李曜辰，王春光

(山東科技大學(xué) 能源與礦業(yè)工程學(xué)院,山東 青島 266590)

0 引 言

煤層氣開采與礦井瓦斯抽采均涉及多物理耦和過程。煤層氣的主要成分是甲烷，大部分甲烷以吸附狀態(tài)存儲在煤孔隙/裂隙結(jié)構(gòu)中。當(dāng)煤儲層壓力降低后，吸附態(tài)甲烷分子會解吸成游離態(tài)，從煤基質(zhì)內(nèi)擴(kuò)散進(jìn)入裂隙。在此過程中，會出現(xiàn)煤基質(zhì)收縮，煤裂隙壓縮導(dǎo)致滲透率變化，進(jìn)而又會影響后續(xù)的吸附氣體解吸-擴(kuò)散-滲流。因此研究煤-氣吸附/解吸過程對煤儲層物性的動態(tài)影響規(guī)律是高效開發(fā)煤層氣、提高煤層氣抽采量的基本科學(xué)問題[1]。

有關(guān)煤儲層流-固耦合關(guān)系已經(jīng)開展大量的研究[2-6]。張宏斌等[7]根據(jù)有效應(yīng)力原理建立的單孔隙滲透率模型，得到了業(yè)內(nèi)廣泛應(yīng)用[8-9]。考慮到深部煤儲層溫度較高，曲鴻雁等[10]從熱力學(xué)的角度將溫度變量引入Langmuir吸附方程,建立了吸附參數(shù)與環(huán)境溫度的數(shù)學(xué)關(guān)系。李寶林等[11]研究了煤層溫度對氣體滲流的影響。XIA等[12-13]考慮了焦耳湯姆遜效應(yīng)對溫度的改變，構(gòu)建了熱-流-固三場耦合的模型。XUE[14]考慮了非達(dá)西流體和滑脫效應(yīng)對溫度的影響。KHALILI[15]建立了雙孔彈性介質(zhì)的非等溫流動和變形的偏微分方考慮了熱對流、溫度梯度和壓力梯度引起的流體通量、相壓收縮熱等。這些研究表達(dá)了熱流固耦合過程，揭示了溫度、固體、氣體互相作用演化的機(jī)理。

煤的吸附能力與其孔隙結(jié)構(gòu)發(fā)育和礦物組成有關(guān)[16]，不同煤階的吸附性能差異顯著[17]。目前評價煤對氣體的吸附參數(shù)多數(shù)是進(jìn)行等溫吸附實(shí)驗(yàn)，根據(jù)Langmuir[18-19]或Brunauer-Emmett-Teller(BET)[20]等溫吸附方程確定相關(guān)參數(shù)。值得注意的是，在吸附過程中氣體分子移向固體表面，其分子運(yùn)動速度降低同時釋放出熱量；而在解吸過程中，氣體分子需要吸收熱量才能脫離固相表面。發(fā)生在煤粒表面甲烷或二氧化碳的吸附過程屬于物理吸附。YUE等[21]觀測到了氣體吸附使煤粉溫度升高的現(xiàn)象[22]。劉志祥等[23-24]、孟召平等[25]和CHABANK等[26]討論了吸附熱產(chǎn)生的機(jī)理，研究了宏觀溫度變化與微觀分子吸附解吸等行為之間的關(guān)系。為研究溫度對吸附的影響，周勝國等比較了不同吸附方程的準(zhǔn)確度，測量了不同溫度下吸附參數(shù)，研究了不同溫度與壓力組合條件下平衡吸附量，建立了吸附參數(shù)與溫度的對應(yīng)關(guān)系[27]。

由此可見，現(xiàn)有的基于等溫吸附試驗(yàn)得到吸附量與壓力關(guān)系描述了溫度與壓力均處于平衡狀態(tài)下固體顆粒吸附氣體能力。然而，等溫吸附過程未能考慮氣體動態(tài)吸附產(chǎn)熱對孔隙結(jié)構(gòu)的影響。吸附熱是注采過程中一個并沒有得到足夠重視的影響因素。通過對改變溫度，影響溫度敏感因素，從而對煤-氣相互作用過程產(chǎn)生影響，吸附熱在煤中氣體的注采過程中扮演了重要角色。

基于此，根據(jù)雙孔隙介質(zhì)理論，在固體變形-氣體流動-吸附解吸耦合關(guān)系中引入吸附熱。其中，溫度與吸附的相互影響，溫度與固體變形、氣體流動的相互影響將控制整個物理過程。將煤的吸附應(yīng)變值定義為溫度函數(shù)，煤-氣系統(tǒng)的儲熱項(xiàng)劃分為裂隙系統(tǒng)與基質(zhì)系統(tǒng)；并以固體應(yīng)變作為耦合項(xiàng)，考慮了煤與環(huán)境熱交換過程，建立考慮吸附熱的“變形-滲流-擴(kuò)散”耦合計(jì)算模型。探究煤在吸附解吸氣體時溫度的變化規(guī)律，為煤層氣開采時煤層溫度演化提供參考。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 煤體變形方程

煤體的力學(xué)平衡方程定義為

σij,i+fi=0

(1)

其中：σij,i為應(yīng)力張量的分量，fi為體力的分量。煤體彈性階段的幾何變形方程可以表示為

(2)

其中：εij為應(yīng)變張量，ui,j和uj，i為位移張量。

根據(jù)煤的雙重孔隙結(jié)構(gòu)，煤體的本構(gòu)關(guān)系包括：彈性變形、氣體吸附、熱膨脹及裂隙系統(tǒng)與基質(zhì)系統(tǒng)間壓差影響(圖1)其與應(yīng)變的數(shù)學(xué)關(guān)系可以分別表示為

圖1 裂隙-基質(zhì)結(jié)構(gòu)示意[28]

(3)

(4)

其中：εmij、εfij分別為基質(zhì)應(yīng)變與裂隙應(yīng)變；σij為應(yīng)力；基質(zhì)切變模量Gm=Em/2(1+νm)，裂隙切變模量Gf=Ef/2(1+νf)，νm、νf分別為基質(zhì)泊松比與裂隙泊松比；基質(zhì)體積模量Km=Em/3(1-2νm)，裂隙體積模量Kf=Ef/3(1-2νf)；σkk為應(yīng)力張量；δij為克羅內(nèi)可函數(shù)；基質(zhì)比奧系數(shù)αm=1-K/Ks，Ks為煤粒的剛度。裂隙比奧系數(shù)αf=1-K/dKn，d為裂隙間的距離，Kn為裂隙的剛度；(εms、εfs)分別為基質(zhì)中氣體吸附引起的體積應(yīng)變與裂隙中氣體吸附引起的體積應(yīng)變；αT為煤體熱膨脹系數(shù)；ΔT表示溫度變化量，T表示溫度；pm、pf分別為基質(zhì)氣體壓力和裂隙氣體壓力。根據(jù)朗格繆爾吸附理論[29]

(5)

(6)

(7)

(8)

其中：εms、εfs分別為基質(zhì)的吸附應(yīng)變與裂隙的吸附應(yīng)變；εL為朗格繆爾應(yīng)變常數(shù)；Vms、Vfs分別為基質(zhì)中吸附氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀況下所占的體積與裂隙中吸附氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀況下所占的體積；VL為朗格繆爾體積常數(shù)；PL(T)為朗格繆爾壓力。曲鴻雁等[16]定義其與溫度T的關(guān)系為升溫時

(9)

溫度下降時

(10)

其中：PL0為初始溫度時的朗格繆爾壓力；Cc(T)為煤的熱容；T為溫度；T0為初始溫度；R為理想氣體常數(shù)。聯(lián)立式(1)—式(4)得到煤體Navier形式解為

(11)

(12)

其中：umi，kk、ufi，kk分別為基質(zhì)位移在主位移方向上導(dǎo)數(shù)的和與裂隙位移在主位移方向上導(dǎo)數(shù)的和；umk，ki、ufm，ki分別表示基質(zhì)位移在切應(yīng)力方向上導(dǎo)數(shù)的和與裂隙位移在切應(yīng)力方向上導(dǎo)數(shù)的和；pm，i為基質(zhì)氣體壓力在i方向上的導(dǎo)數(shù)；pf，i為裂隙氣體壓力在i方向上的導(dǎo)數(shù)。

1.2 氣體流動方程

裂隙系統(tǒng)與基質(zhì)系統(tǒng)內(nèi)氣體質(zhì)量交換通過源匯項(xiàng)實(shí)現(xiàn)，包括流動項(xiàng)與吸附項(xiàng)。裂隙氣體與基質(zhì)氣體的質(zhì)量守恒[26]分別表示為

(13)

(14)

其中：φm、φf分別為基質(zhì)孔隙度與裂隙孔隙度；ρ表示密度，ρm、ρf分別為基質(zhì)氣體密度與裂隙氣體密度，t為時間；qm為基質(zhì)氣體流速；qf為裂隙氣體流速；Qm、Qf分別為裂隙與基質(zhì)間的氣體質(zhì)量交換；Qms、Qfs分別為裂隙與基質(zhì)的氣體吸附量。據(jù)理想氣體狀態(tài)方程

(15)

其中，Mg為氣體相對分子質(zhì)量。根據(jù)達(dá)西定律定義，基質(zhì)氣體流速qm，裂隙氣體流速qf[2]分別為

(16)

(17)

其中：km、kf分別為基質(zhì)滲透率與裂隙滲透率；μ為氣體的黏度。

裂隙與基質(zhì)間的氣體質(zhì)量交換Qm、Qf[30]可以分別表示為

(18)

(19)

其中，τ為氣體擴(kuò)散時間。

裂隙與基質(zhì)的氣體吸附量Qms、Qfs可以分別表示為

(20)

(21)

其中：ps、TS分別為標(biāo)準(zhǔn)狀況下的壓力與溫度；ρcm、ρcf分別為基質(zhì)的密度與裂隙的密度。將式(15)—式(21)代入式(13)—式(14)得到流動方程

(22)

(23)

1.3 孔隙度與滲透率方程

煤的裂隙孔隙度與基質(zhì)孔隙度分別定義為煤應(yīng)變的函數(shù)[31]

φf=φf0+αfΔεfe

(24)

φm=φm0+αmΔεme

(25)

其中：Δεfe、Δεme分別為裂隙有效應(yīng)變變化量與基質(zhì)有效應(yīng)變變化量[28]；φf0、φm0分別為裂隙初始孔隙度與基質(zhì)初始孔隙度。

(26)

(27)

其中：Δεfv、Δεmv分別為裂隙體積應(yīng)變變化量與基質(zhì)體積應(yīng)變變化量；Δεfs、Δεms分別為裂隙吸附應(yīng)變變化量與基質(zhì)吸附應(yīng)變變化量；αTΔT為熱應(yīng)變；clf、clm分別為吸附應(yīng)變對裂隙和基質(zhì)的影響因子

(28)

(29)

其中，Δpmax表示壓力的最大差值。

根據(jù)孔隙度與滲透率的關(guān)系

(30)

(31)

其中：kf0、km0分別為裂隙初始滲透率與基質(zhì)初始滲透率。

1.4 熱量流動方程

煤-氣系統(tǒng)的儲熱項(xiàng)包括煤裂隙、裂隙氣體、煤基質(zhì)體與基質(zhì)氣體?？紤]到煤結(jié)構(gòu)較為致密，假設(shè)4個儲熱項(xiàng)在無限小的局域內(nèi)具有良好的相互導(dǎo)熱性，即在任一時刻、同一計(jì)算單元中，煤裂隙、煤基質(zhì)、裂隙氣體和基質(zhì)氣體彼此溫度相同，氣體的熱對流也以裂隙氣體為主?？紤]熱量的產(chǎn)生與流動的方程定義為

(32)

其中，Ceq為等效熱容；Keq為等效導(dǎo)熱系數(shù)；CL為體積熱容；QH為吸附解吸產(chǎn)生的熱源匯；QG為煤層與恒溫地層熱交換時所產(chǎn)生的熱源匯。等效熱容Ceq定義為

Ceq=(1-φf-φm)ρcCc+(φfρgf+φmρgm)Cg

(33)

其中，ρc為煤的密度；Cc、Cg分別為煤的熱容與氣體的熱容。

等效導(dǎo)熱系數(shù)Keq可以定義為

Keq=(1-φf-φm)Kc+(φf+φm)Kg

(34)

其中，Kg、Kc分別為氣體的導(dǎo)熱系數(shù)與煤的導(dǎo)熱系數(shù)。

吸附熱QH可以定義為

(35)

圖2為各物理場之間的耦合關(guān)系，研究吸附熱引起的溫度變化如何在該物理關(guān)系中產(chǎn)生影響，量化該影響并探究其對煤吸附解吸氣體相關(guān)研究的意義。

圖2 多物理場耦合關(guān)系圖

2 模型驗(yàn)證

2.1 數(shù)值模擬

煤體吸附氣體產(chǎn)熱過程可以通過室內(nèi)試驗(yàn)直接觀測[32]。已提出的耦合模型的可靠性可對比已有的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。依據(jù)文獻(xiàn)[32]中測試條件，將圓柱煤樣簡化為二維旋轉(zhuǎn)對稱模型，模型一端注氣，其他邊界無位移且無氣體質(zhì)量交換。注氣端自由，其他邊界受夾持器影響無切向位移。煤柱側(cè)面在保溫棉的包圍下與環(huán)境無熱量交換，注氣端保持室溫，底端蓋玻璃片與外部保持熱量流動，見表1。

表1 模擬邊界條件

模型示意如圖3所示。

圖3 熱傳遞室內(nèi)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

相關(guān)系數(shù)如下：

甲烷比熱容Cgch4(J·kg-1·K-1)2 160[33]煤導(dǎo)熱系數(shù)Kc(W·K-1·m-1)0.191 3[34]甲烷導(dǎo)熱系數(shù)Kg/(W·K-1·m-1)0.037 1[34]基質(zhì)初始孔隙度?m00.01裂隙初始孔隙度?f00.02基質(zhì)初始滲透率km0/m21.5×10-16[35]裂隙初始滲透率kf0/m21.4×10-15[34]煤泊松比νm0.339 4[34]煤體熱膨脹系數(shù)αT/(1·K-1) 9×10-5[34]初始朗格繆爾壓力PL0/MPa2.1[34]朗格繆爾應(yīng)變常數(shù)εL/(m3·kg-1)0.023 7[34]二氧化碳比熱容Cgco2/(J·kg-1·K-1)844[33]二氧化碳相對分子質(zhì)量Mg44二氧化碳導(dǎo)熱系數(shù)Kg/(W·K-1·m-1)0.016 8[33]初始溫度T0/K293.15甲烷黏度μ/(Pa·s)1.2×10-5[33]甲烷吸附熱值q/(kJ·mol-1)8.1[33]基質(zhì)比奧系數(shù)αm0.667裂隙比奧系數(shù)αf0.3基質(zhì)彈性模量Em/MPa2 713[33]裂隙彈性模量Ef/GPa1.416[33]煤粒彈性模量Es/GPa8.139[33]甲烷相對分子質(zhì)量Mg16[33]理想氣體常數(shù)R/(J·m-1·K-1)8.314 41[33]煤比熱容Cc/(J·kg-1·K-1)1 000二氧化碳吸附熱值q/(kJ·mol-1)19.2[33]二氧化碳黏度μ/(Pa·s)1.37×10-5[33]

2.2 模擬結(jié)果

數(shù)值模擬的煤體溫度變化如圖4所示，可以看出模擬結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)具有較高度的擬合度，模擬需要的相關(guān)系數(shù)見表2。甲烷注入煤體后將導(dǎo)致復(fù)雜的熱量流動、固體變形吸附甲烷過程將導(dǎo)致煤體積變化、吸附熱變形、吸附產(chǎn)熱功率與熱損失根據(jù)溫度隨時間變化特征，可分為4個階段：

第1階段：在甲烷注入煤體的前40～60 s，甲烷分子迅速吸附于煤表面，導(dǎo)致煤體溫度隨即升高。注氣壓力越高，煤體溫度升幅越大(圖4)。在氣體吸附與吸附放熱共同影響下，煤體積迅速膨脹，之后趨于平穩(wěn)(圖5)。其中，吸附熱引起煤體積變形隨溫度變化正相關(guān)(圖6)。吸附放熱功率在注氣初始階段先迅速增加，隨后回至0。在此過程中，吸附熱開始經(jīng)過吸附罐外殼向外界傳導(dǎo)，熱損失通量表現(xiàn)為先增大，后降低過程。

圖4 煤表面溫度隨時間變化曲線

圖5 體積應(yīng)變隨時間變化曲線

圖6 熱應(yīng)變隨時間變化曲線

第2階段：煤體溫度從峰值開始下降，吸附放熱功率接近0，這說明注入甲烷在煤體內(nèi)部吸附趨于平衡狀態(tài)(圖7)。熱通量逐漸增加至0(圖8)，這說明，吸附罐內(nèi)聚集熱量向環(huán)境傳導(dǎo)速率放緩。導(dǎo)致溫度下降，煤的熱膨脹應(yīng)變變小。

圖8 邊界熱通量隨時間變化曲線

第3階段：在降壓持續(xù)時間約60 s過程中，吸附態(tài)甲烷從煤表面解吸。與吸附放熱過程相反，吸附態(tài)氣體分子需要吸收熱量才能轉(zhuǎn)換為游離態(tài)。由圖7可知，在降壓初始階段，煤的吸附熱功率負(fù)向增大。氣體壓力越高，吸附熱功率增幅越大。與此同時，熱通量正向增大，表明煤從環(huán)境吸收熱量(圖7)。受吸附氣體解吸與溫度降低共同影響，煤樣體積在此階段持續(xù)收縮。

圖7 吸附熱功率隨時間變化曲線

第4階段，吸附罐內(nèi)壓力恢復(fù)至常壓后，煤體內(nèi)吸附氣體解吸過程趨于停滯，煤體溫度也隨之平衡。在較高注氣壓力條件下，最終的平衡溫度會低于初始溫度。這可能是由于較大壓降排出氣體較多，損失較多熱量。

由上述過程可知，吸附熱引起煤體溫度變化主要來自2個因素：一方面是氣體壓力梯度因素，由圖7知較高的注氣壓力可以提供更快的吸附速率，發(fā)熱功率隨之增大，升溫速率加快。同樣，在解吸階段較高的壓降也可以增大吸熱功率，降溫幅度更為明顯。另一方面是與環(huán)境熱交換因素，由圖8知注氣壓力越高，吸附熱量流動越快。對第1與第3階段，甲烷吸附/解吸誘發(fā)的放/吸熱是導(dǎo)致溫度變化的主要原因。對第2與第4階段，由于吸附/解吸過程趨于平衡，溫差逐漸減小，熱量損耗變慢。熱量傳遞成為導(dǎo)致溫度變化的主要原因。

此外，氣體吸附-解吸過程也影響煤體積變化。煤體骨架受力學(xué)壓縮、吸附膨脹與熱膨脹3者控制。對于吸附階段，注氣壓力升高會壓縮煤體積，但同時也會增加吸附熱膨脹與吸附膨脹；對于解吸階段，氣壓降低會減弱煤的力學(xué)壓縮變形，同時伴隨解吸收縮變形與吸熱收縮變形。

3 分析算例

圖9 模擬模型示意

3.1 恒定注氣壓力條件

煤儲層壓力的初始值設(shè)定為0.1 MPa，初始溫度293.15 K，將8 MPa壓力的二氧化碳持續(xù)注入2 000 d。圖10a所展示的測量點(diǎn)溫度變化情況顯示，二氧化碳吸附產(chǎn)熱過程導(dǎo)致該點(diǎn)溫度明顯上升，最大溫升約為14 K。圖10b為吸附熱對吸附量的影響，反映了二氧化碳地質(zhì)封存效果。經(jīng)過對比未考慮吸附熱時煤層吸附氣體量，可以看出單位體積煤體對二氧化碳的吸附性能被升高的溫度削弱了約14.05%。圖10c為吸附熱對裂隙滲透率的影響。雖然吸附熱量聚集會降低煤的吸附氣體能力，進(jìn)而減弱煤的吸附膨脹應(yīng)變，但吸附熱會導(dǎo)致煤體熱膨脹加劇，熱膨脹在該競爭控制中占據(jù)優(yōu)勢。在該種情況下，被氣體壓力撐開的裂隙通道由于煤粒的熱膨脹反而呈現(xiàn)出滲透率先下降的趨勢。這說明未考慮吸附熱的數(shù)值模型將高估煤儲層滲透率。在吸附熱的影響下導(dǎo)致二氧化碳注入效率降低。由圖10d可知，吸附熱效應(yīng)導(dǎo)致注入量只有恒溫條件下的83.2%。

圖10 恒定注氣壓力條件

3.2 恒定注氣速率條件

圖11為以速率30 kt/a(即1.285 kg/s)持續(xù)注氣800 d過程中煤儲層溫度、吸附氣體量與滲透率變化情況。由于該注入條件要求不斷調(diào)整注氣壓力，以保證注氣速率不變，導(dǎo)致煤儲層物理性質(zhì)持續(xù)動態(tài)變化。由圖11a可知，煤層溫度快速上升，在800 d時，溫度上升10.8 K。持續(xù)升溫會減弱煤層吸附性能，同時增加煤骨架的熱膨脹(圖11b)。在此過程中，裂隙滲透率表現(xiàn)為初期短時減小后快速增加，接著持續(xù)降低過程(圖11c)。由于煤儲層滲透率的持續(xù)降低，導(dǎo)致注氣壓力持續(xù)升高至7.2 MPa(圖11d)。經(jīng)過對比可以發(fā)現(xiàn)，忽略吸附熱時注氣壓力可達(dá)6.2 MPa。

圖11 恒定注氣速率條件

4 結(jié) 論

1)氣體在煤表面的吸附放熱/解吸吸熱過程會改變煤體溫度，動態(tài)影響吸附/解吸進(jìn)程。對于吸附過程，注氣壓力越大，升溫越顯著；對于解吸過程，降壓越大，降溫幅度越大。在整個吸附/解吸過程中，煤體積變化是吸附膨脹與熱膨脹共同作用的結(jié)果。

2)吸附熱引起的煤儲層溫度升高會產(chǎn)生連鎖反應(yīng)并會隨著時間和尺度增大而放大。數(shù)值模擬結(jié)果表明，二氧化碳吸附放熱會導(dǎo)致孔隙度因熱膨脹而減小，使注入氣體運(yùn)移受阻。溫度升高還減弱煤對二氧化碳的吸附能力。對比考慮吸附熱模型與未考慮吸附熱模型結(jié)果，恒壓注氣中累計(jì)注氣量的差異隨著時間推移逐漸增加。定速注氣中注氣壓力的差異也隨時間逐漸增加。忽略吸附熱將高估注氣效率。

3)在二氧化碳地質(zhì)封存時，降低儲層溫度可以提高封存效果。煤對氣體的吸附量與溫度和壓力有關(guān)。在吸附放熱不可避免地升高煤層溫度的情況下，適當(dāng)?shù)貙γ簩舆M(jìn)行降溫將有利于吸附過程的進(jìn)行，提高封存效率。