郗洪柱，孔德仁，彭泳卿，張世名，史 青，樂貴高

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.北京遙測(cè)技術(shù)研究所，北京 100076)

引 言

高能戰(zhàn)斗部近地空中爆炸時(shí)會(huì)釋放大量能量，產(chǎn)生高能量沖擊波，超壓是沖擊波殺傷目標(biāo)的主要?dú)?。在近地空?比例爆高不小于0.35)中，存在沖擊波的正反射、正規(guī)反射和馬赫反射。在沖擊波隨時(shí)間演進(jìn)過程中，三者存在疊加現(xiàn)象，產(chǎn)生所謂“三波點(diǎn)”。三波點(diǎn)隨時(shí)間變化在空間留下軌跡。三波點(diǎn)軌跡是沖擊波流場(chǎng)的分界線，即三波點(diǎn)一側(cè)為未疊加態(tài)，超壓時(shí)程曲線呈明顯雙峰形態(tài)；三波點(diǎn)另一側(cè)為疊加態(tài)，處于單峰馬赫波狀態(tài)，峰值高于入射超壓。掌握三波點(diǎn)軌跡規(guī)律，有利于分析爆炸沖擊波流場(chǎng)分布，對(duì)沖擊波超壓毀傷元空間威力的評(píng)估具有重要意義。

目前對(duì)三波點(diǎn)位置的研究方法可分為3類。第一類為實(shí)測(cè)法，即通過實(shí)測(cè)試驗(yàn)得到其位置。根據(jù)測(cè)量方法不同，分為超壓傳感器測(cè)試法和光學(xué)測(cè)試法。前者利用多個(gè)超壓傳感器在不同位置的多次試驗(yàn)中得到流場(chǎng)超壓分布，根據(jù)超壓數(shù)值和傳感器位置確定三波點(diǎn)軌跡[1]；后者利用高速相機(jī)得到爆炸過程圖像，利用紋影技術(shù)得到三波點(diǎn)軌跡信息[2]。實(shí)測(cè)法能夠獲取三波點(diǎn)軌跡真實(shí)數(shù)據(jù)，有利于研究三波點(diǎn)發(fā)展規(guī)律，但成本較高，不易推廣。第二類方法為仿真法，即利用動(dòng)力學(xué)軟件AUTODYN、LS-DYNA等模擬爆炸過程，由壓力時(shí)間云圖讀取三波點(diǎn)位置[3-5]。但數(shù)值模擬存在影響解算精度因素多，解算時(shí)間長及三波點(diǎn)讀取困難等問題。上述兩類方法得到的三波點(diǎn)數(shù)據(jù)通常經(jīng)擬合處理形成預(yù)測(cè)公式[6-7]，但普適性受限于具體擬合方法和數(shù)據(jù)質(zhì)量。第三類方法為理論推導(dǎo)法，如基于Whitham幾何激波動(dòng)力學(xué)理論[8-9]、鏡像法[10-11]等。Whitham理論利用邊界條件得到三波點(diǎn)近似解，計(jì)算較復(fù)雜；鏡像法是一種視實(shí)際爆炸結(jié)果為真實(shí)爆炸與其對(duì)稱于地面的虛擬爆炸疊加的方法，易于建模分析，利用LAMB模型可獲得反射流場(chǎng)數(shù)據(jù)[12-13]。然而，鏡像法通常采用較寬松的假設(shè)，與真實(shí)三波點(diǎn)軌跡有差異。遞推求解過程繁瑣，且需要馬赫反射起始點(diǎn)信息，求該點(diǎn)坐標(biāo)需涉及平面激波理論和復(fù)雜迭代過程[14]。

針對(duì)現(xiàn)有方法無法簡(jiǎn)單、快速、準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)三波點(diǎn)軌跡的問題，本研究基于鏡像法、LAMB模型和數(shù)據(jù)擬合方法，開展近地空爆沖擊波反射流場(chǎng)中三波點(diǎn)的軌跡預(yù)測(cè)模型研究。將平齊于爆高的三波點(diǎn)視為起始點(diǎn)，提出相應(yīng)的三波點(diǎn)軌跡預(yù)測(cè)方法。對(duì)比例爆高不小于0.35的工況，首先利用鏡像法得到流場(chǎng)中三波點(diǎn)處的幾何約束，然后利用LAMB模型求解平齊于爆高的三波點(diǎn)相對(duì)于爆心的比例距離，之后利用多項(xiàng)式擬合法求解三波點(diǎn)約束方程中的未知項(xiàng)系數(shù)，得到相應(yīng)的軌跡快速預(yù)測(cè)模型。通過與數(shù)值模擬結(jié)果、美國結(jié)構(gòu)抗意外爆炸效應(yīng)手冊(cè)(UFC 3-340-02，后文簡(jiǎn)稱UFC)[15]及實(shí)爆三波點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)比，驗(yàn)證了預(yù)測(cè)模型的可靠性。

1 理論方法

近地空中爆炸時(shí)，沖擊波抵達(dá)地面(視為固壁)后依次經(jīng)歷正反射、正規(guī)反射，當(dāng)入射角超過臨界值(約40°)后發(fā)生馬赫反射。以圓柱裝藥TNT(長徑比為1，中心起爆)近地空爆為研究對(duì)象，利用鏡像法分析三波點(diǎn)處的幾何約束。

鏡像法假定爆炸沖擊波在固壁的反射遵循光學(xué)反射定律[10]。反射場(chǎng)中某點(diǎn)除受爆源直接作用外，還受到虛擬反射爆源的作用。利用LAMB疊加模型可實(shí)現(xiàn)反射流場(chǎng)中各爆源作用效果的非線性疊加，其流場(chǎng)壓力計(jì)算公式為[12]：

(1)

式(1)對(duì)正反射流場(chǎng)的求解結(jié)果與Rankine-Hugoniot公式計(jì)算結(jié)果完全一致[12]。

將入射波Ⅰ、反射波Ⅱ和馬赫波Ⅲ視為圓心分別在真實(shí)爆源O、虛擬爆源Oi和鏡像點(diǎn)P的圓弧。三波點(diǎn)下方虛擬入射波與地面交點(diǎn)、馬赫波與地面的交點(diǎn)是待研究的特征點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造相應(yīng)的幾何約束，如圖1所示。

圖1 近地爆炸沖擊波流場(chǎng)傳播示意圖Fig.1 The propagation schematic of shock wave flow field in the near-earth blast

圖中真實(shí)爆源為O，相對(duì)于地面投影點(diǎn)P對(duì)稱的虛擬爆源為Oi，對(duì)應(yīng)爆高為h。馬赫反射起始點(diǎn)為地面S點(diǎn)。入射波Ⅰ、反射波Ⅱ和馬赫波Ⅲ的交點(diǎn)Th位于過爆心O的水平線上，與O距離記為RⅠ，與Oi距離記為RⅡ。由點(diǎn)S經(jīng)點(diǎn)Th并延伸至點(diǎn)Tp，形成了三波點(diǎn)軌跡。將直線ThOi與ThO的銳角夾角記為αⅡ，此處虛擬入射波與地面交點(diǎn)記為H，入射角記為βⅠ；記三波點(diǎn)Tp處虛擬入射波與地面夾角為αⅠ，交點(diǎn)為E，過點(diǎn)E作垂直于OE的直線VE。Tp處馬赫波與地面交點(diǎn)為M，過點(diǎn)M垂直于地面的直線交VE于V。連接OE的直線與Th處虛擬入射波Ⅰ交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N平行于OH的直線交VE延長線于點(diǎn)V′，點(diǎn)V′在地面的投影為點(diǎn)M′，連接V′M′。

根據(jù)圖1所示幾何關(guān)系及超壓與馬赫數(shù)關(guān)系式(2)，可得αⅡ的關(guān)系式(3)：

Δp=2p0·(M2-1)/(1+γ)

(2)

(3)

式中：Δp為峰值超壓，kPa；M為馬赫數(shù)；p0為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，為101.325kPa；γ與上述定義一致；ΔpⅠ、ΔpⅡ分別為入射波和反射波峰值超壓，kPa；RⅠ、RⅡ和αⅡ與上述定義一致。

將式(1)得到的一系列入射和反射超壓代入式(3)，再利用式(4)的約束條件通過迭代可求得RⅠ，按圖1所示坐標(biāo)系，以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，則用長度表示的點(diǎn)Th坐標(biāo)為(RⅠ,h)。

(4)

此后，利用ΔVME和ΔV′M′E的相似性、∠ENV′和∠EOH的相等性得到如下關(guān)系式：

|EM|=f·(|OE|-|ON|)·tan(αⅠ-βⅠ)·cosαⅠ

(5)

式中：f為無量綱相似系數(shù)。

易仰賢[14]和賈雷明[13]均認(rèn)為僅與比例爆高有關(guān)，前者提出了具體的計(jì)算形式如式(6)所示，后者僅以列表形式給出4個(gè)比例爆高對(duì)應(yīng)的相似系數(shù)fJ值和馬赫反射起始三波點(diǎn)坐標(biāo)xT0，如表1所示。為便于使用，本研究分別對(duì)表中fJ和xT0與比爆的關(guān)系進(jìn)行擬合，得到式(7)；將fY的計(jì)算結(jié)果放入表1作為對(duì)比；前者數(shù)值小于后者，應(yīng)用于化爆時(shí)精確性低于后者。

表1 fJ及fY取值Table 1 the parameters of fJ and fY

(6)

(7)

式(5)中入射角βⅠ明顯大于馬赫反射起始入射角，在計(jì)算中通常以縮放系數(shù)乘βⅠ后使用，本研究通過試驗(yàn)知，該值在0.5～0.6之間較為合適，后面計(jì)算中均使用0.6。

本研究基于比爆0.397～1.388的UFC三波點(diǎn)數(shù)據(jù)，利用數(shù)值擬合法構(gòu)建以相對(duì)比爆值為自變量的Th點(diǎn)水平比距的求解公式：

(8)

同理，構(gòu)建f與比例爆高的關(guān)系式：

(9)

(10)

2 數(shù)據(jù)來源及驗(yàn)證

AUTODYN是爆炸領(lǐng)域常用的求解軟件[16]。利用該軟件構(gòu)造數(shù)值模型，生成超壓數(shù)據(jù)及其時(shí)空分布云圖；利用實(shí)爆試驗(yàn)結(jié)果和UFC三波點(diǎn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證數(shù)值模型及三波點(diǎn)讀取方法的可靠性。

數(shù)值模型采用AUTODYN-2D實(shí)現(xiàn)，利用沖擊波傳播的對(duì)稱性構(gòu)建二維1/2模型。研究比例爆高不小于0.35的近地空爆，涉及軟件材料庫中的“TNT”、“AIR”和“SAND”。網(wǎng)格粗細(xì)決定了爆炸沖擊波求解的精確性，當(dāng)網(wǎng)格為10mm和5mm時(shí)，兩者超壓時(shí)程曲線基本一致[17]。建立兩種尺度空氣模型，包裹TNT的小空氣模型的網(wǎng)格尺寸為1mm，外層大空氣模型網(wǎng)格尺寸為5mm。以JWL狀態(tài)方程描述TNT爆轟過程，如式(11)所示：

(11)

式中：p為爆轟壓力；V為相對(duì)體積；E為單位體積內(nèi)能；A、B、R1、R2和ω均為材料常數(shù)，如表2所示[19]。

表2 TNT爆炸的JWL狀態(tài)方程參數(shù)Table 2 State parameters of the JWL equation in TNT detonation

利用本課題組在某靶場(chǎng)對(duì)10kg長徑比1的柱狀TNT空中實(shí)爆(爆高1.5m)超壓數(shù)據(jù)，驗(yàn)證數(shù)值模型的可靠性。試驗(yàn)場(chǎng)地平整開闊，天氣晴朗，微風(fēng)，TNT懸吊于橫梁下，正下方為平整方形鋼板。傳感器PCB137A與爆高平齊并指向爆心。

將數(shù)值模型計(jì)算結(jié)果同實(shí)爆值對(duì)比，如表3所示。由表3可知，數(shù)值結(jié)果較真實(shí)值偏小，偏差均約在-15%以內(nèi)。

表3 數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)爆值對(duì)比Table 3 The comparison between numerical simulation results and the experimental blast data

利用UFC中三波點(diǎn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證從數(shù)值模型中獲取三波點(diǎn)方法的合理性。以比例爆高0.99為例，如圖2所示。

圖2 數(shù)值模型與UFC的三波點(diǎn)軌跡對(duì)比Fig.2 The comparison of triple point trajectory between numerical model and UFC

由圖2可知，相同水平比距下，數(shù)值模型結(jié)果略低于UFC數(shù)據(jù)，這可能是由于三波點(diǎn)讀取誤差及UFC反射效應(yīng)稍強(qiáng)導(dǎo)致?？傮w而言，兩者基本一致。

綜上，數(shù)值模型與實(shí)爆超壓及UFC三波點(diǎn)軌跡均較吻合，驗(yàn)證了本研究構(gòu)建的數(shù)值模型、相關(guān)設(shè)置及三波點(diǎn)讀取方法的合理性。

3 未知參數(shù)確定

利用式(1)～(4)所述理論方法求解平齊于爆高的三波點(diǎn)位置，并與UFC數(shù)據(jù)對(duì)比，如表4所示。

表4 平齊于爆高的三波點(diǎn)坐標(biāo)Table 4 Coordinate of triple point at the explosion height

由表4可知，迭代計(jì)算結(jié)果與UFC數(shù)據(jù)基本一致，表明理論計(jì)算方法可行。

按所述理論方法求解f，然后利用多項(xiàng)式擬合法得到式(9)中4個(gè)無量綱系數(shù)：0.6001、-1.766、1.245、0.6235。

(12)

4 結(jié)果與討論

(13)

4.1 預(yù)測(cè)模型與數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比

構(gòu)建比例爆高為0.7的數(shù)值模型，獲取超壓時(shí)空分布圖，利用圖像處理軟件得到三波點(diǎn)相對(duì)于爆心的位置。利用軌跡預(yù)測(cè)模型計(jì)算三波點(diǎn)位置，同Jia法、Yi法計(jì)算結(jié)果及上述數(shù)值結(jié)果對(duì)比，如圖3所示。

圖3 預(yù)測(cè)模型、Jia法、Yi法及數(shù)值結(jié)果的三波點(diǎn)軌跡對(duì)比Fig.3 Comparison of triple point trajectory among the prediction model, Jia method, Yi method and numerical results

預(yù)測(cè)模型與Jia法結(jié)果相近，但前者更接近數(shù)值結(jié)果；Yi法結(jié)果相對(duì)于數(shù)值結(jié)果偏差較大。相同水平比距下，三波點(diǎn)高度大小為：Jia法>預(yù)測(cè)模型>數(shù)值結(jié)果>Yi法。Jia法與Yi法的相似系數(shù)大小關(guān)系與上述一致；預(yù)測(cè)模型中相似系數(shù)的來源與前述有差異，無法直接相互比較。Yi法中，相似系數(shù)關(guān)系由核爆和高能化爆實(shí)測(cè)結(jié)果確定，Jia法和預(yù)測(cè)模型則均由常規(guī)化爆獲取。前者爆炸產(chǎn)生的入射波能量遠(yuǎn)高于后者，從而前者反射波在遠(yuǎn)高于后者溫度、壓力等參數(shù)下傳播，導(dǎo)致三波疊加發(fā)生的時(shí)機(jī)快于后者，即馬赫反射入射角小于后者，使相似系數(shù)偏小。這表明相似系數(shù)與當(dāng)量和爆高有關(guān)。

4.2 預(yù)測(cè)模型與UFC三波點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)比

利用軌跡預(yù)測(cè)模型計(jì)算比爆0.397、0.595、0.793、0.992、1.190、1.388六種工況時(shí)的三波點(diǎn)位置，并同Yi法和Jia法計(jì)算結(jié)果以及UFC三波點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)比，如圖4所示。

圖4 不同比例爆高時(shí)預(yù)測(cè)模型、Jia法、Yi法及UFC的三波點(diǎn)軌跡對(duì)比Fig.4 Comparison of the triple point trajectory among prediction model, Jia method, Yi method and UFC method at different scaling height

由圖4可知，Yi法得到的三波點(diǎn)高度明顯偏低，是由于采用了較小的相似系數(shù)所致。前4種工況中，Jia法和預(yù)測(cè)模型結(jié)果都與UFC數(shù)據(jù)很接近，Jia法結(jié)果稍大于預(yù)測(cè)模型，而后者與UFC更接近，表明兩者均能有效預(yù)測(cè)三波點(diǎn)位置，但預(yù)測(cè)模型更準(zhǔn)確。后兩種工況中，Jia法結(jié)果偏離UFC數(shù)據(jù)較大，可能是由于超出了Jia法模型的適用范圍，而預(yù)測(cè)模型則仍很接近UFC數(shù)據(jù)。因此，總體上軌跡預(yù)測(cè)模型與UFC數(shù)據(jù)更加吻合。在比爆較小時(shí)(如0.595以內(nèi))預(yù)測(cè)模型對(duì)靠近爆心的三波點(diǎn)位置計(jì)算精確，Yi法和Jia法類似；而在遠(yuǎn)離爆心時(shí)，3種方法得到的三波點(diǎn)位置均隨水平比距的增加而稍偏離UFC數(shù)據(jù)。這是由于隨著真實(shí)三波點(diǎn)高度的增加，馬赫桿與地面的交點(diǎn)和馬赫桿上的三波點(diǎn)構(gòu)成的弧線的中心可能偏離了鏡像點(diǎn)P。3種方法在其他比爆中均存在類似問題。在其他比爆中還存在的共性問題是，三波點(diǎn)的初始計(jì)算結(jié)果相對(duì)于UFC的偏移量增大。這是由于采用了固定的縮放系數(shù)，而隨著爆高的增加，平齊于爆高的三波點(diǎn)處的入射角與馬赫反射起始入射角的關(guān)系發(fā)生了變化所致。通過調(diào)整縮放系數(shù)可減小預(yù)測(cè)模型在初始比距的相對(duì)偏差，但會(huì)使縮放系數(shù)項(xiàng)變復(fù)雜。

4.3 預(yù)測(cè)模型與實(shí)爆數(shù)據(jù)對(duì)比

利用文獻(xiàn)[1]實(shí)爆試驗(yàn)得到的三波點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)一步驗(yàn)證軌跡預(yù)測(cè)模型的可靠性，并同Jia法和Yi法計(jì)算結(jié)果對(duì)比，如圖5所示。

圖5 預(yù)測(cè)模型、Yi法及實(shí)爆結(jié)果的三波點(diǎn)軌跡對(duì)比Fig.5 The comparison of the triple point trajectory among the prediction model, Yi method and experimental results

文獻(xiàn)給出的水平比距9.49時(shí)三波點(diǎn)高度為2.2～2.3m，本研究取均值2.25m計(jì)算比例高度。實(shí)爆試驗(yàn)的比例爆高為1.4235，在計(jì)算時(shí)將實(shí)際三波點(diǎn)坐標(biāo)(6.64，1.42)作為平齊于爆高的三波點(diǎn)位置，因此，該點(diǎn)的預(yù)測(cè)值縱坐標(biāo)與比例爆高相同。經(jīng)對(duì)比可知，橫坐標(biāo)的預(yù)測(cè)值小于實(shí)際值。除此之外，三波點(diǎn)預(yù)測(cè)爆高均大于實(shí)際值；Yi法計(jì)算結(jié)果均低于實(shí)際值；而Jia法可能由于超出了適用范圍，其計(jì)算結(jié)果遠(yuǎn)大于實(shí)際值。總體而言，預(yù)測(cè)模型結(jié)果與實(shí)爆三波點(diǎn)位置更吻合。

綜上所述，預(yù)測(cè)模型效果最佳，在比例爆高約為0.35至1.42之間的近場(chǎng)(水平比距不大于10)應(yīng)用時(shí)可靠性高。對(duì)于更高的比例爆高和更遠(yuǎn)的水平比距，目前缺乏足夠可信的三波點(diǎn)數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)模型的更大適應(yīng)性有待進(jìn)一步驗(yàn)證。

5 結(jié) 論

(1)基于鏡像法得到了三波點(diǎn)的幾何約束，結(jié)合LAMB模型和迭代法，計(jì)算了平齊于爆高的三波點(diǎn)位置，得到了軌跡預(yù)測(cè)模型表達(dá)式；基于UFC三波點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)表達(dá)式中的未知項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行了多項(xiàng)式擬合，得到了三波點(diǎn)軌跡快速預(yù)測(cè)模型。

(2)利用數(shù)值結(jié)果、UFC三波點(diǎn)數(shù)據(jù)及實(shí)爆試驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)試了軌跡預(yù)測(cè)模型的效果，并同Yi法和Jia法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明，預(yù)測(cè)模型與已有數(shù)據(jù)最接近，驗(yàn)證了預(yù)測(cè)模型的可靠性。

(3)基于幾何約束得到的預(yù)測(cè)模型存在適用范圍。在比例爆高為0.35至1.42且水平比距不大于10時(shí)的軌跡預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性得到了驗(yàn)證，對(duì)于預(yù)測(cè)模型在更廣工況上的適應(yīng)性有待進(jìn)一步驗(yàn)證。