【摘 要】習題是教材的重要組成部分，研究人教A版新教材中拓展性習題的數(shù)量、情境、活動等指標，解析其教學功能，并給出教學建議，真正發(fā)揮其教學功能，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成.

【關鍵詞】探究性習題;指標分析;教學功能

習題是教材的重要組成部分，是數(shù)學教學過程中組織學生學習，促進數(shù)學理解的重要載體.各版教材均設置了不同層次的習題來滿足學生學習的個性化需求，引導學生展示數(shù)學理解力，滿足學生自主探究的欲望，拓展學生的數(shù)學視野[1].人教A版新教材的習題分為“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”三個層次，其中，“拓廣探索”習題著眼于鼓勵學生數(shù)學探究和知識拓廣，所選問題具有探究性、創(chuàng)造性與開放性.本文將此類習題稱為拓展性習題，并以人教A版必修新教材中的拓展性習題為例，對該類習題的數(shù)量、情境、活動等指標進行分析，解析其教學功能，并提出在具體教學時的建議，敬請指正.

1 幾個指標的分析

1.1 習題數(shù)量的分析將必修部分拓展性習題統(tǒng)計如下表（見表1）.由表1可知，人教A版必修新教材中的拓展性習題數(shù)量為108道，約占習題總數(shù)（共605道）的17.9%，拓展性習題主要分布在“三角函數(shù)”“平面向量”“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”“函數(shù)的概念與性質(zhì)”“立體幾何初步”等五個單元中，這是由這些章節(jié)在整個高中數(shù)學體系中的地位決定的，是后續(xù)學習的重要基礎，因此很有必要通過一系列的探究、拓展來實現(xiàn)對知識的深刻理解和熟練掌握.

若與其他教材相比，“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”單元中的拓展性習題數(shù)量（共13道）比其它版教材（北師大版8道，蘇教版7道，湘教版1道）都要高，一方面是因為人教A版本單元的教材定位是在掌握指數(shù)運算和對數(shù)運算的基礎上，揭示兩種運算下數(shù)值的變化特征，為后面研究指、對數(shù)函數(shù)兩類模型的增長差異提供感性認識，如習題4.1第10題和習題4.3第9題.另一方面，人教A版教材在本章增加“不同函數(shù)增長的差異”和“函數(shù)的應用”兩節(jié)內(nèi)容，習題數(shù)量相應地隨之增多.而“平面向量”這一單元的拓展性習題數(shù)量卻遠少于其他版本（如蘇教版23道），這是因為人教A版教材將此類習題的重心放在“向量的數(shù)量積”這一核心運算上.

1.2 習題呈現(xiàn)的情境

拓展性習題的情境可根據(jù)情境的屬性分為真實情境、虛設情境、純數(shù)學情境[2]，其中真實情境取材于日常生活、外部現(xiàn)實世界（自然、藝術、體育、人文等），或文學作品、科幻作品等的故事情境，虛設情境是有一定現(xiàn)實依據(jù)的人為構造的情境.人教A版教材按此標準統(tǒng)計如下（見表2）.

從表2可以看出，新教材拓展性習題以純數(shù)學情境為主要的呈現(xiàn)方式，以真實情境或虛設情境作為素材背景的拓展性習題約占總數(shù)的三分之一，這樣的占比契合此類問題的訓練目標.如果數(shù)量過多，則會加重學生信息表征的負荷，沖淡此類問題的核心旨意;如果數(shù)量過少，則易造成文本素材的呈現(xiàn)比較呆板且脫離生活實際，不利于學生數(shù)學應用意識的培養(yǎng).由此可見，新教材在編寫拓展性習題時準確把握了情境設置的“度”，一方面強調(diào)素材在探究和拓展方面發(fā)揮作用，另一方面強調(diào)以現(xiàn)實背景引出數(shù)學問題，注重數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系.

1.3 解答習題的活動

教材在設計拓展性習題時，注重考慮為學生創(chuàng)造一定的數(shù)學活動條件和空間，學生在此過程中進行解答、寫作、項目、閱讀、實驗等活動.按照文[2]的觀點這些活動的含義如下（見表3）.

將教材中拓展性習題按上述活動類型分類統(tǒng)計如下（見表4）.由表4可知教材設置拓展性習題時充分考慮學生的認知水平和量力性原則，以傳統(tǒng)的解答活動為主要的活動類型，習題結構完整，問題指向清楚，對相關知識起到了拓展與提升的作用.同時，新教材按照新課程理念設置了以項目、實驗、閱讀和寫作等多元活動來引領學生學習的習題，通過不同類型的活動探究數(shù)學知識的本質(zhì)，提升對知識的理解，促進學生深度學習.新教材注重引導學生通過閱讀情境中的信息掌握新知和數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生數(shù)學閱讀能力和知識遷移能力;新教材還設置了針對某一主題引領學生進行項目化學習，要求學生在此過程中進行調(diào)查、統(tǒng)計、分析與撰寫報告等一系列實踐與反思的活動，培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識分析客觀事實（現(xiàn)象）的能力，提高數(shù)學素養(yǎng).但是，新教材在實驗活動和寫作活動這兩類習題上數(shù)量相對偏少，占比僅為3.7%和1.8%.

2 教學功能解析

眾所周知，拓展性習題在深化理解，鞏固認知，拓寬視野等方面有著重要的功能.除此之外，這類習題還有一些隱性的教學功能值得研析.

2.1 承前啟后，體現(xiàn)整體教學

有些拓展性習題具有承前啟后的教學功能，若能在教學中注重開發(fā)利用，可極大提高教學的整體性，加強學生對知識的整體理解.題1 （習題1.4第6題）設a，b，c分別是△ABC的三條邊，且a≤b≤c.我們知道，如果△ABC為直角三角形，那么a2+b2=c2.反過來，如果a2+b2=c2，那么△ABC為直角三角形.由此可知，△ABC為直角三角形的充要條件是a2+b2=c2.請利用邊長a，b，c分別給出△ABC為銳角三角形和鈍角三角形的一個充要條件，并證明.

這道題基于學生已有的認知和活動經(jīng)驗，不僅對已學知識（勾股定理）或方法（化斜為直）進行鞏固與拓展，還為新知的學習提供探究準備，充分體現(xiàn)整體的教學理念，讓學生在已有的經(jīng)驗中進行探究活動，更利于知識目標的達成.題1正是必修第2冊P43學習余弦定理時旁白中的問題“你能用其他方法證明余弦定理嗎？”的呼應.

2.2 聯(lián)系現(xiàn)實，突出數(shù)學應用

正如前文分析，一些拓展性習題以現(xiàn)實生活為情境，充分體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值，加強了數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，引領學生“用數(shù)學”去進行學習活動.

題2 （習題9.1第11題）你可能想了解全校同學生活、學習中的一些情況，例如，全校同學比較喜歡哪門課程，每月的零花錢平均是多少，喜歡看《新聞聯(lián)播》的同學的比例是多少，每天大約什么時間起床，每天睡眠的平均時間是多少，等.選一些自己關心的問題，設計一份調(diào)查問卷，利用簡單隨機抽樣方法調(diào)查你們學校的情況，并解釋你所得到的結論.這道題與學生的生活密切相關，需要學生親身實踐，確定學習的主題、方向、方法，并用數(shù)學的方法分析，闡明自己的理解和觀點.整個研究的過程就是“用數(shù)學”，少了枯燥的解題，多了豐富的應用，這樣的學習經(jīng)歷對培養(yǎng)學生的綜合實踐能力和數(shù)學素養(yǎng)是大有裨益的.

2.3 文化滲透，突顯數(shù)學價值

新課程標準倡導將數(shù)學文化滲透在日常教學中，包括將數(shù)學文化融入在習題中，這一點在新教材的拓展性習題中也得到體現(xiàn).題3 （習題1.1第5題）集合論是德國數(shù)學家康托爾于19世紀末創(chuàng)立的.當時，康托爾在解決涉及無限量研究的數(shù)學問題時，越過“數(shù)集”限制，提出了一般性的“集合”概念.關于集合論，希爾伯特贊譽為“數(shù)學思想的驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動的最美的表現(xiàn)之一”，羅素描述其為“可能是這個時代所能夸耀的最偉大的工作.”請你查閱相關資料，用簡短的報告闡述你對這些評價的認識.

作為高中數(shù)學學習的起始課，在習題中安排本題旨在讓學生主動去了解“集合”，走進“集合論”，在拓寬知識的同時感受數(shù)學史料的樂趣，了解集合論的發(fā)展史，激發(fā)學習興趣，有利于整個高中數(shù)學學習的心理趨向.

2.4 指導學習，引導深度學習

新教材中還設置了一類引導學生根據(jù)已學知識和經(jīng)驗進行再探究的拓展性習題.

題4 （習題5.3第10題）借助單位圓，還可以建立角的終邊之間的哪些特殊位置關系？由此還能得到三角函數(shù)值之間的哪些恒等關系？

這類習題體現(xiàn)的是學生在相同學習經(jīng)驗的基礎上進行的“二次學習”，用已經(jīng)積累的活動經(jīng)驗指導新的思維活動，這是一種反思性的學習體驗，也是對自己原有思維進行的遷移活動，是培養(yǎng)學生自學能力和展示數(shù)學學習力的途徑之一，這樣的過程有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維，促進學生的深度學習.

3 教學建議

如何開發(fā)利用拓展性習題？筆者認為除了日常教學中重視運用此類問題進行探究性學習、專題學習外，還可以嘗試以下教學組織與實施.

3.1 設計開放問題，培養(yǎng)發(fā)散思維

2020年全國高考新課程卷命制了結構不良試題，2021年八省聯(lián)考填空題中出現(xiàn)開放題，這些無不指向新高考要求學生具備發(fā)散思維，而發(fā)散思維的培養(yǎng)需要教師在平時教學中設計開放性的問題，引導學生進行探究與思考.拓展性習題就是最佳的學材，以此作為引導學生進行發(fā)散性思維學習的載體和典型案例，使其在問題解決的過程中學習一類知識，掌握數(shù)學思想方法.

學生會根據(jù)自己所學知識進行發(fā)散聯(lián)想，不同知識水平的學生寫的求值問題必定不同，學生還會在交流中進行思維碰撞，誘發(fā)自己的二次思維，形成自己的發(fā)散性思維.同時，教學中還可以引導學生對續(xù)寫的問題進行整體思維，尋找它們之間的關聯(lián)，最終形成解決一類問題的“知識框圖”，也是解決此類問題的“線路圖”（如下圖），大大提升知識的理解深度.

3.2 開發(fā)實際問題，引領項目學習

很多實際問題受時空、資金等因素影響，學生無法在學習時真實地完成，可以模擬問題情境，讓學生以項目學習的視角開展探究與拓展性學習，引導他們運用所學數(shù)學知識對模擬的實際問題進行分析與解決，培養(yǎng)知識遷移能力，促進深度學習[3].案例2 （習題6.4第23題）根據(jù)實際需要，利用本節(jié)所學的知識完成一次有關測量的實習作業(yè)，并寫出實習報告（包括測量問題、測量工具、測得數(shù)據(jù)和計算過程及結論）.

以此習題作為研究實際生活中“測量”問題的一個項目，具體實施時加入具體的生活情境，讓學生在身臨其境中經(jīng)歷項目學習的完整流程：測量的預設、測量的方案設計、測量的數(shù)據(jù)處理、測量結果的評估等.學生在實踐中抽象出實際問題的數(shù)學對象，選擇合適的數(shù)學模型進行研究，運用合理的數(shù)學工具進行分析等等，這一系列都直指數(shù)學核心素養(yǎng)：用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維分析世界，用數(shù)學的語言描述世界.整個過程可能需要通過小組合作來完成，培養(yǎng)學生團隊協(xié)作的精神.

最后需要指出的是，在實際教學中由于受急功近利的考試氛圍影響，拓展性習題會處于高評價、低使用的尷尬境況，本文旨在呼吁一線教師重視拓展性習題的教學與研究，從學生長遠發(fā)展考慮，真正發(fā)揮其教學功能，以此促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]徐斌艷.高中數(shù)學教材探究內(nèi)容分析指標體系及比較研究[J].課程·教材·教法，2012（10）：35-40.

[3]丁益民.結構不良試題的認識、功能與教學實施——以2020年新課程卷第17題為例[J].數(shù)學通訊，2021（02）：11-14.

作者簡介 丁益民（1981—），男，中學高級教師，主要從事高中數(shù)學教材教法研究，曾獲江蘇省教學成果獎一等獎，江蘇省教科研先進個人，蘇州市學科帶頭人，在《中學數(shù)學雜志》等數(shù)學期刊發(fā)表論文百余篇.