陳 曦
(中國人民大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100080)
張石友 張曉琳
(北京市第一七一中學(xué) 北京 100013)
在帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行高三復(fù)習(xí)時(shí),遇到了一道看似平常的練習(xí)題,“奇怪”的是:從兩個(gè)不同的角度求解,得到的“答案”卻不同,引發(fā)了我們的思考與討論,問題描述如下.
【例題】?jī)蓚€(gè)平行且彼此靠近的金屬板與一直流電源兩極相連,電源的內(nèi)阻可忽略不計(jì),兩板間形成的電場(chǎng)可認(rèn)為是勻強(qiáng)電場(chǎng).有質(zhì)量為m,電荷量為-q的粒子,不間斷地從兩平行板左側(cè)中點(diǎn)以初速度v0沿垂直場(chǎng)強(qiáng)的方向射入電場(chǎng),粒子偏轉(zhuǎn)后恰打在下極板的邊緣上,如圖1所示.已知單位時(shí)間入射的粒子數(shù)為n,兩平行板的間距為d,金屬板長度為L,不計(jì)粒子重力.求穩(wěn)定時(shí)電源的輸出功率.
圖1 單個(gè)粒子打在極板的邊緣
解法1(參考答案):
解析:粒子打在極板上,電路導(dǎo)通,電流
(1)
(2)
由式(1)、(2),可得電源輸出功率
解法2(從能量轉(zhuǎn)化與守恒的大思路來展開):
(3)
對(duì)單個(gè)粒子來說,電源做的功即增加的動(dòng)能為
(4)
單位時(shí)間內(nèi)電源對(duì)粒子所做的功,為
W=nW0
(5)
由式(3)、(4)、(5),可得電源輸出的功率
上述兩種方法中,一個(gè)認(rèn)為回路中的電流是因?yàn)橛袔щ娏W哟虻綐O板上產(chǎn)生的;另一個(gè)則是避開電流的問題,直接利用能量守恒求解.孰對(duì)孰錯(cuò)?
為了弄清楚這個(gè)問題,我們不妨做個(gè)假設(shè):假如沒有帶電粒子打到極板上,如圖2所示.按照“參考答案”所給思路,電路中就會(huì)沒有電流,電源的輸出功率也將是零,那么帶電粒子偏轉(zhuǎn)后獲得的動(dòng)能哪里來的?豈不違背能量守恒定律嘛!據(jù)此我們可以判定,第一種求解方法應(yīng)該是存在問題的.
圖2 單個(gè)粒子從極板間射出
經(jīng)查閱資料并討論交流后發(fā)現(xiàn):帶電粒子(-q)在進(jìn)入平行板電容器后會(huì)引起兩板發(fā)生靜電感應(yīng)現(xiàn)象,在上下兩個(gè)極板上都感應(yīng)出電荷,感應(yīng)電荷的電量和帶電粒子與極板的距離有關(guān).偏轉(zhuǎn)過程中,帶電粒子和兩個(gè)極板的距離發(fā)生變化,導(dǎo)致兩個(gè)極板上感應(yīng)電荷的電量也發(fā)生變化.一部分感應(yīng)電荷沿著外電路從一個(gè)極板流向另一個(gè)極板,形成電流.因此我們并不能認(rèn)為只有帶電粒子打到極板上一瞬間,外電路中才會(huì)有電流,更不能認(rèn)為電流的大小等于單位時(shí)間內(nèi)打到極板上的電荷量.電流流過電源時(shí),電動(dòng)勢(shì)做功將其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能和帶電粒子的動(dòng)能.
為了能在高中或者高中物理競(jìng)賽的知識(shí)范圍內(nèi)計(jì)算感應(yīng)電荷的電荷量,我們做以下兩個(gè)近似.第一,帶電粒子入射之前,只有兩極板之間存在勻強(qiáng)電場(chǎng),空間其他位置處沒有電場(chǎng).第二,入射帶電粒子的電量遠(yuǎn)小于電容器所帶電量,帶電粒子入射之后,除帶電粒子周圍,兩極板之間的大部分區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)仍然可以近似看作勻強(qiáng)電場(chǎng).在這兩個(gè)近似下,我們能得到兩個(gè)結(jié)論.首先,利用高斯定理可以證明兩個(gè)極板上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷總量保持為+q.其次,利用電勢(shì)疊加[1]和高斯定理[2],可以證明兩極板上感應(yīng)電荷的電量之比等于兩極板和帶電粒子距離的反比.篇幅所限,我們將在后續(xù)的論文中進(jìn)一步討論計(jì)算感應(yīng)電荷的方法,并證明上述兩個(gè)結(jié)論.
具體舉例說明如下.
說明1:帶電粒子偏出電場(chǎng)
設(shè)單位時(shí)間內(nèi)有n個(gè)帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)并發(fā)生偏轉(zhuǎn),如圖3所示.僅考慮進(jìn)入電容器之間的帶電粒子引起兩極板發(fā)生靜電感應(yīng)而產(chǎn)生感應(yīng)電荷,整個(gè)“弧形帶電粒子流”在平行板電容器之間是穩(wěn)定存在的,因此引起兩極板的感應(yīng)電荷分布也是穩(wěn)定的,因此只需考慮單位時(shí)間內(nèi)“新進(jìn)入”和“剛飛出”的帶電粒子即可,考慮到整個(gè)過程是持續(xù)穩(wěn)定的過程,因此可以等效視為每1 s內(nèi)都有-nq的電荷量進(jìn)入,也有-nq的電荷“飛出”.事實(shí)上,為了弄清楚電路電流情況,我們只需考慮每秒內(nèi)兩極板上因上述“飛入”和“飛出”的-nq電荷量引起的極板上感應(yīng)電荷量變化即可,這個(gè)過程中電源負(fù)責(zé)搬運(yùn)的電荷量也恰好是這個(gè)數(shù)值,這個(gè)電荷量與電路中的電流相對(duì)應(yīng).
圖3 多個(gè)粒子從極板間射出
上極板感應(yīng)電荷量變化為
下極板感應(yīng)電荷量變化為
如果要維持系統(tǒng)穩(wěn)定,極板上的電荷量應(yīng)穩(wěn)定不變,這就需要電源把上極板多出的電荷搬運(yùn)到下極板.即:回路中的電流大小為
說明2:粒子未偏出電場(chǎng),最終打在下極板上
我們回到初始的題目,帶電粒子恰好打到下極板邊緣(圖4).若帶電粒子打在極板上作為末態(tài).沿用上述說明1中的思路,可以得出下面的結(jié)論:
這里面要注意每秒內(nèi)打在下極板的電荷量-nq會(huì)使得下極板電荷變化,同時(shí)因這部分電荷打在了下極板而使上極板上的感應(yīng)電荷消失.這樣總的來看:
上極板每秒內(nèi)感應(yīng)電荷量增加為
下極板感應(yīng)電荷量增加量與打在下極板引起電荷變化的總和為
按照上述理論,回路中的電流大小應(yīng)為
電源的輸出功率為
圖4 多個(gè)粒子打在下極板邊緣
當(dāng)然了,盡管這種算法也能得到答案,但是筆者依然建議從能量轉(zhuǎn)化與守恒的角度來分析問題.
綜上所述,問題核心在于由于進(jìn)入平行板電容器的并不是“等離子體”,這樣使得通過電路的電荷量不是打在極板上的“電荷”量.在帶電粒子不斷靠近極板時(shí),極板上感應(yīng)電荷發(fā)生變化,為形成穩(wěn)定的狀態(tài),電源會(huì)不間斷地把多出的電荷從一個(gè)極板挪到另一個(gè)極板上,從而在回路中形成電流.
但也要注意到,上面的討論也存在一定的局限性.考慮這樣一種情況:電容器兩極板帶等量異號(hào)的電荷,和電源斷開,如圖5所示.帶電粒子沿著虛線方向從無窮遠(yuǎn)處射入電容器,偏轉(zhuǎn)之后離開電容器再運(yùn)動(dòng)至無窮遠(yuǎn)處.這個(gè)系統(tǒng)的能量包含3部分,帶電粒子的電勢(shì)能、電容器的電勢(shì)能和帶電粒子的動(dòng)能.帶電粒子從無窮遠(yuǎn)處來,又運(yùn)動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處,它的電勢(shì)能不變.電容器的電荷量不變,電勢(shì)能也不變.帶電粒子在電容器中被偏轉(zhuǎn)電壓加速,動(dòng)能增加.綜上所述,系統(tǒng)的總能量是增加的.在沒有電源供電的情況下,系統(tǒng)增加的那部分能量是從哪里來呢?是否能量不守恒了呢?
圖5 多個(gè)粒子的電偏轉(zhuǎn)
實(shí)際上,“忽略邊緣效應(yīng)”這一錯(cuò)誤近似導(dǎo)致了“能量不守恒”這一似是而非的結(jié)果.高中階段,我們通常認(rèn)為只有電容器的兩極板之間存在電場(chǎng).而實(shí)際情況是,為了保證靜電場(chǎng)做功和路徑無關(guān),電容器的外部也必然存在電場(chǎng),我們將這種現(xiàn)象稱為邊緣效應(yīng).帶電粒子穿過電容器兩極板之間時(shí)被電場(chǎng)力加速,電勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能;帶電粒子穿出電容器后,邊緣效應(yīng)又會(huì)對(duì)帶電粒子減速,使其動(dòng)能又重新轉(zhuǎn)化為電勢(shì)能.當(dāng)帶電粒子回到無窮遠(yuǎn)處時(shí),它的動(dòng)能和電勢(shì)能都會(huì)回到其從無窮遠(yuǎn)出發(fā)時(shí)的數(shù)值,系統(tǒng)總能量守恒.
這些例子告訴我們,在高中物理范圍內(nèi)分析帶電粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)時(shí),模型本身的局限性可能會(huì)導(dǎo)致某些荒謬的結(jié)論.在日常教學(xué)中應(yīng)加以重視,引導(dǎo)學(xué)生們通過推理論證,認(rèn)識(shí)物理模型的局限性,加深對(duì)能量、運(yùn)動(dòng)與相互作用等物理觀念的理解.