管凌霄，徐長(zhǎng)節(jié),2，可文海，馬錫海，徐立明，虞巍巍

(1.華東交通大學(xué) 江西省巖土工程基礎(chǔ)設(shè)施安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；土木工程國(guó)家實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，南昌 330013；2.浙江大學(xué)濱海和城市巖土工程研究中心，杭州 310058；3.浙江航海城際鐵路有限公司，浙江 嘉興 314000；4.中交一公局集團(tuán)有限公司，北京 100037)

城市地鐵盾構(gòu)隧道開(kāi)挖導(dǎo)致的地層損失會(huì)引起周圍地層的變形[1]，由于城市地下存在大量的管道，緊鄰管道的盾構(gòu)施工必然對(duì)其產(chǎn)生重大影響。因此，眾多學(xué)者對(duì)如何準(zhǔn)確分析盾構(gòu)隧道下穿施工對(duì)鄰近管道的影響展開(kāi)了研究[2]。

圖1 Euler-Bernoulli梁與Timoshenko梁變形特征

1 基本方程的建立

1.1 土體自由場(chǎng)豎向位移

土體自由場(chǎng)豎向位移采用Loganathan等[13]基于線彈性理論提出的盾構(gòu)隧道開(kāi)挖引起周圍土體自由場(chǎng)豎向位移的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)該方法，土體自由場(chǎng)豎向位移Uf(x,z)為

(1)

式中：x為距隧道軸線的水平距離；z為距地表的垂直距離；ε0為盾構(gòu)隧道開(kāi)挖引起的平均地層損失比；R為隧道半徑；H為隧道軸線與地表的垂直距離；v為土體泊松比。采用的簡(jiǎn)化計(jì)算模型如圖2所示，圖中z0為管道軸線與地表的垂直距離，D為管道直徑。此時(shí)，管道軸線z=z0處因盾構(gòu)隧道開(kāi)挖引起的土體豎向位移可表示為Uf(x)=Uf(x,z0)。

圖2 簡(jiǎn)化計(jì)算模型

1.2 管道控制方程的建立

圖3 管土相互作用模型

p(x)Ddx-q(x)Ddx-dQ=0

(2)

(3)

式中：Q、M為管道單元受到的剪力及彎矩；q(x)為土體位移產(chǎn)生的荷載；p(x)為地基反力。根據(jù)Pasternak地基模型可得q(x)、p(x)為

(4)

(5)

式中：w(x)為管道位移函數(shù)；k為地基彈性系數(shù)；gs為地基剪切系數(shù)。k與gs可由式(6)、式(7)計(jì)算[14-15]。

(6)

(7)

式中：Es土體彈性模量；EpIp為管道的抗彎剛度；t為土體剪切層厚度，根據(jù)文獻(xiàn)[16]，對(duì)于管線這種長(zhǎng)寬比很大的地下結(jié)構(gòu)，當(dāng)?shù)鼗疃却笥诮Y(jié)構(gòu)寬度的6倍時(shí)，其地基土的附加應(yīng)力已衰減至非常小，因此，取t=6D進(jìn)行計(jì)算。

根據(jù)Timoshenko梁理論，當(dāng)管道產(chǎn)生豎向變形時(shí)，其彎矩M、剪力Q與豎向位移w(x)的關(guān)系為

(8)

(9)

式中：κGA為管道等效剪切剛度；κ為管道等效截面系數(shù)，管道為環(huán)形截面，故取0.5；G為管道剪切模量，G=Ep/2(1+vp)，vp為管道泊松比；A為管道的橫截面面積。

將式(4)、式(5)、式(8)、式(9)代入式(2)、式(3)可得管道位移w(x)的控制方程為

(10)

2 管道控制方程的求解

式(10)為四階微分方程，公式復(fù)雜不便于直接求解。為方便進(jìn)行推導(dǎo)，可先求出Pasternak地基上Timoshenko無(wú)限長(zhǎng)梁在集中力作用下的解。先令q(x)=0，整理式(10)并求通解，可得

w(x)=eαx[C1cos(βx)+C2sin(βx)]+

e-αx[C3cos(βx)+C4sin(βx)]

(11)

假設(shè)管道為Pasternak地基上無(wú)限長(zhǎng)的Timoshenko梁，在x=0的原點(diǎn)上受到一集中荷載P，此時(shí)x=0處的管道截面因?yàn)槲挥诩辛φ路?，受力后未發(fā)生旋轉(zhuǎn)仍垂直于中性軸，因此，管道的邊界條件可為

w(±∞)=0

(12a)

φx=0=0

(12b)

Qx=0=PD/2

(12c)

將邊界條件式(12)代入式(11)中，可推導(dǎo)得到無(wú)限長(zhǎng)Timoshenko模型管道在集中荷載P作用下的位移方程為

(13)

由文獻(xiàn)[17]可知，為推導(dǎo)出管道受分布力作用下的位移控制方程式(10)，可根據(jù)集中荷載作用下的位移控制式(13)進(jìn)行疊加。整理式(10)，可得

(14)

由此可知，盾構(gòu)隧道開(kāi)挖時(shí)，Timoshenko梁管道在軸線上的任意一點(diǎn)ξ受到的附加荷載為

(15)

將式(15)代入式(13)，可得到下列該點(diǎn)荷載引起的管道豎向位移dw(x)為

(16)

對(duì)式(16)在盾構(gòu)隧道開(kāi)挖引起土體豎向位移的范圍內(nèi)積分，即可求得考慮管道剪切效應(yīng)時(shí)的管道豎向位移

(17)

3 算例驗(yàn)證

3.1 工程算例1

采用文獻(xiàn)[18]中盾構(gòu)隧道下穿開(kāi)挖對(duì)鄰近管道影響實(shí)例的管道豎向位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)該方法進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)例中地鐵盾構(gòu)隧道垂直下穿一條混凝土電纜管道，管道的泊松比vp=0.17，厚度T=0.12 m，其余物理參數(shù)參考文獻(xiàn)[8]取值，如表1所示。

表1 管道計(jì)算參數(shù)

圖4為該方法計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值以及文獻(xiàn)[8]計(jì)算結(jié)果的對(duì)比。文獻(xiàn)[8]采用Pasternak地基模型與Euler-Bernouli梁模型模擬管道位移，由圖4可見(jiàn)，采用Pasternak地基模型與Timoshenko梁模型的計(jì)算方法所得管道位移曲線與實(shí)測(cè)值更加吻合，同時(shí)，與文獻(xiàn)[6]考慮管道側(cè)向土體作用時(shí)的結(jié)果基本一致，證明了該計(jì)算管道豎向位移所用方法的準(zhǔn)確性。

圖4 不同求解方式的管道位移

3.2 工程算例2

Vorster等[4]使用劍橋大學(xué)的離心機(jī)進(jìn)行了盾構(gòu)隧道開(kāi)挖對(duì)鄰近管道影響的試驗(yàn)研究。該離心機(jī)試驗(yàn)中的加速度為75g，文獻(xiàn)[19]對(duì)1g加速度下的物理參數(shù)進(jìn)行取值：隧道半徑R=2.25 m；軸線埋深H=11.25 m；地層損失率ε0=2%；管道抗彎剛度EpIp=3.363×106kN·m2；根據(jù)管道材質(zhì)為鋁合金，且保證抗彎剛度取管道彈性模量Ep=57.5 GPa，泊松比vp=0.3，直徑D=1.19 m，軸線埋深z0=4.165 m；土體彈性模量Es=19.52 MPa，由于土的泊松比很難精確得到，因此，根據(jù)砂土的近似泊松比取v=0.25。

該計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果與離心機(jī)模型試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖5所示。由圖5可以看出，該方法計(jì)算所得管道最大豎向位移值為22.40 mm，略小于試驗(yàn)所得25.08 mm，總體結(jié)果較為一致，呈現(xiàn)的規(guī)律基本吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。

圖5 與離心機(jī)試驗(yàn)對(duì)比圖

4 參數(shù)分析

為研究各物理參數(shù)變化對(duì)考慮剪切效應(yīng)的管道豎向位移的影響，取如下算例進(jìn)行分析：其中，盾構(gòu)隧道的物理參數(shù)為：軸線埋深H=15 m、半徑R=3 m、地層損失率ε0=1%；管道物理參數(shù)為：直徑D=2 m、管片厚度t=0.12 m、彈性模量Ep=3×104MPa、軸線埋深z0=5 m、泊松比vp=0.2；土體物理參數(shù)為：彈性模量Es=6 MPa、泊松比v=0.3。在分析某一參數(shù)與管道豎向位移的關(guān)系時(shí)，其余參數(shù)不變。

4.1 管土彈性模量比變化對(duì)管道豎向位移的影響

圖6 不同管土彈性模量比對(duì)應(yīng)的管道豎向位移

4.2 管道直徑變化對(duì)管道豎向位移的影響

圖7 不同管道直徑對(duì)應(yīng)的管道豎向位移

4.3 管道剪切剛度變化對(duì)管道豎向位移的影響

為研究考慮剪切效應(yīng)時(shí)管道豎向位移與管道剪切剛度之間的關(guān)系，取4組管道剪切剛度進(jìn)行分析，分別為10、1、0.1、0.01 κGA。

圖8為不同管道剪切剛度的情況下，考慮剪切效應(yīng)時(shí)盾構(gòu)隧道下穿施工引起的管道豎向位移曲線。從圖8可看出，在管道剪切剛度從10 κGA減小到0.01 κGA時(shí)，管道豎向位移的最大值隨之增大，由此可說(shuō)明管道剪切剛度的變化對(duì)管道豎向位移存在影響。同時(shí)，隨著剪切剛度的減小，管道豎向位移最大值增大的幅度迅速增加，因此，在一定的剪切剛度范圍內(nèi)，不應(yīng)忽略管道的剪切變形，尤其對(duì)于剪切剛度較小以及可能存在縱向裂縫等病害的管道，采用Timoshenko梁模型模擬管道會(huì)更加合理。

圖8 不同管道剪切剛度對(duì)應(yīng)的管道豎向位移

5 結(jié)論

采用兩階段分析法推導(dǎo)了考慮管道剪切效應(yīng)時(shí)盾構(gòu)隧道開(kāi)挖引起鄰近管道豎向位移的解析解。在第2階段采用考慮剪切效應(yīng)的Timoshenko梁模型模擬管道并結(jié)合疊加法提出了簡(jiǎn)化算法，經(jīng)過(guò)深入分析，得到以下主要結(jié)論：

1)采用考慮剪切效應(yīng)的Timoshenko梁模型研究盾構(gòu)隧道下穿開(kāi)挖對(duì)鄰近管道豎向位移分析時(shí)，其計(jì)算結(jié)果較Euler-Bernouli梁模型更為準(zhǔn)確，結(jié)合疊加法進(jìn)行求解的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確且便于推導(dǎo)。

3)其余參數(shù)一定時(shí)，管道剪切剛度的減小可導(dǎo)致管道最大豎向位移值增大，對(duì)于剪切剛度較小以及可能存在縱向裂縫等病害的管道，采用Timoshenko梁模型模擬管道更加合理