周章怡 文煥然 黃倩妮 嚴(yán)一陽 譚興文

(西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 重慶 400715)

1 引言

變壓器在我們的日常生活中應(yīng)用十分廣泛，可用于輸配電系統(tǒng)的升、降電壓；電壓互感器、電流互感器、用于測量儀表和繼電保護(hù)裝置；能產(chǎn)生高壓，對電氣設(shè)備進(jìn)行高壓試驗(yàn)等.與此同時(shí)，變壓器鐵芯運(yùn)行中產(chǎn)生的振動(dòng)噪聲嚴(yán)重污染周邊環(huán)境，此外電抗器在運(yùn)行過程中的振動(dòng)噪聲過大對變壓器安全運(yùn)行也會(huì)構(gòu)成威脅.因此，如何減小變壓器噪聲是如今亟待解決的問題.

變壓器硅鋼鐵心材料的磁致伸縮特性是其噪聲的主要來源.目前，國內(nèi)外的研究方向主要集中在測量材料的磁致伸縮特性，如2000年，文獻(xiàn)[1]對硅鋼材料磁致伸縮作用力和變壓器可聽噪聲之間的相關(guān)性進(jìn)行了研究，研究表明磁致伸縮能解釋噪聲產(chǎn)生的原因；文獻(xiàn)[2,3]對電工鋼片的旋轉(zhuǎn)磁致伸縮特性進(jìn)行了研究，并給出了測量結(jié)果；文獻(xiàn)[4]從硅鋼片材料磁疇微觀角度分析其磁致伸縮現(xiàn)象，研究了應(yīng)力對磁致伸縮特性的影響及其本質(zhì)模型，并根據(jù)彈性固體應(yīng)力應(yīng)變本質(zhì)關(guān)系，對鐵芯的振動(dòng)形變進(jìn)行了分析模擬……但是，對于其噪聲發(fā)聲頻率的具體研究還比較少.

受2020年中國大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競賽(CUPT)第4題的啟發(fā)，我們以鎳鋅鐵氧體棒作為研究材料，通過測量鐵氧體棒的噪聲頻率，詳細(xì)分析發(fā)聲頻率和固有頻率之間的關(guān)系.相較于硅鋼片而言，鎳鋅鐵氧體棒為軟磁材料，在磁場作用下容易發(fā)生形變，使發(fā)聲現(xiàn)象明顯且產(chǎn)生的噪音聲級(jí)較小，它在高頻下渦流損耗也更小，并且能抑制電磁泄露，更有利于研究振動(dòng)發(fā)聲的原因和本質(zhì)，從而減小變壓器噪聲.

本文以通電線圈中的鐵氧體棒作為變壓器振動(dòng)噪聲的簡化模型，用兩根極細(xì)的剛性繩在棒的兩端將其吊起，棒從線圈中穿過，功率函數(shù)信號(hào)發(fā)生器用來提供交變電流，輸出電壓最大為21.6 V，輸出功率≥10 W.首先采取敲擊法測量鐵氧體棒的固有頻率，并通過與理論對比確定測量得到的固有頻率是第幾個(gè)固有頻率.之后探究激勵(lì)頻率、發(fā)聲頻率與固有頻率三者的關(guān)系.在人耳聽力范圍20 Hz～20 kHz內(nèi)，當(dāng)線圈激勵(lì)頻率為鐵氧體棒固有頻率及固有頻率整數(shù)倍時(shí)，均可觀測到線圈中的鐵氧體棒的發(fā)聲現(xiàn)象.鐵氧體棒發(fā)出聲音是由于激勵(lì)信號(hào)與系統(tǒng)的固有振動(dòng)頻率相匹配時(shí)，發(fā)生共振.共振時(shí)系統(tǒng)具有吸收更多能量的趨勢，帶動(dòng)空氣振動(dòng)，從而發(fā)出聲音.在共振發(fā)聲當(dāng)中，除了頻率與固有頻率相同的聲音，還存在其整數(shù)倍和約數(shù)倍頻率的聲音，稱為泛音列和沉音列.除此之外，還新發(fā)現(xiàn)了固有頻率的約數(shù)倍頻也能使鐵氧體棒發(fā)出聲音.

2 理論模型建立

用兩根極細(xì)的剛性繩在棒的兩端將其吊起，棒從線圈中穿過，線圈的內(nèi)半徑大于棒的半徑.未給線圈通正弦交流電時(shí)，棒保持靜止，以鐵氧體棒的中軸為x軸建立坐標(biāo)系，如圖1所示.

當(dāng)給線圈通電后，線圈中會(huì)產(chǎn)生磁場，由于磁致伸縮效應(yīng)棒會(huì)沿磁場方向產(chǎn)生形變，即產(chǎn)生x方向上的位移，但由于線圈的線度與棒相比較小，因此在遠(yuǎn)離線圈的地方，磁場的方向會(huì)向z軸偏移，因此棒的振動(dòng)同時(shí)存在沿x軸和z軸的分量，故使用撓度ω′(x,t)來描述.

圖1 鐵氧體棒振動(dòng)示意圖

此時(shí)棒的撓度ω′和載荷q(x)之間的關(guān)系可以用歐拉-伯努利方程來描述[5]

其中E為棒的楊氏模量，I為棒的面積慣性矩，q(x)為棒上的載荷，可以理解為每單位長度上所受的壓力.

當(dāng)線圈通電之后，鐵氧體棒產(chǎn)生振動(dòng)，動(dòng)態(tài)情況下的棒可以用拉格朗日方程來描述.

棒的拉格朗日量為

其中第一項(xiàng)為動(dòng)能，第二項(xiàng)為勢能，第三項(xiàng)為載荷導(dǎo)致的勢能.

將偏導(dǎo)寫為更簡單的形式得到

拉格朗日方程為

將方程化簡為

實(shí)際情況中棒上是沒有外加壓力的，因此有關(guān)q的項(xiàng)皆為零.

方程的一般解是[6]

由于棒的兩端都是自由的，不存在支座，因此彎矩和剪切力都為零，即在x=0和x=L處有[7]

得到方程在以下條件下才存在非平凡解

cosh(βnL)cos(βnL)=1

關(guān)于此非線性方程，求出其數(shù)值解為

……

……

但是需要注意的是，泛音列雖然頻率高于基音，但是其強(qiáng)度相當(dāng)弱，因此較難被觀察到；而沉音列這種非線性現(xiàn)象的產(chǎn)生只能存在于一些十分受限的條件下[8]，且很難發(fā)出“下八度或下十二度”以后的沉音[9].下八度和下十二度對應(yīng)二分之一沉音和三分之一沉音.

3 實(shí)驗(yàn)部分

首先采取敲擊法測量鐵氧體棒的固有頻率，將鐵氧體棒用極細(xì)的剛性繩吊起，用另一根完全相同的棒敲擊，使用頻譜分析軟件記錄聲音讀取固有頻率，實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖2所示.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

以第一個(gè)基頻為基準(zhǔn)，根據(jù)鐵氧體棒固有頻率之間的比值關(guān)系

得到后面的固有頻率，與實(shí)際測得的固有頻率對比，如表1所示.

表1 18 cm鎳鋅鐵氧體棒理論與實(shí)際固有頻率對比記錄表

當(dāng)電流流過線圈，棒產(chǎn)生振動(dòng)充當(dāng)共振器，當(dāng)信號(hào)發(fā)生器的頻率與棒的固有頻率成比例時(shí)棒的振幅最大，推動(dòng)周圍的空氣產(chǎn)生聲波，這便是聲音的來源.

鐵氧體棒作為一個(gè)非線性系統(tǒng)，在共振時(shí)自然也會(huì)發(fā)出泛音列和沉音列的聲音.

實(shí)驗(yàn)使用函數(shù)信號(hào)發(fā)生器給線圈供應(yīng)正弦交流電，用兩根極細(xì)的剛性繩在棒的兩端將其吊起并從線圈中穿過.

首先對棒的固有頻率共振進(jìn)行驗(yàn)證，選用18 cm的鎳鋅鐵氧體棒，函數(shù)信號(hào)發(fā)生器依次提供頻率與固有頻率相同交流電，鐵氧體棒發(fā)出人耳可聞的聲音，用頻譜分析儀測量出聲音的頻率進(jìn)行記錄得到結(jié)果如表2所示.

表2 18 cm鎳鋅鐵氧體棒固有頻率ωn共振記錄表

由于泛音列和沉音列難以觀察到，因此只在第3個(gè)固有頻率處同時(shí)觀察到了二倍泛音和二分之一沉音.

再對倍頻共振進(jìn)行驗(yàn)證，依然使用相同的棒，實(shí)驗(yàn)方法與之前相同.結(jié)果如表3和表4所示.

表3 18 cm鎳鋅鐵氧體棒ω1(1 304 Hz)倍頻共振記錄表

表4 18 cm鎳鋅鐵氧體棒ω2(3 608 Hz)倍頻共振記錄表

以固有頻率的倍頻作為激勵(lì)頻率也會(huì)得到振動(dòng)發(fā)聲的結(jié)果，但是此時(shí)不存在一個(gè)激勵(lì)頻率對應(yīng)多個(gè)響應(yīng)頻率的現(xiàn)象.我們還對分頻的共振進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)對于一個(gè)固有頻率，其分頻也存在共振現(xiàn)象，但是并不是所有的頻率都存在分頻的共振現(xiàn)象，這與棒的非線性有關(guān)，結(jié)果如表5所示.

表5 18 cm鎳鋅鐵氧體棒分頻共振記錄表

通常來說由于泛音的強(qiáng)度較弱較難被觀察到，但是分頻的共振都激發(fā)出了二倍泛音，這是因?yàn)榉诸l與固有頻率相比吸收能量的能力是最弱的，因此多余的能量在發(fā)出聲音時(shí)被分給了二倍泛音.

4 結(jié)論

本文通過對鐵氧體棒的固有頻率進(jìn)行理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得到以下結(jié)論:

(1)能夠使鐵氧體棒發(fā)聲的頻率為鐵氧體棒的固有頻率以及固有頻率的整數(shù)倍頻率和約數(shù)倍頻率.

(2)無論是哪種頻率作為電流激勵(lì)頻率，總有激勵(lì)頻率等于響應(yīng)頻率.

(3)在以固有頻率作為激勵(lì)頻率時(shí)，除了等于激勵(lì)頻率的聲音，還會(huì)出現(xiàn)多個(gè)響應(yīng)頻率的聲音，這些聲音就是泛音列和沉音列.但是沉音和泛音由于強(qiáng)度較小，因此很難被觀察到.

(4)以固有頻率約數(shù)倍頻率作為激勵(lì)頻率時(shí)，響應(yīng)頻率都會(huì)出現(xiàn)一個(gè)二倍的泛音.這是因?yàn)榇藭r(shí)的共振為非固有頻率共振，分頻吸收能量的能力較弱，因此多余的能量被分給了泛音.