王君超，李麗萍

（廈門工學院機械科學與電氣工程學院，福建 廈門 361021）

0 引言

閩南地區(qū)的石材雕刻作為區(qū)域特色產(chǎn)業(yè)，其生產(chǎn)規(guī)模呈逐年擴大的趨勢。然而，課題組從閩南地區(qū)的石材加工企業(yè)調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，石雕的粗加工過程仍以人工為主，勞動強度大，工作效率低，且產(chǎn)生的粉塵對環(huán)境質(zhì)量和加工人員健康存在嚴重影響。雖然目前市場上的各種加工設(shè)備種類繁多，但均主要應(yīng)用于細雕過程，如橋切機、雕刻機、五軸加工軸心等。如利用其進行石材粗加工，不僅耗時長、效率低，且對機器的磨損大，維護成本高。

課題組利用巖石的脆性特點，為石材的粗加工提供一種新的加工方式，快速完成石材的粗雕過程，即將石材切成條形梁狀，然后加力使其彎曲斷裂破壞，實現(xiàn)快速粗雕加工[1-6]。

1 懸臂梁的力學模型

圖2 外力分解示意圖

2 懸臂梁的數(shù)學模型

2.1 內(nèi)力方程

以梁型結(jié)構(gòu)固定端的形心處作為坐標原點，受力分析可知，在距離原點x處，以y為中性軸及z方向的彎矩用Mxz(x)表示為：

2.2 彎曲應(yīng)力方程

根據(jù)內(nèi)力方程，可以得到x、y、z三個方向上的應(yīng)力方程，其中x軸只有正應(yīng)力。

2.3 變形方程

由于脆性材料抵抗變形的能力較低，其斷裂條件可由其撓度作為控制條件。根據(jù)撓曲線微分方程，可推導(dǎo)出y、z兩個方向的撓度分別為：

2.4 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力

當?shù)戎本匦螜M截面桿件受到x軸正向的彎矩時，通常會直接引用彈性力學的分析結(jié)果來求這個桿件的最大剪應(yīng)力：

式中，a為h與b之比有關(guān)的系數(shù)?！兜戎本匦螜M截面桿件扭轉(zhuǎn)時剪應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)角的近似分析》這本書提供了系數(shù)的近似表達式，常用數(shù)據(jù)以表格形式給出：

2.5 疊加后的應(yīng)力方程

將上面各節(jié)得到的正應(yīng)力、切應(yīng)力疊加，可以得到：

當x=0，y=0，z=0時，最大切應(yīng)力的位置為梁的自由端，代入數(shù)值得，切應(yīng)力為：

2.6 破壞極限應(yīng)力

根據(jù)材料力學可知，石材為脆性材料，當σmax>σb時，或者τmax>τb時，即當脆性材料的最大應(yīng)力大于強度極限應(yīng)力時，石材會發(fā)生斷裂破壞。而梁型結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力出現(xiàn)在根部，破壞應(yīng)該發(fā)生在根部，即根部為最大應(yīng)力處。

項目組以砂巖為例，查閱《巖石力學》可知，細砂巖的抗拉強度極限為17.6 MPa，彈性模量為47 GPa。

3 數(shù)值仿真

3.1 最大正應(yīng)力隨外力、梁的尺寸變化

當其他參數(shù)不改變只有外力F變化時，F(xiàn)變化幅值比例為0∶1∶100 000，對細砂巖的梁型結(jié)構(gòu)施加外力F，如圖3所示，正應(yīng)力會隨著外力F的增大而增大，當外力大于2.51×104N時，大于細砂巖的強度極限，懸臂梁結(jié)構(gòu)在最大正應(yīng)力處發(fā)生斷裂破壞，此時正應(yīng)力達到最大值。

圖3 根部正應(yīng)力隨外力F變化

當其他參數(shù)不變只有梁長度l發(fā)生變化時，l變化幅值比例為0.001∶0.001∶3。其應(yīng)力與長度關(guān)系如圖4所示，正應(yīng)力會隨著梁長l的增大而增大，當梁長大于0.746 m時，大于細砂巖的強度極限，懸臂梁結(jié)構(gòu)在最大正應(yīng)力處發(fā)生斷裂破壞。

圖4 根部正應(yīng)力隨梁的長度l變化

當其他參數(shù)不變，分別改變梁厚度h及寬度b時，h與b變化幅值比例均為0∶0.001∶0.05。其應(yīng)力變化如圖5、圖6所示，正應(yīng)力在梁厚度小于0.039 m，寬度小于0.026 m時，達到細砂巖的強度極限，懸臂梁結(jié)構(gòu)在最大正應(yīng)力處發(fā)生斷裂破壞。

圖5 根部正應(yīng)力隨梁的厚度h變化

圖6 根部正應(yīng)力隨梁的寬度b變化

3.2切應(yīng)力隨外力、梁的尺寸變化

當其他參數(shù)不改變，僅分別改變F、h、b時，F(xiàn)變化幅值比例為0∶1∶100 000，h變化幅值比例為0∶0.001∶0.05，b變化幅值比例為0∶0.001∶0.05。當外力大于2.51×104N，梁厚度小于0.039 m，寬度小于0.026 m時，達到細砂巖的強度極限，懸臂梁結(jié)構(gòu)在最大正應(yīng)力處發(fā)生斷裂破壞。如圖7、圖8、圖9所示。

圖7 根部切應(yīng)力隨外力F變化

圖8 根部切應(yīng)力隨厚度h變化

圖9 根部切應(yīng)力隨寬度b變化

3.3自由端撓度隨外力、梁的尺寸變化

當外力大于2.526×104N，梁長大于0.746 m，梁厚度小于0.039 m，梁寬度小于0.026 m時，達到細砂巖的強度極限，變化如圖10、圖11、圖12、圖13所示。

圖1 梁的力學模型示意圖

圖10 自由端撓度隨外力F變化

圖11 自由端撓度隨長度l變化

圖12 自由端撓度隨厚度h變化

圖13 自由端撓度隨寬度b變化

4 結(jié)語

本項目組對細砂巖石材的梁型結(jié)構(gòu)進行外力設(shè)計與分析，對正應(yīng)力、切應(yīng)力及扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的表達式進行推導(dǎo)，利用MATLAB軟件編寫仿真程序計算，得到砂巖的破壞斷裂極限與外力及梁尺寸之間的關(guān)系。通過對砂巖的正應(yīng)力、切應(yīng)力及變形分析，可以得出外力及梁的尺寸與懸臂梁強度和剛度之間的解析關(guān)系，了解這些變化規(guī)律，可以為石材粗加工中石材切割尺寸的確定以及為鋸切機床的設(shè)計提供參考數(shù)值。