明森，范雄梅，史娜，蘇業(yè)芹

（1. 中北大學(xué) 數(shù)學(xué)系，山西 太原 030051；2. 西南財(cái)經(jīng)大學(xué) 證券與期貨學(xué)院，四川 成都 611130）

0 引言

本文在Rn中研究如下波動(dòng)方程耦合系統(tǒng)的小初值問(wèn)題

近來(lái)，許多學(xué)者研究了非線性波動(dòng)方程的小初值問(wèn)題，見(jiàn)文獻(xiàn)［1-9］。文獻(xiàn)［2］在外區(qū)域上證明了波動(dòng)方程utt－Δu=|u|p的解會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)破裂，其中1＜p≤pc(n) (n≥3)，此處pc(n)滿足方程－(n－1)p2+(n+1)p+2=0。當(dāng)1＜p≤pG(n)=1+2 (n－1) (n≥1)時(shí)，得到波動(dòng)方程utt－Δu=|ut|p的解會(huì)破裂。文獻(xiàn)［7-8］利用檢驗(yàn)函數(shù)方法，證明了非線性波動(dòng)方程解的生命跨度的上界估計(jì)，其中非線性項(xiàng)分別為|u|p，|ut|p。注意到文獻(xiàn)［7］中采用的檢驗(yàn)函數(shù)與超幾何函數(shù)Φβ(x，t)相關(guān)。關(guān)于波動(dòng)方程耦合系統(tǒng)解的破裂性態(tài)的研究見(jiàn)文獻(xiàn)［10-13］。文獻(xiàn)［10］分別在次臨界和臨界情形研究了波動(dòng)方程耦合系統(tǒng)的小初值問(wèn)題，其中非線性項(xiàng)為|v|p，|u|q。利用檢驗(yàn)函數(shù)方法和迭代方法，得到解會(huì)破裂及其生命跨度上界估計(jì)。利用迭代方法，文獻(xiàn)［11-13］證明了帶散射阻尼項(xiàng)的波動(dòng)方程耦合系統(tǒng)的解會(huì)破裂，其中非線性項(xiàng)分別為導(dǎo)數(shù)型非線性項(xiàng)|vt|p，|ut|q，混合型非線性項(xiàng)|v|q，|ut|p，組合型非線性項(xiàng)|vt|p1+|v|q1，|ut|p2+|u|q2。同時(shí)得到解的生命跨度的上界估計(jì)。

記

注1 利用迭代方法，文獻(xiàn)［10-11］證明了波動(dòng)方程耦合系統(tǒng)的解會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)破裂，其中非線性項(xiàng)分別為|v|p，|u|q和|vt|p，|ut|q。利用檢驗(yàn)函數(shù)方法，文獻(xiàn)［8］在次臨界和臨界情形證明了阻尼系數(shù)依賴于空間變量的波動(dòng)方程的解會(huì)破裂，其中非線性項(xiàng)分別為|u|p和|ut|p。本文結(jié)合文獻(xiàn)［7-11］，通過(guò)利用不同于文獻(xiàn)［7］中的檢驗(yàn)函數(shù)，得到問(wèn)題（1）解的生命跨度的上界估計(jì)，并簡(jiǎn)化了文獻(xiàn)［7，10-11］中的證明過(guò)程。

注2 類似于本文中的證明方法，可將文獻(xiàn)［8］中帶阻尼項(xiàng)的波動(dòng)方程的小初值問(wèn)題推廣為耦合系統(tǒng)的情形。

下面給出證明定理1—2 時(shí)需要用到的相關(guān)引理。

引理1［8］若α∈R，β＞0，則有

其中C為正常數(shù)。

引理2［8］假設(shè)Δφ1=φ1，Φ=Φ(x，t)=e－tφ1(x)，其中

且滿足0＜φ1(x)≤C(1+|x|)－(n－1)，C＞0，則有Φ－ΔΦ=0，ΔΦ=Φ。

引理3［8］

其中δ，K1，K2＞0，p1，p2＞1。 若p2＜p1+1，則存在正常數(shù)δ0，K3使得T≤exp(K3δ－(p1－1)(p1－p2+1))，此處0＜δ＜δ0，K3為不依賴于δ的正常數(shù)。

1 定理1 的證明

首先，需定義問(wèn)題（1）的弱解。即通過(guò)引入光滑的檢驗(yàn)函數(shù)φ(x，t)，使得(u，v)在具有一定正則性要求時(shí)在積分意義下滿足耦合系統(tǒng)。具體定義如下。

其中φ∈C∞0([0，T)×Rn)，t∈(0，T] 。

定理1 的證明 設(shè)η∈C∞[0，∞)且滿足

記ηT(t)=η(t T)，其中T∈(1，Tε)。定義

其中M∈[1，T) 。

在（2）中令φ(x，t)=(t)Φ(x，t)，分部積分并利用 引理2 可知

直接計(jì)算可得

結(jié)合H?lder 不等式，引理1 和（4）—（5），得到

和

利用（4），（6）及（7），則有

在（2）中令φ=，可得

于是

類似于（8）和（9）的推導(dǎo)，可知

和

結(jié)合（8），（9）和（11），則有

同理，利用（9）—（11），可知

從而得到定理1 中的第一個(gè)生命跨度估計(jì)。

對(duì)于臨界情形FSS(n，p，q)=0 且p≠q，將（8）代入（11），并利用引理3，可得

利用引理3 和（13），可知

和

結(jié)合（11），（13）—（15）和引理3，則有

定義

根據(jù)（17），可知

和

結(jié)合（12），（16），（18），（19）和引理4，可得定理1 中的第二個(gè)生命跨度估計(jì)。

對(duì)于臨界情形ΓSS(n，p，q)=0，p=q，則等價(jià)于考慮方程utt－Δu=|u|p對(duì)應(yīng)小初值問(wèn)題的臨界情形。運(yùn)用（8），（18）及引理3，可得

其中a=(n－1) 2－1p。利用（13）和引理3，可知

和

結(jié)合（13），（18）—（19）和（21）—（22），得到

利用（20），（23）和引理4，選取p1=p2=p，δ=εp，從而得到定理1 中的第三個(gè)生命跨度估計(jì)。定理1證畢。

2 定理2 的證明

這一節(jié)給出定理2 的證明。在（2）中令φ(x，t)=?tψ(x，t)，ψ(x，t)=－(t)Φ(x，t)，分部積分且令t→T，可得

利用引理1 和（24），則有

和

類似地，則有

結(jié)合（27）和（28），可知

利用（17），可得

結(jié)合（29）—（31），則有

其中K4，K5是正常數(shù)。通過(guò)求解常微分方程不等式（32），可得定理2 中第一、二個(gè)生命跨度估計(jì)。對(duì)于臨界情形ΓGG(n，p，q)=0，p=q，運(yùn)用（27），（30）—（31）即得定理2 中第三個(gè)生命跨度估計(jì)。定理2 證畢。