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        “球槽模型”中的臨界質(zhì)量比與靜止釋放初始位置的關(guān)系

        2021-08-25 04:02:16白榮華李春梅
        物理通報(bào) 2021年9期
        關(guān)鍵詞:方向質(zhì)量模型

        白榮華 李春梅 高 遠(yuǎn)

        (重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 重慶 401320)

        1 問(wèn)題提出

        圖1 球槽模型

        2 數(shù)理解析

        各量如圖2所示,小球滑下后某一瞬時(shí)小球與圓心的連線同水平方向的夾角為θ,對(duì)球槽系統(tǒng)分別由水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律得

        mv2x=Mv1

        (1)

        (2)

        圖2 球槽模型各量分析

        小球相對(duì)槽的速度方向沿圓弧切向,有

        v2ytanθ=v2x+v1

        (3)

        (4)

        (5)

        v2=

        (6)

        其中

        A=k+k2+(1+k)2cot2θ

        為了考查式(6)中球的速率v2的單調(diào)性,我們等價(jià)考慮下面函數(shù)f(θ)的單調(diào)性,有

        (7)

        (8)

        (9)

        移項(xiàng)后提取公因式有

        (10)

        兩邊同乘sin2θ,得

        (11)

        k2(k+k2)≥2k(1+k)2(1-sinθ0)

        移項(xiàng)化簡(jiǎn)得

        k2≥2(1+k)(1-sinθ0)

        (12)

        解此關(guān)于k的一元二次不等式,得

        (13)

        從而得到臨界質(zhì)量比

        (14)

        3 討論與結(jié)論

        圖3 臨界質(zhì)量比kc與釋放初始角度θ0的關(guān)系

        圖4 不同釋放初始角下,f(θ)隨角度變化關(guān)系

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