時 慧，童東兵

(上海工程技術大學 機械與汽車工程學院,上海 201620)

分布式供電技術在實現(xiàn)節(jié)能減排、提高能源利用率方面有著重要的作用。分布式能源互聯(lián)網(wǎng)中包含眾多供能設備，每個供能設備狀態(tài)的變化對其經(jīng)濟運行狀態(tài)會產(chǎn)生直接或者間接的影響。在能源互聯(lián)網(wǎng)運行過程中，供能設備之間通過通信進行經(jīng)濟調度，而設備之間的通信狀態(tài)可以用復雜網(wǎng)絡來描述[1]。近年來，復雜網(wǎng)絡的穩(wěn)定與同步問題得到了學者們的關注[2-3]。由于中立項的存在，使得中立型復雜網(wǎng)絡同步控制準則的求解比一般復雜網(wǎng)絡更加困難。這意味著復雜網(wǎng)絡的理論成果不能直接推廣到中立型復雜網(wǎng)絡中。因此，本文對中立型復雜網(wǎng)絡的同步研究具有實際意義。

控制策略能夠使生物神經(jīng)網(wǎng)絡具有更好的輸出性能，并對外部信息的激勵做出一致響應[4]。由于信號在傳輸過程中可能會受到外界環(huán)境的干擾，從而導致信號微弱或中斷，因此不連續(xù)控制更適用于實際系統(tǒng)中。不連續(xù)的狀態(tài)反饋控制包括間歇控制[5-7]、開關控制[8]、牽制控制[9-11]和采樣-數(shù)據(jù)控制[12-14]等。近年來，牽制控制因其高效且經(jīng)濟[15-16]的特點，逐漸成為了人們研究的重點。由于牽制控制方法僅需要控制網(wǎng)絡中的一小部分節(jié)點，因此牽制控制能夠有效降低控制成本[17]。

本文研究了具有時滯和耦合節(jié)點的中立型復雜網(wǎng)絡的漸近同步問題，提出自適應牽制控制策略，并設計了自適應更新律，保證中立型復雜網(wǎng)絡能夠達到漸近同步。通過構造適當?shù)腖yapunov函數(shù)，利用LMIs(Linear Matrix Inequalities，LMIs)獲得了漸近同步判據(jù)。最后通過數(shù)值仿真，計算出中立型復雜網(wǎng)絡達到漸近同步所需最少控制節(jié)點數(shù)，并進一步驗證了漸進同步判據(jù)的有效性及實用性。

1 問題描述

在分布式微網(wǎng)中，各個微源與相鄰的微源可能會相互影響，這可以被看作微源節(jié)點間的耦合。分布式微網(wǎng)中各個微源節(jié)點可以被看作有向圖的頂點，考慮一個有n-維度狀態(tài)變量向量yj(t)=[y1j(t),y2j(t),…,ynj(t)]T的中立型復雜網(wǎng)絡如下

(1)

分布式能源互聯(lián)網(wǎng)通信過程中存在著一系列的延遲，這會使得通信網(wǎng)絡不穩(wěn)定。因此考慮時滯對中立型復雜網(wǎng)絡(1)的影響是必要的。另外，為了通信網(wǎng)絡能夠克服時滯等因素對節(jié)點的影響并達到穩(wěn)定，將自適應牽制控制器引入yj(t)的中立型復雜網(wǎng)絡(1)中。因此，考慮一類帶有時滯和自適應牽制控制器的中立型復雜網(wǎng)絡，可以被描述為如下

(2)

(3)

為了減少控制消耗和同步損失，系統(tǒng)(2)中的自適應牽制控制器被設計為

(4)

(5)

結合式(2)～式(5)，令

(6)

為了進一步證明中立型復雜網(wǎng)絡誤差系統(tǒng)(6)是漸近穩(wěn)定的，給出了以下假設和引理：

‖f(z1)-f(z2)‖≤κ‖z1-z2‖

(7)

假設2中立型復雜網(wǎng)絡誤差系統(tǒng)(6)中的激活函數(shù)f(·)滿足特性

yTf(y?)≤εyTy，?y∈Rn

其中，ε∈(0,∞)是已知的常數(shù)。

假設3假設中立型復雜網(wǎng)絡誤差系統(tǒng)(6)的耦合函數(shù)

滿足ψ(yj(t),yj(t))是連續(xù)映射且滿足Lipschitz條件；在正常數(shù)α> 0，則滿足

MTN+NTM≤δMTM+δ-1NTN， 其中ε>0。

引理3對兩個n×n的Hermitian矩陣X和Y，矩陣X、Y和X+Y的特征值分別為ρn≤…≤ρi≤…≤ρ1，pn≤…≤pi≤…≤p1，qn≤…≤qi≤…≤q1，則有ρi+p1≥qi≥ρi+pn,i=1,2,…,n成立。

其中，λmin(M-1N)和λmax(M-1N)分別是M-1N的最小特征值和最大特征值。

2 主要結論

定理1當假設1～假設3成立，對中立型復雜網(wǎng)絡誤差系統(tǒng)(6)中的節(jié)點施加牽制控制，如果存在一個矩陣G> 0和ξ個節(jié)點使得如下不等式成立

(8)

Ω2=δκ-(1-?)γ≤0

(9)

式中，Pξ表示除去原矩陣P的前ξ行和前ξ列得到的子矩陣；[(BT+B)/2]ξ表示除去原矩陣(BT+B)/2的前ξ行和前ξ列得到的子矩陣；ρ=‖(BT+B)/2‖2，γ=‖(GT+G)/2‖2，δ=‖(DT+D)/2‖2。則中立型復雜網(wǎng)絡(3)能夠與平衡系統(tǒng)(2)是漸近同步的。

證明考慮一個合適的Lyapunov泛函如下

(10)

其中，θ是一個待定常量。

通過It?公式，中立型復雜網(wǎng)絡誤差系統(tǒng)(6)和式(10)，可以得到

(11)

根據(jù)假設1～假設3，并結合引理1和引理2，可以得到

(12)

結合引理3，可得

(13)

λmax(Pξ)≤0

(14)

再結合式(14)和引理4，有

(15)

根據(jù)式(15)和引理5，得式(16)。

(16)

3 仿真實例

本節(jié)將通過一個數(shù)值仿真來驗證所獲得理論結果的正確性和有效性。

考慮一個具有5個節(jié)點的中立型復雜網(wǎng)絡誤差系統(tǒng)(6)具有如下系統(tǒng)參數(shù)

α=0.3，λ=0.47，?=0.12，β=1.82，qi=0.2，E=2.6。

將中立型復雜網(wǎng)絡誤差系統(tǒng)(6)的初始值設置為

ej(t)=[e1j(t),e2j(t)]∈[-1,2]，j=1,2,…,5，t∈[0,2]。

經(jīng)過驗證，假設1～假設3得到滿足。通過LMI工具箱，求解定理1中的式(8)和式(9)，并得到如下結果

λmax{(BT+B)/2}1=1.770 4>1.362 8，

λmax{(BT+B)/2}2=1.630 8>1.362 8，

λmax{(BT+B)/2}3=0.995 0≤1.362 8。

注釋1拓撲矩陣的子矩陣的最大特征值會隨著子矩陣的維度減小而減小，于是可以得到λmax{(BT+B)/2}4<1.362 8，λmax{(BT+B)/2}5<1.362 8。

因此，當ξ=1, 2時，定理1中的LMIs式(8)和式(9)無解；當ξ=3, 4, 5時，LMIs式(8)和式(9)有解，本文所研究的漸近同步準則是正確有效的。實驗結果表明，有效地選擇控制參數(shù)及節(jié)點可以使該算法較好地收斂到最優(yōu)值。

由于控制器所需節(jié)點越少成本花費越低，因此自適應牽制控制器(4)選擇對3個節(jié)點進行控制，3個控制增益的動態(tài)曲線如圖1所示。在自適應牽制控制器的作用下，使中立型復雜網(wǎng)絡(3)能夠與平衡系統(tǒng)(2)達到漸近同步。帶有自適應牽制控制器(4)的中立型復雜網(wǎng)絡誤差系統(tǒng)ej(t)的動態(tài)曲線如圖2所示。由圖2可看出，基于自適應牽制控制策略的中立型復雜網(wǎng)絡能夠逐漸收斂為零，證明了自適應牽制控制策略的有效性。目前，大多數(shù)牽制控制器不能得知控制節(jié)點的數(shù)目。本文通過掌握控制節(jié)點數(shù)目可以減少控制成本，具有重要的現(xiàn)實研究意義。

圖1 自適應控制增益θj(t)，j=1,2,3的狀態(tài)軌跡Figure 1. State trajectories of Adaptive controlgainθj(t),j=1,2,3

圖2 中立型復雜網(wǎng)絡ej(t)，j=1,2,…,5的狀態(tài)軌跡Figure 2. State trajectories of neutral coupled neural network system ej(t),j=1,2,…,5

注釋2在文獻[18]中，控制器需要得到所有節(jié)點的信息，而本文中能確定牽制節(jié)點的個數(shù)，因此只需要獲取部分節(jié)點的信息。文獻[18]中雖然考慮了兩個節(jié)點之間存在耦合，但是其耦合矩陣只與一個節(jié)點的狀態(tài)相乘，而本文的耦合矩陣與耦合的兩個節(jié)點相乘。此外，本文系統(tǒng)狀態(tài)達到穩(wěn)定的時間比文獻[18]中更早。

4 結束語

本文針對具有時滯和耦合節(jié)點的中立型復雜網(wǎng)絡漸近同步問題，設計了一個自適應遷至控制策略，并給出了一些中立型復雜網(wǎng)絡的漸近同步判據(jù)。本研究通過最后的數(shù)值仿真，驗證了所給的漸近同步判據(jù)，并計算出同步所需最少控制節(jié)點數(shù)，解決了大部分網(wǎng)絡中牽制控制器的節(jié)點數(shù)未知且測量成本較高的問題。未來研究的目標是將中立型系統(tǒng)與實際應用相結合，添加更多不確定項，弱化本研究中的給定條件，導出具有更低保守性的同步判據(jù)。