沈永星，馮增朝，周 動,2 ，馬玉林

(1.太原理工大學 原位改性采礦教育部重點實驗室， 山西 太原 030024；2.太原理工大學 安全與應(yīng)急管理工程學院，山西 太原 030024；3.遼寧工程技術(shù)大學 力學與工程學院，遼寧 阜新 123000)

0 引 言

水力壓裂作為一種非常規(guī)油氣藏的增產(chǎn)技術(shù)，已經(jīng)廣泛應(yīng)用在頁巖氣開采中[1]。頁巖儲層為低滲透儲層，通過水力壓裂產(chǎn)生大量裂縫，以改造頁巖儲層滲透性實現(xiàn)增產(chǎn)[2]。地質(zhì)調(diào)查與現(xiàn)場研究發(fā)現(xiàn)頁巖儲層中存在較多的天然裂縫，會影響水力壓裂裂縫的擴展路徑，繼而對裂縫內(nèi)壓裂液和支撐劑的流動產(chǎn)生影響[3-5]。因此考慮天然裂縫影響下的頁巖水力壓裂數(shù)值模擬工作對頁巖氣的增產(chǎn)開發(fā)具有重要意義[6]。

許多學者通過試驗手段研究了壓裂裂縫的擴展規(guī)律[7-8]。文獻[9-10]通過室內(nèi)試驗和理論分析總結(jié)了水力裂縫與天然裂縫相互作用準則，提出了水力裂縫貫穿天然裂縫的條件。認為水力裂縫與天然裂縫相交作用表現(xiàn)為：水力裂縫的穿越、天然裂縫的張開與水力裂縫的阻止3種行為。朱寶存等[11]利用有限元方法分析了地應(yīng)力、天然裂縫對煤巖水力壓裂起裂壓力的影響。KHOEI等[12]基于擴展有限元方法利用力學響應(yīng)模擬了水力裂縫與天然裂縫交點的關(guān)系。DAHI 等[13]提出了一種基于豐富節(jié)點的數(shù)值模型，研究了不滲透介質(zhì)中水力裂縫被天然裂縫阻止情況下的裂縫交叉點關(guān)系。KESHAVARZI等[14]假設(shè)水力裂縫中保持恒定、均勻的凈壓力，研究了水力裂縫與天然裂縫之間的相互作用。KHOEI等[15]利用一個交叉富集函數(shù)來表示裂縫之間的交點，模擬了流體驅(qū)動裂縫與摩擦性天然斷層之間的相互作用,利用罰函數(shù)法表示斷層表面之間的摩擦接觸行為，但假設(shè)裂縫內(nèi)的流體壓力是恒定的。文獻[16-17]利用擴展有限元方法采用倫肖-波拉德判據(jù)，確定水力裂縫與天然裂縫交點的穿越或阻止行為。研究了摩擦型天然裂縫與膠結(jié)型天然裂縫的差異，發(fā)現(xiàn)含摩擦型天然裂縫的頁巖儲層的水力壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)更加復雜。

以上研究為水力裂縫與天然裂縫相交作用提供了理論基礎(chǔ)，但在計算過程為簡化計算往往忽略裂縫內(nèi)的流體流動，只是施加均勻水壓，這與實際情況不符。同時對于水力裂縫與天然裂縫相交后的裂縫擴展變化規(guī)律研究較少，天然裂縫對水力壓裂得到壓裂裂縫影響規(guī)律不明晰。因此筆者在考慮巖石儲層基質(zhì)變形、裂縫內(nèi)的流體流動以及天然裂縫與水力裂縫的相交作用情況下，建立了二維水力壓裂裂縫相交擴展模型。對水平應(yīng)力差、天然裂縫相交角與天然裂縫長度影響裂縫相交前后的水力壓裂裂縫擴展問題進行了研究。

1 水力壓裂裂縫相交擴展模型

圖1 水力壓裂裂縫相交擴展模型示意

1.1 巖石基質(zhì)變形方程

水力壓裂模型中的巖石基質(zhì)在地應(yīng)力和水力裂縫內(nèi)的流體壓力共同作用下發(fā)生變形，基于線彈性理論方程得巖石基質(zhì)變形控制方程為

?·σ+tb=0

(1)

式中：?為Laplace算子；σ為應(yīng)力張量；tb為體力張量。

對應(yīng)的邊界條件如式(2)所示，即

(2)

1.2 水力裂縫內(nèi)滲流方程

假設(shè)水力裂縫內(nèi)流體是不可壓縮牛頓流體，水力裂縫內(nèi)流體流動方程由潤滑理論定律可得[18]

(3)

式中：q為流體流量；w為水力裂縫張開寬度；μ為流體黏度。

設(shè)t為時間，則水力裂縫內(nèi)流體應(yīng)滿足局部質(zhì)量守恒定律，則有

(4)

將式(3)代入式(4)可得

(5)

同時滿足整體質(zhì)量守恒方程式(6),即

(6)

壓裂液注入點為定流量條件，注入速率為Q0。假設(shè)裂尖寬度為0，流體無滯留，則邊界條件為

(7)

1.3 裂縫相交與擴展準則

當水力裂縫與天然裂縫發(fā)生相交作用時，水力裂縫尖端與天然裂縫相交如圖2所示。其中β為水力裂縫與天然裂縫相交角，σH和σh分別表示最大水平地應(yīng)力和最小水平地應(yīng)力，τβ和σβ,n為作用于天然裂縫表面剪切力和法向力。

圖2 水力裂縫與天然裂縫相交應(yīng)力場示意

當最大主應(yīng)力σ1大于巖石抗拉強度T0，且天然裂縫摩擦面不發(fā)生滑移，水力裂縫將穿越天然裂縫，在天然裂縫另一側(cè)巖石基質(zhì)中產(chǎn)生一個新裂縫，其臨界條件[10]為

σ1=T0

(8)

|τβ|

(9)

式中：τβ和σβ,n為作用于天然裂縫表面剪切應(yīng)力和法向應(yīng)力；C為天然裂縫界面黏結(jié)力；μf為天然裂縫摩擦因數(shù)。

裂縫擴展行為采用最大周向應(yīng)力準則進行判斷[19]。先利用相互積分法計算的裂縫尖端應(yīng)力強度因子KⅠ與KⅡ，通過比較破裂方向等效應(yīng)力強度因子Ke與巖體的斷裂韌度KIC，即可獲得對應(yīng)的裂縫是否擴展。其臨界條件為

(11)

裂縫起裂角θ計算公式為

(12)

水力壓裂裂縫相交擴展模型的求解是考慮巖石基質(zhì)變形與裂縫內(nèi)流體流動的非線性流固耦合問題。筆者以巖石基質(zhì)變形位移和裂縫內(nèi)流體壓力作為基本變量，采用擴展有限元方法和有限元方法分別對巖石基質(zhì)變形方程和裂縫內(nèi)滲流方程進行離散，利用Newton-Raphson方法全耦合求解模型，編制了數(shù)值程序，進行數(shù)值模擬研究。

2 模型驗證

為驗證水力壓裂裂縫相交擴展模型的正確性，分別與經(jīng)典KGD模型解析解和Blanton室內(nèi)水力壓裂試驗結(jié)果進行了對比。

2.1 與KGD模型對比

首先對無天然裂縫存在時的二維水力壓裂裂縫擴展數(shù)值結(jié)果與經(jīng)典KGD模型解析解[20]比較，數(shù)值計算輸入?yún)?shù)如下：

巖石基質(zhì)彈性模量E/GPa20巖石基質(zhì)泊松比ν0.2巖石基質(zhì)斷裂韌度KIC/(MPa·m1/2)0.5壓裂液注入速率Q0/(m2·s-1)0.001壓裂液黏度μ/(Pa·s)0.1

注水壓力隨時間變化關(guān)系如圖3所示，可知數(shù)值計算結(jié)果與經(jīng)典KGD模型解析解基本吻合，兩者誤差為1.1%，初步驗證了模型的正確性。

圖3 注水壓力變化曲線

2.2 與Blanton試驗對比

BLANTON等[9]在室內(nèi)進行了三軸應(yīng)力狀態(tài)下預壓裂材料水力壓裂試驗，研究了水力裂縫與天然裂縫在不同水平應(yīng)力差和裂縫相交角下擴展情況。為驗證本模型考慮水力裂縫與天然裂縫相交作用時的正確性，進行了6種水平應(yīng)力差和4種相交角度組合下的水力壓裂數(shù)值試驗對比Blanton室內(nèi)試驗，其中水平應(yīng)力差Δσ=σH-σh。計算模型如圖4所示，區(qū)域模型具體參數(shù)如下：

巖石基質(zhì)彈性模量E/GPa15巖石基質(zhì)泊松比ν0.25巖石基質(zhì)斷裂韌度KIC/(MPa·m1/2)0.176巖石基質(zhì)抗拉強度T0/MPa3.1天然裂縫摩擦因數(shù)μf0.75天然裂縫黏結(jié)力C/MPa0壓裂液注入速率Q0/(m2·s-1)0.001壓裂液黏度μ/(Pa·s)0.1

圖4 水力裂縫與天然裂縫相交計算模型

相交角等于60°時，應(yīng)力差分別為2 MPa和15 MPa情況下的水力裂縫與天然裂縫相交擴展情況(圖5)。可知在應(yīng)力差為2 MPa時，水力裂縫與天然裂縫相交后，天然裂縫張開，水力裂縫沿天然裂縫軌跡擴展。此時天然裂縫段的寬度沿相交點上下出現(xiàn)差異性變化，天然裂縫上段受水力裂縫產(chǎn)生的誘導應(yīng)力影響，其寬度小于天然裂縫下段寬度。當應(yīng)力差為15 MPa時，水力裂縫直接穿越天然裂縫繼續(xù)傳播。11組數(shù)值試驗結(jié)果與Blanton試驗的對比結(jié)果見表1，除了一種結(jié)果外，其余都與Blanton試驗結(jié)果相同，由此驗證了筆者建立的水力壓裂裂縫相交擴展模型的有效性。

表1 數(shù)值模型與Blanton試驗對比結(jié)果

圖5 不同水平應(yīng)力差下水力裂縫與天然裂縫相交結(jié)果

3 裂縫相交擴展數(shù)值模擬

3.1 水平應(yīng)力差對裂縫擴展的影響

為研究水平應(yīng)力差Δσ對水力裂縫與天然裂縫相交后裂縫擴展的影響，進行了當水平應(yīng)力差Δσ分別為0、1、2、3 MPa時的水力壓裂數(shù)值試驗。計算模型，為25 m×25 m的正方形區(qū)域。模型四周受最小水平主應(yīng)力σh和最大水平主應(yīng)力σH作用，沿模型中央點建立xoy坐標系(圖6)。初始水力裂縫半

圖6 計算模型1示意

長a=2 m，壓裂液注入速率為Q0。2條天然裂縫沿y軸布置在水力裂縫兩側(cè)，其中心點坐標(x1、y1)和(x2、y2)分別為(-4，0)和(4，0)，長度b1=b2=4 m，裂縫相交角β1=β2=90°，模型具體參數(shù)取值如下：

最大水平主應(yīng)力σH/MPa4,5,6,7最小水平主應(yīng)力σh/MPa4巖石基質(zhì)彈性模量E/MPa20巖石基質(zhì)泊松比ν0.25巖石基質(zhì)斷裂韌度KIC/(MPa·m1/2)0.5巖石基質(zhì)抗拉強度T0/MPa2天然裂縫摩擦因數(shù)μf0.69天然裂縫黏結(jié)力C/MPa1壓裂液注入速率Q0/(m2·s-1)0.001壓裂液黏度μ/(Pa·s)0.1

σh=4 MPa、σH=4 MPa,應(yīng)力差為0時前3個壓裂步的水力壓裂裂縫擴展應(yīng)力云圖如圖7所示。隨著壓裂液的注入，當t=2.14 s時水力裂縫開始在水壓和地應(yīng)力共同作用下，沿最大主應(yīng)力方向(水平方向)向兩翼擴展，如圖7a、圖7d、圖7g所示。

t=8.35 s時水力裂縫與天然裂縫相交，此時儲層應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生明顯的變化。如圖7b、圖7d、圖7h所示，x方向應(yīng)力減小，y方向應(yīng)力和剪應(yīng)力增大(本文應(yīng)力為正值時表示拉應(yīng)力)。水力裂縫兩側(cè)的壓應(yīng)力減小，水力裂縫與天然裂縫相交點處出現(xiàn)x方向應(yīng)力、y方向應(yīng)力與剪應(yīng)力集中區(qū)，同時天然裂縫兩尖端均有較大的y方向應(yīng)力與剪應(yīng)力產(chǎn)生。圖7c、圖7f、圖7i為水力裂縫與天然裂縫相交后沿天然裂縫兩端擴展情況，可知水力裂縫貫通天然裂縫后沿天然裂縫兩端繼續(xù)沿儲層基質(zhì)傳播，裂縫相交點和裂縫尖端均有較大的剪應(yīng)力產(chǎn)生。

4種水平應(yīng)力差水平下水力壓裂裂縫最終擴展路徑分布如圖8a所示，A-F為Δσ=3 MPa時每一破裂步的裂縫擴展位置，A點為第1次裂縫擴展的裂尖位置。隨著水平應(yīng)力差的減小，與天然裂縫相交后裂縫沿天然裂縫兩端繼續(xù)擴展的裂縫路徑由水平方向逐漸向垂直方向傾斜，向最大主應(yīng)力方向偏轉(zhuǎn)。

由圖8b可知當水平應(yīng)力差Δσ分別為0、1、2和3 MPa時，裂縫起裂壓力p0分別為5.93、6.93、7.94和8.93 MPa，可知裂縫的起裂壓力隨水平應(yīng)力差線性增加。水力裂縫未與天然裂縫相交前，注水點壓力從裂縫起裂A點開始逐漸減小，水力裂縫與天然裂縫在B點相交,但此時水力裂縫中的壓裂液還未與天然裂縫直接溝通，C點為水力裂縫溝通天然裂縫并沿天然裂縫兩端傳播得到的裂縫裂尖，此時注水點凈水壓力快速降低了0.46 MPa。這是由于天然裂縫黏結(jié)力較低，當水力裂縫與天然裂縫相交，發(fā)生天然裂縫張開行為時，壓裂液快速貫通天然裂縫，使得注水水壓出現(xiàn)驟降現(xiàn)象。

圖8 水平應(yīng)力差對裂縫擴展以及注水壓力的影響

3.2 天然裂縫相交角與長度對裂縫擴展的影響

為研究天然裂縫相交角對水力壓裂裂縫擴展的影響，模擬計算了在最大水平主應(yīng)力σH=4 MPa和最小水平主應(yīng)力σh=2 MPa時，天然裂縫相交角β分別為45°、60°和75°的水力壓裂裂縫擴展數(shù)值實驗。為簡化計算，本節(jié)分析水力裂縫單翼擴展與單天然裂縫相交擴展的對稱模型如圖9所示。其中模型原點位于左下角，注水點坐標(0，12.5)水力裂縫沿水平方向x布置，其長度a=2.5 m天然裂縫長度b=4 m，天然裂縫中點坐標為(8.5,12.5)，模型其他參數(shù)見上文。

圖9 計算模型2示意

為更加清楚描述天然裂縫相交角大小與天然裂縫長度對水力壓裂效果的影響。對于本文中二維水力壓裂裂縫擴展模型，引入壓裂裂縫面積Sf，對裂縫寬度和長度進行量化描述。其中壓裂裂縫面積Sf計算公式為

(13)

式中：s=0處為注水點位置，s=l為壓裂裂縫末端尖位置;wi為第i個裂縫計算點的裂縫寬度。

由圖10a可知天然裂縫與水力裂縫相交后天然裂縫上端裂尖停止向巖石基質(zhì)傳播，僅沿天然裂縫下端繼續(xù)傳播?？芍烊涣芽p上段靠近水力裂縫，受水力裂縫產(chǎn)生的誘導應(yīng)力影響作用明顯，使得天然裂縫上端裂尖停止向巖石基質(zhì)傳播。而天然裂縫下段離水力裂縫較遠，受其產(chǎn)生的誘導應(yīng)力影響較小，天然裂縫下端裂尖可繼續(xù)擴展。

裂縫寬度與長度變化規(guī)律如圖10b所示，可知：①水力裂縫A點與天然裂縫相交B點，裂縫寬度逐漸減小，3種相交角度下的裂縫寬度減小趨勢相同，相交角越大AB段裂縫寬度越大。②天然裂縫BD段，裂縫寬度出現(xiàn)不連續(xù)變化，從相交點B到天然裂縫端D寬度先增大后減小。由4.1節(jié)可知，水力裂縫與天然裂縫相交點周圍出現(xiàn)應(yīng)力集中區(qū)，因此天然裂縫段寬度分布受到限制，使得裂縫相交處的裂縫寬度出現(xiàn)間斷變化，容易造成壓裂液流動困難，支撐劑堵塞等情況。由圖10b可知裂縫相交角越大限制作用越強，間斷現(xiàn)象越明顯。③D點之后為沿天然裂縫下端擴展的裂縫，其寬度分布先增大后逐漸減小為0，相交角越小裂縫寬度越大。3種相交角45°、60°和75°最終得到的壓裂裂縫長分別為24.15、23.46和22.12 m，壓裂面積Sf分別為0.312 7、0.301 7和0.283 6 m2?？芍S著天然裂縫相交角度的增大，水力壓裂總裂縫長度與壓裂面積都隨之減小。

圖10 天然裂縫相交角的影響

同時研究了天然裂縫長度對裂縫擴展的影響，分別計算了天然裂縫長度為b=6、8 和10 m三種情況下水力壓裂裂縫擴展情況，天然裂縫相交角設(shè)置β為60°，其他模型參數(shù)取值與上一算例相同。從圖11a可知3種天然裂縫長度下，水力裂縫與天然裂縫相交后裂縫擴展路徑相似，最終獲得的裂縫長度分別為25.77、25.78、25.78 m，差別很小，即天然裂縫長度對水力壓裂總裂縫長度影響不大。但天然裂縫長度影響最終的裂縫寬度分布，天然裂縫長度的增加，裂縫相交前AB段裂縫寬度逐漸減小，3種天然裂縫長度下的寬度減小趨勢相同。同時隨著天然裂縫的增大天然裂縫BD段寬度限制作用逐漸增大，D點之后的裂縫寬度越小。由圖11b可知3種長度下最終的壓裂裂縫面積Sf分別為：0.442 5、0.353 1和0.306 5 m2。隨著天然裂縫長度的增加，壓裂裂縫面積逐漸減小。

圖11 天然裂縫長度的影響

4 結(jié) 論

在考慮巖石儲層基質(zhì)變形，裂縫內(nèi)的流體流動以及天然裂縫與水力裂縫的相交作用情況下建立了二維水力壓裂裂縫相交擴展模型，研究分析了水平應(yīng)力差、天然裂縫相交角和天然裂縫長度對水力壓裂過程中發(fā)生水力裂縫與天然裂縫相交擴展時裂縫擴展變化的規(guī)律，得出以下結(jié)論：

1)隨著水平應(yīng)力差的線性增加，裂縫起裂注水壓力呈線性增大趨勢。水平應(yīng)力差對水力裂縫與天然裂縫相交后的裂縫擴展路徑有顯著影響，裂縫逐漸向最大主應(yīng)力方向偏轉(zhuǎn)。

2)水力裂縫與天然裂縫相交時，注水點水壓出現(xiàn)驟降現(xiàn)象，裂縫相交點處易出現(xiàn)應(yīng)力集中區(qū)，天然裂縫段寬度受到限制作用，裂縫相交處寬度出現(xiàn)間斷現(xiàn)象。

3)天然裂縫相交角影響壓裂裂縫長度、寬度和面積。天然裂縫相交角越大，裂縫相交點前裂縫寬度越大，而裂縫相交點后的裂縫寬度變的越小，裂縫相交處寬度間斷現(xiàn)象越明顯。最終的壓裂裂縫長度和壓裂裂縫面積也越小。

4)天然裂縫長度對壓裂裂縫長度影響較小，但對壓裂裂縫的寬度和面積影響明顯。天然裂縫長度越長，裂縫相交點前裂縫寬度越小，裂縫相交點后的裂縫寬度也越小，壓裂裂縫面積越小。