萬(wàn)明燕， 陳劍塵， 熊昀暄

（南昌航空大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南昌 330063）

引 言

廣義的強(qiáng)向量擬均衡問(wèn)題是現(xiàn)今非線性規(guī)劃領(lǐng)域中十分熱門的問(wèn)題。均衡問(wèn)題與博弈論、力學(xué)與物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、變分不等式、優(yōu)化與控制問(wèn)題等學(xué)科密切相關(guān)。常見(jiàn)的向量變分不等式問(wèn)題、多目標(biāo)均衡問(wèn)題以及向量均衡問(wèn)題等均為廣義強(qiáng)向量擬均衡問(wèn)題系統(tǒng)的一些特例。目前，對(duì)于均衡問(wèn)題系統(tǒng)解的研究也得到了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注。

文獻(xiàn)[1]通過(guò)利用Brouwer 不動(dòng)點(diǎn)定理，分別在有限維和無(wú)限維框架下建立起不具單調(diào)性的均衡系統(tǒng)問(wèn)題解的存在性。文獻(xiàn)[2]在較弱的錐連續(xù)條件下，利用推廣的極大元定理，建立偽單調(diào)映射廣義向量擬均衡問(wèn)題系統(tǒng)的有效解與強(qiáng)解之間的聯(lián)系，并證明兩類解的存在性定理。文獻(xiàn)[3]在廣義凸空間上利用不動(dòng)點(diǎn)定理證明了滿足集值映射類上半連續(xù)性條件解的存在性定理，并推導(dǎo)出解的存在性的一些新結(jié)論。文獻(xiàn)[4]利用廣義Fan-Browder 不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了拓?fù)湎蛄靠臻g中隱式形式多值向量均衡問(wèn)題解的存在性定理。文獻(xiàn)[5]利用KFG 不動(dòng)點(diǎn)定理得到了集值廣義強(qiáng)向量擬均衡問(wèn)題解的存在性定理。文獻(xiàn)[6]利用極大元定理得到了單值廣義向量擬均衡問(wèn)題解的存在性定理。文獻(xiàn)[1-6]有的研究單值有的研究問(wèn)題解，本文受到文獻(xiàn)[5-6]的啟發(fā)，將單值推廣到集值，將問(wèn)題解推廣到系統(tǒng)解。

1 預(yù)備知識(shí)

2）稱F在點(diǎn)x∈X處是下半連續(xù)的，若對(duì)Y中的任意開(kāi)集V，有F(x)∩V≠?，則存在x的開(kāi)鄰域N(x)?X，使得?x′∈N(x) ， 都有F(x′)∩V≠?；

3）稱F在點(diǎn)x∈X處是連續(xù)的，若F既是下半連續(xù)的又是上半連續(xù)的；

4）F是上半連續(xù)，且是閉值的，則稱F是閉映射；

5）若Gr(F)={(x,y)∈X×Y:y∈F(x)}是閉集，則稱F是閉映射。

注1.2[9]設(shè)X,Y為拓?fù)渚€性空間，F(xiàn):X→2Y是集值映射，F(xiàn)(x)是緊集。

2）F在點(diǎn)x0∈X處下半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何的y0∈F(x0)以 及X中 任 何 網(wǎng) {xα}， 若 滿 足xα→x0，則Y中的網(wǎng){yα}且yα∈F(xα)， 使得yα→y0。

定義1.3[10]設(shè)D為Y的凸子集，g:D→2Z為給定集值映射。稱g在D上為C?擬 凸，若任何的z∈Z，集合 {u∈D|z?g(u)?C}為凸集。

引理1.4[8]設(shè)X,Y為拓?fù)渚€性空間，F(xiàn):X→2Y是集值映射。F是上半連續(xù)且具有緊值的當(dāng)且僅當(dāng)F是閉映射。

引理1.5[11]（KFG不動(dòng)點(diǎn)定理） 設(shè)X,Y是實(shí)局部凸H ausdorff 拓?fù)渚€性空間，A?X是非空緊凸子集。若G:X→2Y是上半連續(xù)的，且 ?x∈A,G(x)是非空閉凸子集，則G在A中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

2 集值廣義強(qiáng)向量擬均衡問(wèn)題系統(tǒng)解的存在性

定理2.1 ?i∈I，Xi，Yi，Zi為 實(shí)局部凸Hausdorff拓?fù)渚€性空間，Di?Xi,Ki?Yi為非空的緊凸子集，Ci:D→2Zi為閉映射，并假設(shè)

（i） ?i∈I，Ti(·)在D上是上半連續(xù)且具有非空緊凸值；

（ii） ?i∈I，Si(·)在D上是上半連續(xù)且具有非空閉凸值；

（iii） ?i∈I，F(xiàn)i(·,·,·)在Di×Ki×Di上是下半連續(xù)的；

（iv）對(duì)任何的 (x,yi)∈D×Ki，F(xiàn)i(xi,yi,xi)?Ci(x)，對(duì)?ui∈Si(x)，F(xiàn)i(·,yi,ui)在Di上 為C?擬凸的。

則存在x∈D， 對(duì) ?i∈I，xi∈Si(x)，存在yi∈Ti(x)，使得

Fi(xi,yi,ui)?Ci(x),?ui∈Si(x)

即集值廣義強(qiáng)向量擬均衡系統(tǒng)問(wèn)題有解。

證明： 利用KFG不動(dòng)點(diǎn)定理證明該定理，證明分為以下五步：

（I） ?(x,yi)∈D×Ki,定義集值映射Ai:D×Ki→2Di如下：

Ai(x,yi)={vi∈Si(x):Fi(vi,yi,ui)?Ci(x),?ui∈Si(x)}

由條件（iv）有Ai(x,yi)非空。

（II）接下來(lái)證明Ai(x,yi)是閉集。

接下來(lái)證明vi∈Ai(x,yi)。

注2.1 定理2.1 為文獻(xiàn)[5]中定理3.1 的推廣。

3 結(jié) 論

本文在 H ausdorff局部凸拓?fù)渚€性空間中，利用KFG不動(dòng)點(diǎn)定理，在一定的凸性和半連續(xù)性的條件下，得出集值廣義強(qiáng)向量擬均衡問(wèn)題系統(tǒng)解的存在性。