W（zj）引起的，根據(jù)文[9]中給出的方法，利用泰勒展式在點(diǎn)cj=E（zj）處將w′（zj）/w（zj）和w（zj）/W（zj）近似展開(kāi)。其中，zj=F-1（Uj），Uj，j=1，2，…，r是來(lái)自于總體為U（0，1）均勻分布的逐次定數(shù)截尾樣本。由于cj=E（zj）直接求解比較困難，而E（Uj）在文[4]中已有結(jié)論，故有如下的近似式

cj=E（zj）≈F-1（E（Uj））

其中F-1（Uj）=lnln（1-ln（1-Uj）），且

pj=E（Uj）=1-∏rl=r-j+1l+Rr+Rr-1+…Rr-l+11+l+Rr+Rr-1+…Rr-l+1，qj=1-pj，j=1，2，…，r。如此，能得到如下的展開(kāi)式：

w′（zj）w（zj）≈aj-bjzj

w（zj）W（zj）≈1-aj+bjzj

其中，

aj=w′（cj）w（cj）-cjw″（cj）w（cj）-w′（cj）w（cj）2=

1+ecj[1-cj-（1+cj）exp（ecj）-cjexp（ecj）ecj]=

1+ln（1-lnqj）[1-lnln（1-lnqj）-

（1+lnln（1-lnqj））（1-lnqj）-

lnln（1-lnqj）ln（1-lnqj）（1-lnqj）]

bj=w′（cj）w（cj）2-w″（cj）w（cj）=

ecj[exp（ecj）·ecj+exp（ecj）-1]=

ln（1-lnqj）[（1-lnqj）·ln（1-lnqj）-lnqj]

那么極大似然方程組式（2）和式（3）能近似表示如下

-∑rj=1（aj-bjzj）+∑rj=1Rj（1-aj+bjzj）=0（4）

-r-∑rj=1（aj-bjzj）zj+∑rj=1Rj（1-aj+bjzj）zj=0（5）

將zj=yj-μσ代入式（4），化簡(jiǎn)得：

=∑rj=1（1+Rj）bjyj∑rj=1（1+Rj）bj-∑rj=1（1+Rj）aj-∑rj=1Rj∑rj=1（1+Rj）bj（6）

記A=∑rj=1（1+Rj）bjyj∑rj=1（1+Rj）bj，B=∑rj=1（1+Rj）aj-∑rj=1Rj∑rj=1（1+Rj）bj，

則式（6）可以表示為

=A-B（7）

然后，再將zj=yj-μσ及式（7）代入式（5），得到關(guān)于的二次方程：

D2+E-H=0（8）

其中，

D=r+B∑rj=1aj-B∑rj=1Rj（1-aj）-B2∑rj=1bj-B2∑rj=1Rjbj=

r+B∑rj=1（1+Rj）aj-∑rj=1Rj-∑rj=1（1+Rj）aj-∑rj=1Rj=r

E=∑rj=1（aj+Rjaj-Rj）（yj-A）-2B∑rj=1（1+Rj）bj（yj-A）

H=∑rj=1（1+Rj）bj（yj-A）2>0

解方程式（8），得到關(guān)于的值：

=-E+E2+4rH2r

將求出的的值代入式（7）即可求出的值。

3 最佳線性無(wú)偏估計(jì)

設(shè)在逐次截尾R=[R1，R2，…，Rr]的試驗(yàn)中，失效元件的壽命記為ti1≤ti2≤…≤tir，其下標(biāo)看做是隨機(jī)向量（I1，I2，…，Ir）的一組觀測(cè)值，該隨機(jī)向量所有可能取值的集合記為G，設(shè)其分布律為P{I1=i1，I2=i2，…，Ir=ir}≡Pi1，i2，…，ir，其中[i1，i2，…，ir]∈G且1=i1≤i2≤…≤ir≤n。則在{I1=i1，I2=i2，…，Ir=ir}條件下，有

F（tij）=1-exp1-etijηm，j=1，2，…，r

移項(xiàng)，并取三重對(duì)數(shù)后可得

lnln（1-ln（1-F（tij）））=mlntij-mlnη（9）

令Ti1，i2，…，ir=[Ti1，Ti2，…，Tir]T，其中Tij=lnln（1-ln（1-F（tij））），j=1，2，…，r。顯然F（ti1）

ETi1，i2，…，ir=ai1，i2，…，ir=[ai1，ai2，…，air]T，Σi1，i2，…，ir=E[Ti1，i2，…，ir-ai1，i2，…，ir][Ti1，i2，…，ir-ai1，i2，…，ir]T則Ti1，i2，…，ir均值和方差只與n和r有關(guān)，而不依賴于其它參數(shù)。那么式（9）可表示為

lntij=lnη+1maij+1mδij，j=1，2，…，r（10）

其中δi1，i2，…，ir=[δi1，δi2，…，δir]T，并且

E（δi1，i2，…，ir）=0，Cov（δi1，i2，…，ir）=Σi1，i2，…，ir。

再令

Yi1，i2，…，ir=[Yi1，Yi2，…，Yir]T=[lnti1，lnti2，…，lntir]T

Xi1，i2，…，ir=1ai11ai21ar

θ=（μ，σ）T，其中μ=lnη，σ=1m

εi1，i2，…，ir=1mδi1，i2，…，ir

將式（10）轉(zhuǎn)化為如下矩陣形式

Yi1，i2，…，ir=Xi1，i2，…，irθ+εi1，i2，…，ir，

Cov（εi1，i2，…，ir）=σ2Σi1，i2，…，ir。

根據(jù)高斯-馬爾科夫定理，用加權(quán)最小二乘法求得參數(shù)的最佳線性無(wú)偏估計(jì)（BLUE）

i1，i2，…，ir=i1，i2，…，ir

i1，i2，…，ir=

[X′i1，i2，…，ir-1i1，i2，…，irXi1，i2，…，ir]-1

X′i1，i2，…，ir×-1i1，i2，…，irYi1，i2，…，ir

當(dāng)n，r及i1，i2，…，ir給定時(shí)，矩陣Xi1，i2，…，ir與Σi1，i2，…，ir都是已知的，所以為了便于使用，將參數(shù)的最佳線性無(wú)偏估計(jì)簡(jiǎn)化如下形式

（i1，i2，…，ir）=∑rj=1D0（i1，i2，…，ir，n，r，j）lntij

（i1，i2，…，ir）=∑rj=1D1（i1，i2，…，ir，n，r，j）lntij

其中：D0（i1，i2，…，ir，n，r，j）稱為μ（i1，i2，…，ir）的最佳線性無(wú)偏估計(jì)系數(shù);D1（i1，i2，…，ir，n，r，j）稱為σ（i1，i2，…，ir）的最佳線性無(wú)偏估計(jì)系數(shù)。

因此，在R=（R1，R2，…，Rr）下，ZZ分布參數(shù)最佳線性無(wú)偏估計(jì)的一般表達(dá)形式為

=∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤nPi1，i2，…，ir·（i1，i2，…，ir）（11）

=∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤nPi1，i2，…，ir·（i1，i2，…，ir）（12）

上面的表達(dá)式涉及到系數(shù)D0（i1，i2，…，ir，n，r，j），D1（i1，i2，…，ir，n，r，j）和概率P{I1=i1，I2=i2，…，Ir=ir}≡Pi1，i2，…，ir的計(jì)算，本文僅對(duì)下面兩種情況，給出參數(shù)估計(jì)的簡(jiǎn)化形式，并構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)表計(jì)算公式，便于使用。

3.1 R=[n-r，0，0，…，0]1×r時(shí)的參數(shù)估計(jì)

當(dāng)移出數(shù)據(jù)為R=[n-r，0，0，…，0]1×r時(shí)，n個(gè)元件參加試驗(yàn)，在第一個(gè)元件失效時(shí)刻一次隨機(jī)移出n-r個(gè)未失效元件，剩下的r-1個(gè)元件繼續(xù)參加試驗(yàn)直至全部失效。ti1

P{I1=i1，I2=i2，…，Ir=ir}≡Pi1，i2，…，ir=1/Cr-1n-1

由式（11）和式（12）得ZZ分布參數(shù)估計(jì)可表示為如下形式

R=（n-r，0，0，…，0）=1Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤n（i1，i2，…，ir）

R=（n-r，0，0，…，0）=1Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤n（i1，i2，…，ir）

令

1Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=ii

1Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=ii

則R=[n-r，0，0，…，0]1×r時(shí)ZZ分布的最佳線性無(wú)偏估計(jì)如下

R=（n-r，0，0，…，0）=1Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤n∑rj=1D0（i1，i2，…，ir，n，r，j）lntij=

∑rj=11Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤nD0（i1，i2，…，ir，n，r，j）lntij=

∑rj=1D′0，R=（n-r，0，0，…，0）（n，r，j）lntij

R=（n-r，0，0，…，0）=1Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤n∑rj=1D1（i1，i2，…，ir，n，r，j）lntij=

∑rj=11Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤nD1（i1，i2，…，ir，n，r，j）lntij=

∑rj=1D′1，R=（n-r，0，0，…，0）（n，r，j）lntij

為了便于計(jì)算參數(shù)的估計(jì)，其系數(shù)D′0，R=（n-r，0，0，…，0）（n，r，j）和D′1，R=（n-r，0，0，…，0）（n，r，j）在n=5到n=20時(shí)已由計(jì)算機(jī)給出。

3.2 R=[1，1，…，1，0，0，…，0]1×r時(shí)的參數(shù)估計(jì)

在每次失效時(shí)刻XRj∶r∶n，j=1，2，…，r分別移出1個(gè)未失效產(chǎn)品的情況：n個(gè)元件參加試驗(yàn)，設(shè)有r個(gè)失效，且在每次失效時(shí)刻移出1個(gè)未失效元件。在R=[1，1，…1，0，0，…，0]1×r時(shí)，每種情況可能出現(xiàn)的概率P{I1=i1，I2=i2，…，Ir=ir}≡Pi1，i2，…，ir不再相等，但其計(jì)算可借助計(jì)算機(jī)完成，最終體現(xiàn)在后面的數(shù)表中。

由式（11）和式（12），移出數(shù)據(jù)為R=[1，1，…，1，0，…，0]1×r的ZZ分布的最佳線性無(wú)偏估計(jì)表示如下

R=（1，…，1，0，…，0）=∑rj=1D′0，R=（1，…，1，0，…，0）（n，r，j）lntij

R=（1，…，1，0，…，0）=∑rj=1D′1，R=（1，…，1，0，…，0）（n，r，j）lntij

其中，

D′0，R=（1，…，1，0，…，0）（n，r，j）=∑（i1，i2，…，ir）∈G1=ii

D0（ii，i2，…，ir，n，r，j）

D′1，R=（1，…，1，0，…，0）（n，r，j）=∑（i1，i2，…，ir）∈G1=ii

D1（ii，i2，…，ir，n，r，j）

為了便于計(jì)算參數(shù)的估計(jì)，其系數(shù)D′0，R=（1，1，…，1，0，…，0）（n，r，j）和D′1，R=（1，1，…，1，0，…，0）（n，r，j）在n=5到n=20時(shí)已由計(jì)算機(jī)給出。

4 數(shù)值模擬

基于Monte Carlo模擬，給出以上兩種方法下ZZ分布參數(shù)的估計(jì)結(jié)果。根據(jù)文[4]給出的算法，產(chǎn)生ZZ分布下逐次定數(shù)截尾數(shù)據(jù)的步驟如下：

1）產(chǎn)生r個(gè)來(lái)自均勻分布U（0，1）的獨(dú)立隨機(jī)樣本W(wǎng)1，W2，…，Wr;

2）在預(yù)先設(shè)定的逐次定數(shù)截尾移出數(shù)據(jù)

R=[R1，R2，…，Rr]下，令

Vj=W1/（j+Rr+Rr-1+…Rr-j+1）j，j=1，2，…，r;

3）再令Uj=1-VrVr-1…Vm-i+1，j=1，2，…，r，則U1，U2，…，Ur是來(lái)自均勻分布U（0，1）的逐次定數(shù)截尾數(shù)據(jù);

4）令Xj=F-1（Uj），j=1，2，…，r，得到來(lái)自ZZ分布的逐次定數(shù)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其中F-1（·）是ZZ分布函數(shù)的反函數(shù)，

Xj=（β·ln（1-ln（1-Uj）））1/m，j=1，2，…，r。

設(shè)定兩組不同樣本量和兩組不同的移出數(shù)據(jù)，根據(jù)3.1和3.2節(jié)方法，構(gòu)造最佳線性無(wú)偏估計(jì)的系數(shù)值分別如表1和表2所示。

應(yīng)用上述數(shù)據(jù)，模擬得參數(shù)估計(jì)的結(jié)果如表3所示。

從表3中可以看出，最佳線性無(wú)偏估計(jì)結(jié)果和近似極大似然估計(jì)結(jié)果都較接近參數(shù)真值，且最佳線性無(wú)偏估計(jì)結(jié)果較優(yōu)。因此，二者均可應(yīng)用于壽命服從ZZ分布、逐次定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)下的參數(shù)估計(jì)。

5 結(jié) 論

本文基于逐次定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，運(yùn)用近似極大似然法和最佳線性無(wú)偏估計(jì)法，對(duì)產(chǎn)品壽命服從ZZ分布的參數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析。主要構(gòu)建了r維不可觀測(cè)但可求分布的隨機(jī)向量，據(jù)此將收集到的逐次定數(shù)截尾樣本數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為一定概率分布條件下的順序統(tǒng)計(jì)量，進(jìn)而給出ZZ分布參數(shù)的最佳線性無(wú)偏估計(jì)，并可依據(jù)構(gòu)造出的數(shù)表再進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算即得到參數(shù)的估計(jì)值。且此法具有的解析表達(dá)形式、運(yùn)用數(shù)表計(jì)算方便等優(yōu)點(diǎn)，易可應(yīng)用到Weibull分布或其他指數(shù)型壽命分布中。

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（編輯：溫澤宇）