余新宏，胡 勇，魏明銳

（安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230011）

線性方程組本身可能是相容的，即它是有解，也可能是不相容的。對于相容方程組，需要求出它的全部解；對于不相容方程組，需要確定出它的所謂最小二乘解。鄧勇［1］研究了相容線性方程組通解中的未知數(shù)被唯一確定的充分必要條件，討論了相容線性方程組中有唯一確定解的未知數(shù)的數(shù)量問題，進(jìn)一步得到相應(yīng)的求解公式。對于不相容線性方程組的解，施妮沙［2］用微積分方法給出不相容方程組的最小二乘解以及相容線性方程組極小范數(shù)解。線性方程組Ax=b 的解與A-、A+也有著密切的關(guān)系，韓海清［3］對矩陣的廣義逆性質(zhì)和求解方法進(jìn)行了研究，并利用廣義逆矩陣求解線性方程組的通解及最小二乘解，本文將在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步就這兩種情況作一些簡要的討論。

1 相容方程Ax=b 的全部解

線性齊次方程

易知它的同解為

其中，μ是任意向量。事實(shí)上，

于是x=（I-A-A）μ是齊次方程Ax=0 的解。反之，如果x 是解，則滿足齊次方程Ax=0，故x=A-Ax+（I-A-A）x=（I-A-A）x，也就是說，它必為（I-A-A）μ的形式，因此得證。

線性非齊次方程

當(dāng)它為相容方程時，它的同解是

其中，μ是任意向量，A-是A 的某個固定的負(fù)號逆。

事實(shí)上，只需證明A-b 為非齊次方程的一個特解就可以了。由于Ax=b 是相容的，因此必有解，于是存在C，使得b=AC，因此

這就說明了A-b 的確是一個特解。如果用加號逆求解，則有類似的結(jié)果。總之，當(dāng)Ax=b 為相容時，它的同解為

或者

其中，μ 是任意向量。由此可得：

（i）相容方程Ax=b 有唯一解?I-A-A=0，如果A 有逆，則此解為A-1b；

（ii）齊次方程Ax=0 有非零解?I-A-A≠0，即A-1不存在；

（iii）相容方程Ax=b，它的解中使xTx=min者為

證明事實(shí)上，Ax=b 的同解為

于是

然后

因此

由投影陣知識可知，μT（I-A+A）μ≥0，于是xTx 達(dá)到最小?μT（I-A+A）μ=0，即

2 Ax=b 為不相容的全部最小二乘方解

當(dāng)Ax=b 為不相容時，使

的x 稱為Ax=b 的最小二乘方解（LS 解）。LS 解總是存在的，并且其全部LS 解是

或者

其中，μ 是任意向量。

證明已知

其中，PA=A（ATA）-AT。因此

由于

因?yàn)?/p>

因此

即

而Ax=PAb 是相容的，它的全部解為

其中，μ是任意向量。

注意到A-PAb=A-A（ATA）-ATb，當(dāng)“-”號用“+”代替，有

因此用A+表示時，Ax=b 的全部LS 解為

其中，μ是任意向量。且x=A+b 是LS 解中xTx=min的唯一解。