楊 丹

(喀什大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆 喀什 844008)

0 引言

得益于凸性與廣義凸性在最優(yōu)化領域的重要作用，使得針對凸性與廣義凸性的研究成為數(shù)學學科的重要研究課題。但實際上，具有凸性的函數(shù)相對來說是很少的。國內(nèi)外數(shù)學學者相繼研究出各類廣義凸函數(shù)、嚴格凸函數(shù)與半嚴格凸函數(shù)及其在最優(yōu)化鄰域的相關應用。

假設E是拓撲線性空間，X?E是非空凸子集，f：X→R，以下函數(shù)類定義見文獻[1]和文獻[2]。

定義1[1]如果?x，y∈X，?λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)，則稱f(x)為X上的凸函數(shù)。

定義2[2]設f：X→R。

(1)如果?x，y∈X，x≠y，?λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，則稱f(x)為X上的嚴格凸函數(shù)。

(2)如果?x，y∈X，f(x)≠f(y)，?λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，則稱f(x)為X上的半嚴格凸函數(shù)。

(3)如果?x，y∈X，?λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)≤max{f(x)，f(y)}，則稱f(x)為X上的擬凸函數(shù)。

(4)如果?x，y∈X，x≠y，?λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)

(5)如果?x，y∈X，f(x)≠f(y)，?λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)

在廣義凸性的研究中，對于嚴格凸函數(shù)，條件(1)經(jīng)常被使用。

條件(1)：?λ∈(0，1)，?x，y∈X，x≠y，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)。在文獻[3-6]中函數(shù)f滿足條件(1)，且f是上半連續(xù)或下半連續(xù)或凸函數(shù)，則f為嚴格凸函數(shù)。在條件(1)的基礎上，本文研究更弱條件下，?x，y∈X，x≠y，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)成立的嚴格凸函數(shù)的幾個性質(zhì)。

對于半嚴格凸函數(shù)的研究，大量的參考文獻主要集中于條件(2)。

條件(2)：?λ∈(0，1)，?x，y∈X，f(x)≠f(y)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)。

文獻[3]表明，在條件(2)的基礎上，無論f為凸函數(shù)或下半連續(xù)，f均為半嚴格凸函數(shù)。因此，本文研究在比條件(2)更弱的條件?x，y∈X，f(x)≠f(y)，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)下半嚴格凸函數(shù)的性質(zhì)。

1 嚴格凸函數(shù)

引理1[7]若f：X→R為凸函數(shù)，且x，y∈X，x≠y，λ0∈(0，1)，使得：

f(λ0x+(1-λ0)y)=λ0f(x)+(1-λ0)f(y)

則f(λx+(1-λ)y)=λf(x)+(1-λ)f(y)?λ∈(0，1)。

定理1 設f：X→R為凸函數(shù)，如果f滿足條件?x，y∈X，x≠y，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，則f在X上是嚴格凸函數(shù)。

證明：用反證法，假設f在X上不是嚴格凸函數(shù)，也即?x，y∈X，x≠y，?λ0∈(0，1)，有f(λ0x+(1-λ0)y)≥λ0f(x)+(1-λ0)f(y)。

又因為f為凸函數(shù)，對上述x，y以及λ0∈(0，1)有f(λ0x+(1-λ0)y)≤λ0f(x)+(1-λ0)f(y)。

綜上可知，對上述x，y，λ0∈(0，1)有f(λ0x+(1-λ0)y)=λ0f(x)+(1-λ0)f(y)。

由引理1可知，對上述x，y對?λ∈(0，1)，f(λx+(1-λ)y)=λf(x)+(1-λ)f(y)成立。這與定理1的條件相矛盾，所以原命題正確。

推論1 設f：X→R滿足條件?x，y∈X，x≠y，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，且f在X下半連續(xù)，則f在X上是嚴格凸函數(shù)。

證明：由文獻[3](定理1.2.8)可知，f在X下半連續(xù)且滿足條件(1)時，則f為凸函數(shù)，又因為滿足推論1，則條件?x，y∈X，x≠y，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)必滿足條件(1)，所以可知f為凸函數(shù)，又有定理1可知f在X上是嚴格凸函數(shù)。

推論2 設f：X→R為擬凸函數(shù)，且滿足條件?x，y∈X，x≠y，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，則f在X上是嚴格凸函數(shù)。

證明：由文獻[3](定理2.1.15)可知，f在X上為擬凸函數(shù)且滿足條件(1)時，則f為凸函數(shù)，又因為滿足推論2的條件，則?x，y∈X，x≠y，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)必滿足條件(1)，所以可知f為凸函數(shù)，又由定理1可知f在X上是嚴格凸函數(shù)。

推論3 設f：X→R為嚴格擬凸函數(shù)，且滿足條件?x，y∈X，x≠y，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，則f在X上是嚴格凸函數(shù)。

證明：因為嚴格擬凸函數(shù)必定是擬凸函數(shù)，由推論2可知，f在X上是嚴格凸函數(shù)。

下面舉例說明在上半連續(xù)條件下，f滿足條件?x，y∈X，x≠y，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，f在X上不是嚴格凸函數(shù)。顯然本文研究的條件比條件(1)弱，結果更具一般性。

(1)f滿足條件?x，y∈X，x≠y，?λ∈(0，1)，f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)；

(2)f在(-∞，+∞)上半連續(xù)；

(3)f在(-∞，+∞)不是嚴格凸函數(shù)。

證明：(1)任取ε>0，取δ=1，使得當|x-0|<1時，f(x)-f(0)<0<ε成立，故f在x=0處上半連續(xù)；

(2)?x，y∈R，總存在λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)在λf(x)與(1-λ)f(y)連線下方，即f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)成立；

2 半嚴格凸函數(shù)

定理2 設f：X→R為凸函數(shù)，如果f滿足條件?x，y∈X，f(x)≠f(y)，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，則f在X上是半嚴格凸函數(shù)。

證明：用反證法，假設f在X上不是半嚴格凸函數(shù)，也即?x，y∈X，f(x)≠f(y)，?λ0∈(0，1)有f(λ0x+(1-λ0)y)≥λ0f(x)+(1-λ0)f(y)。

又因為f為凸函數(shù)，對上述x，y以及λ0∈(0，1)有：

f(λ0x+(1-λ0)y)≤λ0f(x)+(1-λ0)f(y)

綜上可知，對上述x，y，λ0∈(0，1)有f(λ0x+(1-λ0)y)=λ0f(x)+(1-λ0)f(y)。

由引理1可知，對上述x，y，存在?λ∈(0，1)，成立f(λx+(1-λ)y)=λf(x)+(1-λ)f(y)。這與定理2條件矛盾！

下面舉例說明f滿足條件?x，y∈X，f(x)≠f(y)，?λ∈(0，1)，使得：

f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)

則f為上半連續(xù)或半嚴格擬凸函數(shù)，f不一定為半嚴格凸函數(shù)。

(1)f滿足條件?x，y∈X，f(x)≠f(y)，?λ∈(0，1)，f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)；

(2)f滿足上半連續(xù)、半嚴格擬凸函數(shù)；

(3)f不是半嚴格凸函數(shù)。

證明：(1)任取x，y∈[-1，1]，f(x)≠f(y)，有如下情況討論：

(ⅰ)f(x)=1，f(y)=-1，總存在λ∈(0，1)，使得：

f(λx+(1-λ)y)=-1，而λf(x)+(1-λ)f(y)=2λ-1

又因為λ∈(0，1)，故f(λx+(1-λ)y)=-1<λf(x)+(1-λ)f(y)；

(ⅱ)f(x)=1，f(y)=0，必有x=-1，y=0，存在λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)=-1，顯然有f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)成立；

(ⅲ)f(x)=-1，f(y)=0必存在：

λ∈(0，1)，f(λx+(1-λ)y)=-1

而λf(x)+(1-λ)f(y)=-λ，又λ∈(0，1)，顯然f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)成立；

(ⅳ)余下情況按上述方法類似討論知結論成立。

(2)在x=-1，x=0處顯然上半連續(xù)；

現(xiàn)在討論半嚴格擬凸函數(shù)。任取x，y∈[-1，1]，f(x)≠f(y)討論如下：

(ⅰ)f(x)=1，f(y)=-1，對于?λ∈(0，1)，都有f(λx+(1-λ)y)<1，故有

f(λx+(1-λ)y)

(ⅱ)f(x)=1，f(y)=0，必有x=-1，y=0，?λ∈(0，1)，λx+(1-λ)y∈(-1，0)，f(λx+(1-λ)y)=-1

(ⅲ)f(x)=-1，f(y)=0，?λ∈(0，1)，λx+(1-λ)y∈(-1，0)∪(0，1)，所以有f(λx+(1-λ)y)=-1

(ⅳ)余下情況按上述方法類似討論知結論成立。

3 總結

本工作在兩種更弱條件下，研究了嚴格凸函數(shù)、半嚴格凸函數(shù)的判別準則及其相關性質(zhì)，結果如下：

1)設f：X→R，滿足條件?x，y∈X，x≠y，?λ∈(0，1)使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，如果f是凸或擬凸或下半連續(xù)或嚴格擬凸，那么f是嚴格凸函數(shù)；

2)設f：X→R為凸函數(shù)，且滿足條件?x，y∈X，f(x)≠f(y)，?λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，則f在X上是半嚴格凸函數(shù)。