李方偉，魯佳文，王明月

（重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065）

1 引言

波達(dá)方向（DOA,direction of arrival）估計(jì)是陣列信號(hào)處理中的一個(gè)重要研究課題，在雷達(dá)、聲吶、通信和醫(yī)療等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用[1-3]。DOA 估計(jì)算法主要分為傳統(tǒng)法、子空間法和最大似然法，其中，子空間法因具有高分辨性的顯著優(yōu)勢(shì)受到了產(chǎn)業(yè)界和學(xué)術(shù)界的廣泛研究。在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，接收陣列流型往往會(huì)存在一定的幅度誤差和相位誤差，即幅相誤差。而子空間法的高分辨率依賴(lài)于精確獲知接收陣列先驗(yàn)信息，陣列幅相誤差的出現(xiàn)會(huì)惡化此類(lèi)方法的DOA 估計(jì)性能[4-5]。因此，如何有效降低或消除幅相誤差對(duì)子空間法DOA 估計(jì)的影響仍是一項(xiàng)重要且具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。

針對(duì)陣列幅相誤差導(dǎo)致子空間法DOA 估計(jì)不精確的問(wèn)題，目前已提出多種校正方法，主要分為兩類(lèi)。第一類(lèi)是自校正類(lèi)方法，這類(lèi)方法根據(jù)某種優(yōu)化準(zhǔn)則聯(lián)合估計(jì)信號(hào)源的方位和陣列幅相誤差擾動(dòng)因子。其優(yōu)勢(shì)在于不需要設(shè)置方向及角度已知的輔助陣元，但需要求解高維、多模的非線性優(yōu)化問(wèn)題，求解過(guò)程計(jì)算復(fù)雜度高且無(wú)法保證全局收斂。第二類(lèi)是有源校正類(lèi)方法，該類(lèi)方法通過(guò)設(shè)置方向角度精確已知的輔助陣元對(duì)陣列誤差參數(shù)進(jìn)行測(cè)量或估計(jì)。其優(yōu)勢(shì)在于誤差校正精度較高且計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較低，但需要設(shè)置已知方位信息的輔助陣元。有源校正類(lèi)方法具有較高校正精度和較低計(jì)算復(fù)雜度，在實(shí)際工程中得到了廣泛的應(yīng)用，本文也將研究此類(lèi)方法。

同時(shí)，有源校正類(lèi)方法與自校正類(lèi)方法大都以信號(hào)源非相干條件為前提，很少考慮信號(hào)源的多徑傳播問(wèn)題。然而，在實(shí)際的無(wú)線通信環(huán)境中無(wú)法完全避免多徑傳播，尤其是在富散射環(huán)境中多徑效應(yīng)使信號(hào)源相干性大大增強(qiáng)，此時(shí)相干信號(hào)源的存在將導(dǎo)致陣列幅相誤差校正性能不理想[6]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)多徑環(huán)境下的幅相誤差校正問(wèn)題進(jìn)行了研究，王布宏等[7]構(gòu)造了一個(gè)多徑環(huán)境中的陣列幅相誤差校正代價(jià)函數(shù)，并通過(guò)遺傳算法實(shí)現(xiàn)了陣列幅相誤差校正。王鼎等[8]研究了多徑條件下針對(duì)乘性陣列誤差參數(shù)的有源陣列校正算法，并推導(dǎo)了不同矩陣模型的求解公式。Sippel 等[9]提出了一種使用非相干發(fā)射標(biāo)校正耦合誤差的校正算法，該算法通過(guò)采用陣列近場(chǎng)內(nèi)隨機(jī)參考點(diǎn)定標(biāo)以減少多徑效應(yīng)的影響。但上述算法存在計(jì)算復(fù)雜度較高或誤差校正精度較低等問(wèn)題，設(shè)計(jì)適用于多徑環(huán)境的復(fù)雜度低且校正精度高的算法是目前的研究難點(diǎn)。

時(shí)間反演（TR,time reversal）利用時(shí)間反演信道的脈沖響應(yīng)作為發(fā)射機(jī)的匹配濾波器，借助周?chē)h(huán)境豐富的多徑實(shí)現(xiàn)了空時(shí)同步聚焦[10-11]?；谶@一聚焦特性，將TR 技術(shù)應(yīng)用于復(fù)雜多徑環(huán)境中能有效抑制多徑效應(yīng)并降低信號(hào)源的相干性，進(jìn)而提高陣列幅相誤差校正算法的精度。在上述分析的基礎(chǔ)上，本文結(jié)合主成分分析（PCA,principal component analysis）提出了一種適用于多徑環(huán)境的TR降維陣列幅相誤差校正算法，該算法通過(guò)TR 技術(shù)有效抑制了多徑效應(yīng)，減小了算法的均方根誤差并提升了算法的分辨率，同時(shí)利用PCA 思想降低了算法的復(fù)雜度，進(jìn)一步優(yōu)化了系統(tǒng)性能。

2 系統(tǒng)模型

本文所提陣列幅相誤差校正算法以多徑環(huán)境下的陣列幅相誤差校正模型為應(yīng)用場(chǎng)景，如圖1 所示。圖1 中包括一組陣元數(shù)目為M的均勻線性陣列，前P個(gè)陣元是精確校正過(guò)的（即輔助陣元）。為避免產(chǎn)生陣元間干擾，將每個(gè)陣元的間距設(shè)置為相干距離d=λ/2，陣元與目標(biāo)物體之間的多徑條數(shù)為K。整個(gè)傳輸信道為頻率選擇性衰落信道，衰落系統(tǒng)服從于均值為0、方差為 2σ2（σ2為每個(gè)實(shí)數(shù)維上的方差）的循環(huán)對(duì)稱(chēng)復(fù)高斯分布。

圖1 多徑環(huán)境下的陣列幅相誤差校正模型

首先，天線陣列中已精確校正過(guò)的陣元對(duì)傳播空間發(fā)射一個(gè)已知的探測(cè)信號(hào)，目的是獲取傳播空間中的信道狀態(tài)信息；然后，陣列第m個(gè)陣元接收到的信號(hào)可表示為

其中，rm(t)為基站天線陣列中第m個(gè)陣元所接收到的回傳信號(hào)，Xk為第k條多徑信號(hào)的衰減系數(shù)，f(t-τ1,k-?τ1,m,k)為信號(hào)f(t)的時(shí)延，τ1,k為多徑k相對(duì)于第一個(gè)陣元的參考時(shí)延，?τ1,m,k為多徑k中超過(guò)τ1,k的陣元間時(shí)延，nm(t)為傳播過(guò)程中產(chǎn)生的加性白高斯噪聲。

對(duì)接收到的信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，式(1)可以表示為

其中，Rm(ω)、F(ω)和Nm(ω)分別是rm(t)、f(t)、和nm(t)的傅里葉變換形式。改寫(xiě)成更緊湊的向量形式為

3 算法設(shè)計(jì)

本節(jié)主要從相干性消除、導(dǎo)向矢量修正和PCA降維誤差校正三方面對(duì)所提算法進(jìn)行闡述。

3.1 TR 消除信號(hào)相干性

通過(guò)TR 技術(shù)對(duì)R(ω)進(jìn)行頻域共軛和能量歸一化處理可得

其中，g為能量歸一化因子，計(jì)算式為

首先，簡(jiǎn)化多徑環(huán)境。設(shè)陣元數(shù)M=3，多徑數(shù)目K=2，陣列的第一個(gè)陣元發(fā)送前向探測(cè)信號(hào)。由式(9)可得

3.2 存在誤差的導(dǎo)向矢量修正

3.1 節(jié)介紹了無(wú)誤差陣列DOA 估計(jì)模型。但在實(shí)際工程應(yīng)用中，陣列會(huì)普遍存在誤差，且大都是幅相誤差，本節(jié)主要分析含有幅相誤差的陣列誤差校正模型。設(shè)第n個(gè)陣元的幅度誤差為μn，第n個(gè)陣元的相位誤差為φn。設(shè)前P個(gè)陣元沒(méi)有誤差，將第一個(gè)無(wú)誤差陣元作為參考陣元，幅相誤差矢量可以表示為

其中，幅度誤差μn和相位誤差φn為[13]

其中，βn和ηn都服從[-0.5,0.5]的均勻分布，σμ和σφ分別是相應(yīng)的方差。當(dāng)幅相誤差存在時(shí)，陣列導(dǎo)向矢量需要修正為

其中，E(θk)為幅相誤差對(duì)角矩陣。相應(yīng)地，當(dāng)存在幅相誤差時(shí)，陣列流型矩陣則需被修正為

經(jīng)過(guò)精確校正后的陣元不存在誤差，因此這些陣元所對(duì)應(yīng)的幅相誤差矢量中相應(yīng)的值為1。為便于處理，將幅相誤差對(duì)角矩陣和陣列導(dǎo)向矢量進(jìn)行如下分塊變換。

其中，vecd(·) 表示把括號(hào)里面的對(duì)角矩陣的主對(duì)角元素重構(gòu)成列向量；a1(θ)表示a(θ)中前P個(gè)精確校正過(guò)的陣元所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量，a2(θ)表示a(θ)中M-P個(gè)存在幅相誤差的陣元所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量。至此，修正后的陣列導(dǎo)向矢量可以表示為

3.3 PCA 降維誤差校正

4 仿真分析

4.1 空間譜分析

本節(jié)采用MATLAB 工具對(duì)本文所提算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，在實(shí)驗(yàn)中所設(shè)置的天線陣元數(shù)M=10，每個(gè)陣元間距為dmin=λ/2，dmin是信號(hào)的最小波長(zhǎng)。在TR 前向探測(cè)階段中，探測(cè)信號(hào)的調(diào)制方式為線性頻率調(diào)制，載波頻率fc=200 MHz，帶寬B=20 MHz，其他參數(shù)如傳播時(shí)延和衰減因子等根據(jù)IEEE 802.3 標(biāo)準(zhǔn)中的參數(shù)設(shè)置。為確定PCA 降維之后的維數(shù)，本文分別仿真了不同維度下的均方根誤差（RMSE,root mean square error）、分辨成功率及運(yùn)行時(shí)間并制成散點(diǎn)圖，最后用MATLAB 工具擬合成光滑曲線。本節(jié)所有仿真都根據(jù)蒙特卡羅方法來(lái)模擬實(shí)際場(chǎng)景，一般蒙特卡羅仿真次數(shù)設(shè)置為500 次，以使仿真具有可靠性和穩(wěn)健性。定義角度估計(jì)階段的RMSE 為

其中，T為蒙特卡羅仿真次數(shù)，θt為真實(shí)DOA 值，為第t次試驗(yàn)中第n個(gè)信號(hào)的DOA 估計(jì)值。

分別對(duì)不同維數(shù)下所提算法的均方根誤差、運(yùn)行時(shí)間和分辨成功率進(jìn)行仿真（主要通過(guò)設(shè)置不同的維數(shù)來(lái)獲取仿真結(jié)果），結(jié)果如圖2 和圖3所示。

圖2 所提算法在不同維數(shù)下的均方根誤差與運(yùn)行時(shí)間

圖3 所提算法在不同維數(shù)下的分辨成功率和運(yùn)行時(shí)間

從圖2 和圖3 中可以看出，隨著維數(shù)增加本文所提算法的均方根誤差逐漸減少且分辨成功率逐漸增加，這是因?yàn)?，維數(shù)越低PCA 步驟中的重構(gòu)矩陣Rnew所含關(guān)鍵信息越少，進(jìn)行估計(jì)時(shí)誤差越大；算法的計(jì)算量也會(huì)隨著矩陣維數(shù)的降低而變少，相應(yīng)地，算法的運(yùn)行時(shí)間將會(huì)降低。

綜合考慮均方根誤差、分辨成功率和運(yùn)行時(shí)間3 種因素之后，本文算法將PCA 降維之后的維數(shù)設(shè)置為6。維數(shù)為6 時(shí)算法的均方根誤差較低，分辨成功率能達(dá)到80%以上且運(yùn)行時(shí)間在可接受范圍內(nèi)。為了對(duì)比算法性能，仿真中還加入了傳統(tǒng)ISM算法和文獻(xiàn)[14]所提的ESPRIT-ISM 算法作為對(duì)比。ESPRIT-ISM 算法在幅相誤差校正中的應(yīng)用場(chǎng)景與本文算法十分接近，校正效果可觀且復(fù)雜度不高，在近幾年相關(guān)的校正算法中有較強(qiáng)的代表性。

誤差校正前后的空間譜如圖4 所示。在此仿真實(shí)驗(yàn)中，信噪比SNR=0，入射信號(hào)真實(shí)角度值設(shè)置為{-20?,0?,20?}，幅度誤差服從均值為0、方差為σμ=0.4的隨機(jī)分布，相位誤差服從均值為0、方差為σφ=20的隨機(jī)分布。

圖4 誤差校正前后的空間譜

從圖4 可以看出，由于存在幅相誤差，校正前的信號(hào)空間譜幅度比校正后的幅度小，且譜峰不如校正后尖銳，同時(shí)校正前的信號(hào)的譜峰最大值所對(duì)應(yīng)的入射角度與真實(shí)角度間存在偏移。采用所提算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行校正以后，信號(hào)空間譜的峰值幅度更明顯且譜峰也更加尖銳，與真實(shí)入射角的值更加接近，驗(yàn)證了所提算法的誤差校正效果。

4.2 誤差與分辨成功率

在進(jìn)行誤差分析前，需要引入一個(gè)對(duì)比參考量，即克拉美羅下界（CRLB,Cramer-Rao lower bound）。CRLB 用于計(jì)算無(wú)偏估計(jì)中能夠獲得的最佳估計(jì)精度，可為任何無(wú)偏估計(jì)量的方差確定一個(gè)下限，即不可能求得方差小于下限的無(wú)偏估計(jì)量，本文所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的估計(jì)誤差只能無(wú)限接近這個(gè)下限，在理想狀況下可以達(dá)到這個(gè)下限值，與CLRB 越接近，估計(jì)的性能越好。定理1 用于求解本文理論CRLB。

定理1任何無(wú)偏估計(jì)量的方差必滿足

由于本文估計(jì)量?θ也是無(wú)偏估計(jì)量（證明詳見(jiàn)附錄1），根據(jù)上述定理可以得到所提算法的CRLB 為

其中，E為導(dǎo)數(shù)矩陣，如式(48)所示。

本文所提算法在不同多徑條件下的均方根誤差隨信噪比的變化如圖5 所示。從圖5 可以看出，所提算法在多徑數(shù)為4 時(shí)已經(jīng)有較好性能。但隨著信噪比上升，多徑數(shù)的增加對(duì)算法性能的提升并不明顯，此時(shí)不同多徑條件下的均方根誤差曲線接近重合。為了保證算法的有效性和運(yùn)行效率，在后續(xù)仿真中將多徑數(shù)設(shè)為4。

圖5 所提算法在不同多徑條件下的均方根誤差隨信噪比的變化

傳統(tǒng)ISM 算法、ESPRIT-ISM 算法和所提算法在多徑數(shù)為4 時(shí)均方根誤差隨信噪比的變化如圖6 所示。從圖6 中可以看出，在低信噪比情況下，所提算法的誤差比另外2 種算法低。3 種算法的均方根誤差都會(huì)隨著信噪比的增加而下降，但所提算法利用TR 技術(shù)獨(dú)特的空時(shí)聚焦特性有效抑制了多徑效應(yīng)，在多徑環(huán)境下可以降低信號(hào)源相干性，因此均方根誤差始終與CRLB 最靠近。

圖6 均方根誤差隨信噪比的變化

分辨成功率與信噪比以及快拍數(shù)的變化關(guān)系分別圖7 和圖8 所示。定義每次估計(jì)的角度值與真實(shí)值相差小于±1°時(shí)為分辨成功。從圖7 和圖8 中可以看出，3 種算法的分辨成功率都會(huì)隨著信噪比和快拍數(shù)的增加而提升。但是在低信噪比和低快拍數(shù)區(qū)域，影響算法性能的主要因素是多徑時(shí)延擴(kuò)展及對(duì)信號(hào)源位置信息的捕獲程度。由于所提算法運(yùn)用TR 技術(shù)的聚焦特性來(lái)獲取目標(biāo)的多徑信息，并有效降低了多徑效應(yīng)的作用，在低信噪比和低快拍數(shù)情況下的分辨成功率也能達(dá)到較高水平。但隨著信噪比和快拍數(shù)的增加，多徑效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)性能的影響不再占有主導(dǎo)地位，3 種算法的分辨成功率達(dá)到近似水平。

圖7 分辨成功率隨信噪比的變化

圖8 分辨成功率隨快拍數(shù)的變化

4.3 校正誤差估計(jì)值對(duì)照

表1～表4 是使用所提算法后，在信噪比SNR=0 和SNR=10 dB 情況下的幅度誤差估計(jì)值及相位誤差估計(jì)值與所對(duì)應(yīng)的真實(shí)值之間的對(duì)照。陣元編號(hào)為5～10，前4 個(gè)陣元作為參考陣元（不存在誤差）。從表1～表4 可以看出，所提算法能有效估計(jì)幅度誤差與相位誤差，且誤差估計(jì)值和誤差真實(shí)值之間的差距會(huì)隨著信噪比的增加而減少。

表1 幅度誤差估計(jì)值對(duì)比（SNR=0）

表2 幅度誤差估計(jì)值對(duì)比（SNR=10 dB）

表3 相位誤差估計(jì)值對(duì)比（SNR=0）

表4 相位誤差估計(jì)值對(duì)比（SNR=10）

4.4 復(fù)雜度分析

計(jì)算復(fù)雜度是衡量算法性能的一個(gè)重要指標(biāo)，本節(jié)主要分析3 種算法的復(fù)雜度，其中一次復(fù)數(shù)乘法作為一個(gè)計(jì)算復(fù)雜度的單位。3 種算法所對(duì)應(yīng)的主要計(jì)算復(fù)雜度如表5 所示，其中，M、N、L、Q分別是天線陣元數(shù)、待估計(jì)的信號(hào)數(shù)、采樣快拍數(shù)和PCA 降維后的維數(shù)。

從表5 可以看出，3 種算法的主要計(jì)算復(fù)雜度來(lái)源于特征分解和求協(xié)方差矩陣，特征運(yùn)算會(huì)產(chǎn)生約M3的計(jì)算復(fù)雜度，TR 部分產(chǎn)生的主要計(jì)算復(fù)雜度為4MN。所提算法在PCA 降維部分會(huì)多進(jìn)行一次特征運(yùn)算，但降維之后維數(shù)發(fā)生改變，相應(yīng)地，算法的復(fù)雜度也會(huì)改變，總體來(lái)看，所提算法的計(jì)算復(fù)雜度低于對(duì)比算法。

表5 不同算法的主要計(jì)算復(fù)雜度

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)多徑環(huán)境下信號(hào)源相干性增強(qiáng)從而使幅相誤差校正算法精度不高的問(wèn)題，本文提出了一種基于TR 的PCA 降維幅相誤差校正算法。首先通過(guò)TR 技術(shù)抑制多徑效應(yīng)以降低DOA 信號(hào)源的相干性；然后通過(guò)PCA 使TR 重構(gòu)矩陣維數(shù)降低以減少計(jì)算量；最后推導(dǎo)出相應(yīng)的DOA 參數(shù)和誤差的表達(dá)式，并對(duì)含有幅相誤差的信號(hào)進(jìn)行校正分析。仿真結(jié)果表明，所提算法能夠以較低復(fù)雜度對(duì)陣列幅相誤差進(jìn)行有效校正，且在低信噪比和低快拍數(shù)情況下也能保持較高的分辨成功率。

附錄1 算法無(wú)偏估計(jì)量的證明

將本文算法的估計(jì)量記作θ?，將每次估計(jì)的值記作為估計(jì)量的均值，并將真實(shí)方差記作σ2，真實(shí)均值記作μ。若此時(shí)用式(49)來(lái)估計(jì)總體方差

求式(50)的均值，可表示為

由式(53)可知，E(s2)為σ2的無(wú)偏估計(jì)，即所提算法估計(jì)量為θ的無(wú)偏估計(jì)量。

證畢。