沈 衛(wèi) 陳擁華

(湖州市菱湖中學(xué) 浙江 湖州 313018)

連接體問題在高中物理問題中歷來是屬于難解問題，在物理競(jìng)賽中也多有體現(xiàn).對(duì)這類問題的解決常常需要用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系、動(dòng)量守恒，當(dāng)涉及到對(duì)體系受力關(guān)系的定量解析時(shí)，還可能考慮到由于參考系的變換而需要建立物體在非慣性系下牛頓第二定律的方程，例如第36屆全國(guó)物理預(yù)賽(江蘇賽區(qū))第15題.該題描述了輕繩的兩端連接小環(huán)和小球，并使小球在豎直平面內(nèi)向下擺動(dòng)時(shí)帶動(dòng)小環(huán)沿光滑水平固定橫桿滑動(dòng)，并求解小球的速度與輕繩的拉力.現(xiàn)將原題及答案原解呈現(xiàn)如下.

【例題】一質(zhì)量為m的小環(huán)A與一質(zhì)量為2m的小球B通過一長(zhǎng)為l的輕繩相連.先將小環(huán)套在一水平放置的光滑固定桿上，將繩拉直到水平方向，并使小環(huán)和小球都處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖1所示.然后同時(shí)釋放小環(huán)和小球.

圖1 題圖

(1)試求：小球B運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小環(huán)與小球的速度大小，并求此時(shí)繩中的拉力；

原解:第(1)問是第(2)問的特解，因此主要給出第(2)問的解答過程.設(shè)繩子與水平方向的夾角是θ時(shí)，小環(huán)A的速度為vA，小球B相對(duì)于小環(huán)A的速度為vBA，則小球B的速度為vB=vBA+vA，由系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒可知

mvA-2m(vBAsinθ-vA)=0

(1)

由系統(tǒng)機(jī)械能守恒可知

(2)

由式(1)、(2)可得

(3)

(4)

由式(3)、(4)可得小球B的速度滿足

設(shè)繩子中的拉力為F，小環(huán)的加速度為a，則小環(huán)的動(dòng)力學(xué)方程為Fcosθ=ma.以小環(huán)為參考系(非慣性系)，小球B做圓周運(yùn)動(dòng)，其所受的慣性力F′=2ma.在非慣性系中，小球B的受力情況如圖2所示.

圖2 小球受力情況

小球沿繩方向的動(dòng)力學(xué)方程滿足

(5)

將式(4)代入式(5)中可得繩子拉力為

點(diǎn)評(píng)：除去數(shù)學(xué)計(jì)算上略顯復(fù)雜，該題在求解環(huán)A與球B的速度上涉及的物理建模思想與方法還是較為簡(jiǎn)單直觀的，充分滲透了高中物理處理動(dòng)力學(xué)問題所需要的兩種守恒——?jiǎng)恿渴睾闩c機(jī)械能守恒.若說比較抽象的就是建立環(huán)A與球B在速度上存在的牽連關(guān)系，但是根據(jù)動(dòng)量守恒與運(yùn)動(dòng)合成分解還是容易為學(xué)生所理解的.但是在求解細(xì)繩拉力的時(shí)候，多數(shù)學(xué)生甚至部分教師忽略掉了以環(huán)A為參考系而產(chǎn)生的對(duì)球B所作用的慣性力.也有學(xué)生提出疑問：能否在避開慣性力運(yùn)用的前提下實(shí)現(xiàn)對(duì)細(xì)繩拉力的求解？例如知道環(huán)A沿橫桿運(yùn)動(dòng)的加速度a，再結(jié)合Fcosθ=ma就能夠得到細(xì)繩的拉力.但是要實(shí)現(xiàn)這樣的求解，前提是需要得到環(huán)A沿桿運(yùn)動(dòng)的加速度表達(dá)式，那么能否在學(xué)生已有知識(shí)框架下實(shí)現(xiàn)對(duì)拉力F的另解呢？

1 運(yùn)用求導(dǎo)法實(shí)現(xiàn)對(duì)環(huán)A加速度的求解

高中階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過導(dǎo)數(shù)并掌握了大多數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法則及其運(yùn)用，基于這樣的一個(gè)前提，學(xué)生也知道對(duì)位移求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可以得到速度，而對(duì)速度求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可以獲得物體運(yùn)動(dòng)的加速度.依據(jù)這樣的原則，本文提供兩種通過求導(dǎo)法獲取環(huán)A加速度進(jìn)而得到細(xì)繩拉力大小的方法.

1.1 對(duì)環(huán)A的速度表達(dá)式求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)

根據(jù)式(3)可知環(huán)A沿水平橫桿運(yùn)動(dòng)的速度，顯然對(duì)該式求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)必然能夠得到環(huán)A沿桿運(yùn)動(dòng)的加速度，故有

(6)

(7)

將式(7)代入式(6)中整理之后可得環(huán)A沿桿運(yùn)動(dòng)的加速度為

將該式代入到表達(dá)式Fcosθ=ma中便能夠得到細(xì)繩拉力的大小.

1.2 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)構(gòu)建方程求解

力學(xué)問題中對(duì)物體的位置坐標(biāo)求二階導(dǎo)數(shù)可以得到物體的加速度，在這里不妨構(gòu)建沿桿水平向右與垂直于桿豎直向下的二維直角坐標(biāo)系，如圖3所示.

圖3 構(gòu)建二維直角坐標(biāo)系

因此可得到當(dāng)細(xì)繩與水平橫桿成θ角時(shí)，環(huán)A與球B的位置坐標(biāo)分別為

xA=xyA=0

xB=x+lcosθ

yB=lsinθ

對(duì)環(huán)A、球B的位置坐標(biāo)求時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)可得

(8)

(9)

(10)

根據(jù)系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒及豎直方向球B的受力可構(gòu)建方程有

將式(8)～(10)代入可得

(11)

(12)

將

代入該式之后亦可得到細(xì)繩拉力F的大小.

點(diǎn)評(píng)：上述兩種方法均運(yùn)用到了求導(dǎo)法，同時(shí)也避開了對(duì)慣性力的運(yùn)用.唯一不同的是1.1的解法直接對(duì)A環(huán)的速度求導(dǎo)，得到加速度a，因此在物理方法的運(yùn)用上簡(jiǎn)單直觀，但運(yùn)算量較大.1.2的解法則是對(duì)位置坐標(biāo)求解二階導(dǎo)數(shù)并結(jié)合系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒及球B豎直方向的動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)出拉力F的表達(dá)式.該方法數(shù)學(xué)上的運(yùn)算較為簡(jiǎn)便，且避免了根號(hào)項(xiàng)的求導(dǎo)過程，同時(shí)也在求導(dǎo)的過程中充分滲透了物理思想與方法的運(yùn)用，而不至于使求導(dǎo)的過程淪為純粹的數(shù)學(xué)運(yùn)算而喪失了對(duì)問題物理本質(zhì)的探討.那么上述兩種求導(dǎo)方法是否具備較強(qiáng)的普適性呢？與原題答案的方法相比，是否具有突出的優(yōu)勢(shì)呢？顯然僅僅通過這一個(gè)例子無法進(jìn)行比較.因此下面就該題做一個(gè)簡(jiǎn)單變式，將系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模型的構(gòu)建提升一個(gè)維度，由二維平面提升至三維空間，探討一下系統(tǒng)在三維非固定懸點(diǎn)擺動(dòng)下的細(xì)繩拉力大小.

2 提升運(yùn)動(dòng)空間的維度 再談細(xì)繩拉力的求解

根據(jù)原題條件，如果在釋放球B時(shí)將球B垂直紙面向里拉開一個(gè)角度再釋放，某時(shí)刻細(xì)繩與水平面方向成角度θ，與豎直平面成角度α，建立三維直角坐標(biāo)系如圖4所示，并探討此時(shí)細(xì)繩所產(chǎn)生拉力的大小.其中u為球B相對(duì)于環(huán)A向下擺動(dòng)做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度，根據(jù)幾何關(guān)系作如圖5所示的球B沿xOz平面的運(yùn)動(dòng)示意圖.

圖4 建立三維直角坐標(biāo)系

圖5 球B沿xOz平面運(yùn)動(dòng)示意圖

可知

mvA-2mvBx=0

vBx+vA=usinθcosα

聯(lián)立兩式可得到環(huán)A沿桿滑動(dòng)的速度滿足

為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，得到球B相對(duì)環(huán)A做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小，這里采用柯尼希定理求解.由圖4及圖5可知環(huán)A與球B系統(tǒng)質(zhì)心C的速度滿足

(13)

由系統(tǒng)機(jī)械能守恒可知

(14)

將式(13)代入到式(14)中即可得到

故環(huán)A沿桿滑動(dòng)的速度滿足

2.1 在非慣性系下建立體系的動(dòng)力學(xué)方程

下面先通過原題解法中非慣性系下的動(dòng)力學(xué)方程解決變式中拉力大小的計(jì)算.與原題中的物理模型相似，球B以環(huán)A為參考系(非慣性系)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖4所示，細(xì)繩拉力F提供環(huán)A沿桿方向的加速度滿足Fcosθcosα=ma，因此球B受到沿x軸負(fù)方向的慣性力滿足F′=2ma=2Fcosθcosα.在非慣性系下，球B做圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程滿足

(15)

將式(15)整理之后代入速度u即可得到細(xì)繩的拉力滿足

盡管在原有模型構(gòu)建的背景下拓展了問題中系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的維度，將平面運(yùn)動(dòng)模型拓展為三維空間的運(yùn)動(dòng)模型，但是運(yùn)用非慣性系下的動(dòng)力學(xué)方程還是較為方便地解決了細(xì)繩拉力的求解.雖然在描述運(yùn)動(dòng)時(shí)需要一定的空間想象能力，但只要根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)與受力合理地構(gòu)建平面圖并注意幾何運(yùn)算中兼顧角度α的運(yùn)算即可.上述解法可知問題原解的方法還是具備一定的優(yōu)勢(shì)的，雖然需要引入慣性力的運(yùn)用，但是從模型的構(gòu)建與運(yùn)算的角度來說，該方法還是比較簡(jiǎn)單而方便的.

2.2 運(yùn)用求導(dǎo)法對(duì)求解細(xì)繩拉力的分析探討

根據(jù)前述分析已經(jīng)得到A環(huán)沿桿滑動(dòng)的速度表達(dá)式，因此對(duì)該表達(dá)式求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)即可得到A環(huán)沿桿運(yùn)動(dòng)的加速度aA.顯然對(duì)于A環(huán)而言，必然有

Fcosθcosα=maA

由此便可得出細(xì)繩拉力的大小.但是正如前面所述，對(duì)vA的表達(dá)式直接求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)其計(jì)算量過大，特別是表達(dá)式根號(hào)項(xiàng)內(nèi)存在兩個(gè)角度變量的情況下，對(duì)于問題運(yùn)算而言無疑增加了很大的困難.雖然該方法原理上不存在任何問題，但是在實(shí)際問題的解決過程中要根據(jù)問題本身的性質(zhì)合理地運(yùn)用.

同理，由于增加了一個(gè)維度，將平面運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為三維空間運(yùn)動(dòng)，描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的變量增加了一個(gè)角度α，因此運(yùn)用1.2中構(gòu)建方程并對(duì)描述位置坐標(biāo)的變量求時(shí)間二階導(dǎo)數(shù)的方法也在一定程度上增加了運(yùn)算上的難度.根據(jù)圖4、圖5可得到A環(huán)與B球在空間直角坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)分別為

xA=x

xB=x+lcosθcosα

yB=lsinθ

zB=lcosθsinα

根據(jù)沿x軸方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒，沿y軸方向與沿z軸方向的力學(xué)關(guān)系可建立方程如下

雖然上述方程聯(lián)立之后通過運(yùn)算并結(jié)合

亦可以得到細(xì)繩拉力F的大小，但是其運(yùn)算量過大，不符合拓展解法中簡(jiǎn)便、直觀的原則.可見求導(dǎo)法雖然對(duì)原題中細(xì)繩拉力的解答頗具新意，但是一旦將問題背景由二維平面拓展到三維空間，在增加描述運(yùn)動(dòng)變量的情形下，利用導(dǎo)數(shù)求解無形中使問題的解析過程過于繁瑣，顯然不是十分適用.由此可見，拓展問題的解法不僅要追求創(chuàng)新，同時(shí)也要兼顧解決問題方法的有效與直觀，過大的計(jì)算量的引入不是追求創(chuàng)新解法的目標(biāo).當(dāng)然，求導(dǎo)法解析動(dòng)力學(xué)問題在高中物理中還有多方面的體現(xiàn)，教師和學(xué)生可以在日常的教學(xué)實(shí)踐中加以關(guān)注、積累與總結(jié)，從而使數(shù)學(xué)方法能夠更好、更有效地用于解決物理問題.