董少光

(佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院物理與光電工程學(xué)院 廣東 佛山 528000)

1 引言

經(jīng)典物理是高等院校物理類專業(yè)非常重要也是非常難學(xué)的專業(yè)基礎(chǔ)課.在日常的經(jīng)典物理教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生普遍反映該課程中的某些物理概念離現(xiàn)實(shí)生活非常遙遠(yuǎn)，理解起來(lái)也非常抽象、枯燥和晦澀難懂，還有些物理概念和物理規(guī)律學(xué)生難以靈活掌握以及很難理解其具體的實(shí)際運(yùn)用.很多學(xué)生在學(xué)習(xí)經(jīng)典物理時(shí)感到心理壓力很大，教師在教學(xué)過(guò)程中也感到非常棘手和茫然.因此，對(duì)經(jīng)典物理課程的課堂教學(xué)模式進(jìn)行相應(yīng)的改革和探索更好的教學(xué)方式具有非?，F(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義.

在以往的經(jīng)典物理課堂教學(xué)過(guò)程中，教師特別注重培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格、嚴(yán)密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)素質(zhì)，要求學(xué)生擁有扎實(shí)的物理基礎(chǔ)理論知識(shí)功底[1].但是，在目前的經(jīng)典物理教學(xué)過(guò)程中往往存在以下3個(gè)突出的問(wèn)題：一是學(xué)生所學(xué)的經(jīng)典物理主要是以復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)的物理基礎(chǔ)理論知識(shí)為主，而學(xué)生往往由于高等數(shù)學(xué)知識(shí)掌握得不夠扎實(shí)或不夠熟練，導(dǎo)致學(xué)習(xí)或理解復(fù)雜物理問(wèn)題的效果不理想；二是在經(jīng)典物理的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生不太容易聽(tīng)得懂比較抽象復(fù)雜的物理問(wèn)題，或者課堂上似乎聽(tīng)得懂,但課后作業(yè)卻很難獨(dú)自揣摩明白并準(zhǔn)確求解；三是學(xué)生不太能理解經(jīng)典物理教學(xué)內(nèi)容中某些難度較大的物理概念或物理規(guī)律背后所隱含的物理意義，不太容易將這些物理概念和物理規(guī)律與生活中對(duì)應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)進(jìn)行研究分析[2].

2 MATLAB可視化程序在經(jīng)典物理中的優(yōu)勢(shì)

在經(jīng)典物理的課堂教學(xué)過(guò)程中，教師普遍認(rèn)為學(xué)生對(duì)經(jīng)典物理問(wèn)題中含有一些復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)公式不能自如地處理是學(xué)習(xí)物理概念和掌握物理規(guī)律時(shí)感到困難的主要原因[3].如果教師能恰當(dāng)?shù)厥褂肕ATLAB軟件的可視化程序，就可以將很多用復(fù)雜高等數(shù)學(xué)公式表達(dá)的物理公式轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^形象的二維、三維視圖或動(dòng)態(tài)仿真圖.學(xué)生對(duì)某些復(fù)雜經(jīng)典物理問(wèn)題的理解就可以由抽象的理性思維轉(zhuǎn)變?yōu)槿菀捉邮艿母行运季S.這樣的教學(xué)方式可以大大減輕學(xué)生在學(xué)習(xí)經(jīng)典物理過(guò)程中面對(duì)繁瑣復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)公式產(chǎn)生的心理障礙或心理壓力，可以很好地提高學(xué)生對(duì)復(fù)雜經(jīng)典物理問(wèn)題的深入領(lǐng)悟和物理意義的透徹理解.當(dāng)然也就較好地提高了學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)典物理的興趣和積極性，提高了教師講授經(jīng)典物理的課堂教學(xué)質(zhì)量以及教學(xué)效果等等.

MATLAB是一款面向科學(xué)計(jì)算、數(shù)據(jù)可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的工程軟件，具有強(qiáng)大的數(shù)據(jù)計(jì)算功能，簡(jiǎn)單易學(xué)易懂，編程效率高，在工程計(jì)算和數(shù)值分析領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用[4].如果在經(jīng)典物理的課堂教學(xué)過(guò)程中應(yīng)用MATLAB軟件的可視化程序進(jìn)行輔助教學(xué)，適當(dāng)?shù)厥褂肕ATLAB軟件中可視化程序繪出二維或三維視圖，制作可視化的動(dòng)態(tài)模擬仿真圖像，就可以將抽象復(fù)雜的經(jīng)典物理問(wèn)題具體化、形象化、可視化乃至模擬仿真化，再結(jié)合經(jīng)典物理中的某些物理理論對(duì)這些復(fù)雜經(jīng)典物理問(wèn)題進(jìn)行深入的分析，就可以很好地降低學(xué)生在學(xué)習(xí)經(jīng)典物理過(guò)程中遇到復(fù)雜問(wèn)題時(shí)的恐懼心理，就能夠提升學(xué)生對(duì)經(jīng)典物理課程內(nèi)容中某些晦澀難懂的物理理論的感性認(rèn)識(shí)，并更好地分析物理現(xiàn)象產(chǎn)生的本質(zhì)和原因，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生對(duì)經(jīng)典物理的學(xué)習(xí)興趣.更重要的是通過(guò)經(jīng)典物理這門專業(yè)基礎(chǔ)課程的學(xué)習(xí)，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生良好的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)素質(zhì)，提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力和創(chuàng)新實(shí)踐能力[5].

3 MATLAB可視化程序在經(jīng)典物理中的應(yīng)用

經(jīng)典物理是學(xué)生最早利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活問(wèn)題的專業(yè)基礎(chǔ)課，涉及的知識(shí)面非常廣，主要包括力學(xué)、熱學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)、原子物理等多個(gè)學(xué)科[6].在經(jīng)典物理的課堂教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)經(jīng)典物理課程的特點(diǎn)，教師特別注重培養(yǎng)學(xué)生處理復(fù)雜物理問(wèn)題的能力、動(dòng)手實(shí)踐操作的能力、科學(xué)計(jì)算模擬的能力、科學(xué)分析概括的能力等等[7].教師在經(jīng)典物理的課堂教學(xué)過(guò)程中，對(duì)復(fù)雜的物理教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)?shù)貞?yīng)用MATLAB軟件的可視化程序進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬仿真，讓學(xué)生在不需要在實(shí)驗(yàn)室做實(shí)物實(shí)驗(yàn)的情況下，就可以直觀地觀察到某些特殊的物理現(xiàn)象或物理變化過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)經(jīng)典物理課程并非真的是枯燥乏味的，反而是非常生動(dòng)有趣和容易理解接受的.

為了使學(xué)生能夠很好地掌握抽象的、難以理解的經(jīng)典物理復(fù)雜問(wèn)題的物理概念和物理規(guī)律，在經(jīng)典物理的教學(xué)過(guò)程中，教師利用MATLAB軟件的可視化程序?qū)⑦@些物理概念和物理規(guī)律用直觀生動(dòng)的動(dòng)態(tài)仿真圖像表示出來(lái).MATLAB的可視化程序是基于數(shù)組和有關(guān)特定函數(shù)，運(yùn)行相關(guān)程序得到的視圖，該視圖是對(duì)物理概念和物理規(guī)律的定量描述，而不是普通意義的示意圖[8].因此可以定量地分析物理概念和物理規(guī)律中所涉及的各個(gè)因素對(duì)某個(gè)物理量產(chǎn)生的各種影響，這種教學(xué)模式是傳統(tǒng)的教學(xué)模式根本不可能做到的.

在經(jīng)典物理的教學(xué)過(guò)程中，剛性小球在地面上連續(xù)彈跳問(wèn)題是學(xué)生難以理解的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題.利用MATLAB軟件的可視化程序?qū)傂孕∏虻倪\(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真模擬，就能直觀顯示剛性小球彈跳的水平距離與反彈系數(shù)、速率比這兩個(gè)參數(shù)之間的變化關(guān)系，從而更容易理解剛性小球在彈跳運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所隱含的物理運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

【例1】一個(gè)剛性小球以水平速度v0從高為h處拋出，與地面發(fā)生碰撞后繼續(xù)向前跳躍.假設(shè)小球在水平方向沒(méi)有受到摩擦，在豎直方向碰撞后的速率與碰撞前的速率之比為k(k<1)，k稱為反彈系數(shù).求小球到靜止時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和水平距離.小球的水平速率與第一次反彈的速率之比為一常數(shù)，對(duì)于不同的反彈系數(shù)，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡有什么特征？

解析：小球與地面碰撞后做斜拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向是勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向是上拋運(yùn)動(dòng)，小球每次與地面碰撞后的速率為

vi=kiv0

(1)

小球第i次做斜拋運(yùn)動(dòng)的方程為

xi=xi0+vixti

(2)

(3)

其中ti是小球第i次斜拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，xi0是小球第i次斜拋運(yùn)動(dòng)的水平初始位置.

小球第i次做斜拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

(4)

小球彈跳的總時(shí)間為

(5)

反彈系數(shù)決定小球彈跳的總時(shí)間.

小球彈跳的水平總距離為

(6)

算法：取平拋高度h為距離單位，取平拋時(shí)間T0為時(shí)間單位，取v0為速度單位，則小球做平拋運(yùn)動(dòng)的無(wú)量綱方程為

(7)

(8)

小球第i次做斜拋運(yùn)動(dòng)的無(wú)量綱方程為

(9)

(10)

(11)

(12)

小球彈跳的水平距離可表示為

(13)

小球彈跳的水平總距離由反彈系數(shù)和速率比決定，反彈系數(shù)和速率比是可調(diào)節(jié)參數(shù).

MATLAB可視化程序如下所示：

%平拋小球在地面上跳躍的軌跡的主程序

clear

%清除變量

vx=0.1;

%速率比

k=0.9;

%反彈系數(shù)

fun(vx,k)

%調(diào)用函數(shù)文件畫軌跡

fun(vx,0.8)

%調(diào)用函數(shù)文件畫軌跡

%平拋小球在地面上跳躍的軌跡的函數(shù)文件

function fun(vx,k)

if k>=1 return,end

%如果速率比

大于1則返回

tm=(1+k)/(1-k);

%運(yùn)動(dòng)時(shí)間

xm=2*vx*tm;

%最遠(yuǎn)的距離

figure

%創(chuàng)建圖形窗口

plot([0,xm],[0,0],′LineWidth′,3)

%畫

地平線

grid on

%加網(wǎng)格

axis equal

%使坐標(biāo)間隔相等

axis([0,xm,0,1])

%坐標(biāo)范圍

fs=16;

%字體大小

title(′平拋小球在地面上跳躍的軌跡′,′FontSize′,fs)

%標(biāo)題

xlabel(′水平距離itx/h′,′FontSize′,fs)

%橫坐標(biāo)標(biāo)簽

ylabel(′豎直高度ity/h′,′FontSize′,fs)

%縱坐標(biāo)標(biāo)簽

txt=[′速率比itv_x/v m_0:′,num2str (vx)];

%水平速率與平拋落地速率比文本

txt=[txt ′,反彈系數(shù):′,num2str(k)];

%反彈系數(shù)文本

text(0,0.5,txt,′FontSize′,fs)

%顯示

速率比文本

txt=[′itT m=′,num2str((1+k)/(1-k)),′(2ith/g m)^{1/2}′];

%運(yùn)動(dòng)時(shí)間字符串

txt=[txt ′,itX m=′,num2str(xm),′ith′];

%連接運(yùn)動(dòng)距離

text(xm/4,0.8,txt,′FontSize′,fs)

%顯示

運(yùn)動(dòng)時(shí)間

dt=0.001;

%時(shí)間間隔

tm=1;

%平拋時(shí)間

t=0:dt:tm;

%平拋的時(shí)間向量

x=2*vx*t;

%平拋的橫坐標(biāo)

y=1-t.^2;

%平拋的縱坐標(biāo)

i=0;

%斜拋次數(shù)清零

hold on

%保持圖像

while tm>0.01

%斜拋時(shí)間較大則循環(huán)

comet(x,y)

%畫彗星式軌跡

plot(x,y,′LineWidth′,2)

%補(bǔ)畫軌跡

i=i+1;

%斜拋次數(shù)

tm=2*k.^i;

%斜拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間

t=0:0.001:tm;

%時(shí)間向量

x=x(end)+2*vx*t;

%橫坐標(biāo)

y=2*k^i*t-t.^2;

%縱坐標(biāo)

end

%結(jié)束循環(huán)

當(dāng)小球水平速率與平拋落地速率之比取0.1，反彈系數(shù)取0.9時(shí)，小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為19T0，水平運(yùn)動(dòng)的總距離為3.8h，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示.

圖1 平拋小球在反彈系數(shù)為0.9的運(yùn)動(dòng)軌跡

當(dāng)小球水平速率與平拋落地速率之比仍取0.1，但反彈系數(shù)取0.8時(shí)，小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9T0，水平運(yùn)動(dòng)的總距離為1.8h，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示.

圖2 平拋小球在反彈系數(shù)為0.8的運(yùn)動(dòng)軌跡

這樣我們就可以得出，在水平速率與平拋落地速率之比一定時(shí)，反彈系數(shù)越小，小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短，水平運(yùn)動(dòng)的總距離也越短.在反彈系數(shù)一定時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間不變，水平速率與平拋落地速率之比越大，水平運(yùn)動(dòng)的總距離也越長(zhǎng).從圖中可直觀看到小球的運(yùn)動(dòng)軌跡及小球彈跳水平總距離，物理過(guò)程非常清晰和直觀，學(xué)生也非常容易理解物理過(guò)程.

在經(jīng)典物理的教學(xué)過(guò)程中，均勻鏈條從光滑桌面上下落的問(wèn)題也是學(xué)生難以理解的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題之一.通過(guò)利用MATLAB軟件可視化程序?qū)鶆蜴湕l在下落過(guò)程中下落部分的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬仿真繪圖，就能直觀地顯示均勻鏈條下落部分的位移和速度變化規(guī)律，從而更容易理解和接受均勻鏈條在下落過(guò)程中的物理運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

【例2】一鏈條長(zhǎng)為l，放在光滑的桌面上，其中長(zhǎng)為b的一段處于下垂?fàn)顟B(tài)，如圖3所示.鏈條從靜止開始運(yùn)動(dòng)，求鏈條的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并求鏈條滑出桌面的時(shí)間和速度各為多少？

圖3 鏈條下落的示意圖

解析：由牛頓第二定律和牛頓第三定律以及數(shù)學(xué)的微積分和初始條件可以求得，鏈條下落的時(shí)間與高度的關(guān)系為

(14)

鏈條下落長(zhǎng)度(高度)的規(guī)律為

(15)

當(dāng)鏈條完全滑出桌面時(shí)，所需要的時(shí)間為

(16)

鏈條的速度為

(17)

對(duì)以上的解析式進(jìn)行約化處理，令

取約化時(shí)間

再取約化長(zhǎng)度

約化速度

其中

則鏈條的長(zhǎng)度和速度分別為

y*=b*cosht*v*=b*sinht*

(18)

當(dāng)鏈條全部滑出桌面時(shí)所需要的時(shí)間可表示為

(19)

鏈條全部滑出桌面時(shí)對(duì)應(yīng)的速度可表示為

(20)

取初始下垂的長(zhǎng)度b為參數(shù)向量，取時(shí)間t為自變量向量，形成矩陣來(lái)計(jì)算鏈條下滑的長(zhǎng)度和速度，用矩陣畫線法畫出鏈條長(zhǎng)度和速度的曲線族，作出的圖像如圖4和圖5所示.

圖4 均勻鏈條下落過(guò)程中離開桌面長(zhǎng)度的變化規(guī)律

圖5 均勻鏈條下落過(guò)程中下落速度的變化規(guī)律

MATLAB可視化程序如下所示：

% 均勻鏈條從光滑桌面上滑下來(lái)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線

clear

%清除變量

b=0.1:0.1:0.7;

%b與l的比值向量

y=0:0.01:1;

%鏈條滑過(guò)的長(zhǎng)度y

與l的比值向量

[B,Y]=meshgrid(b,y);

%化為矩陣

Y(Y

%使不符合條件的

元素為非數(shù)

T=acosh(Y./B);

%求時(shí)間

%T(imag(T)～=0)=nan;

%將復(fù)數(shù)

改為非數(shù)

V=B.*sinh(T);

%求速度

V=sqrt(Y.^2-B.^2);

%求速度(同上)

figure

%創(chuàng)建圖形窗口

plot(T,Y,′LineWidth′,2)

%畫長(zhǎng)度曲線族

plot(T(:,1),Y(:,1),′o-′,T(:,2),Y(:,2),′d-′,T(:,3),Y(:,3),′s-′,...

T(:,4),Y(:,4),′p-′,T(:,5),Y(:,5),′h-′,T(:,6),Y(:,6),′^-′,...T(:,7),Y(:,7),′v-′)

%畫長(zhǎng)度曲線族

fs=16;

%字體大小

xlabel(′itt/t m_0′,′FontSize′,fs)

%時(shí)

間比標(biāo)簽

ylabel(′ity/l′,′FontSize′,fs)

%長(zhǎng)度比標(biāo)簽

title(′均勻鏈條從桌面上無(wú)摩擦滑下的長(zhǎng)度′,′FontSize′,fs)

%加標(biāo)題

grid on

%加網(wǎng)格

n=length(b);

%比值個(gè)數(shù)

legend([repmat(′itb/l m=′,n,1),num2str(b′)],4)

%加圖例

text(1.5,0.1,′itt m_0=(itl/g m)^{1/2}′,′FontSize′,fs)

%加時(shí)間單位文本

tm=max(T);

%求運(yùn)動(dòng)時(shí)間

text(tm,ones(size(tm)),num2str(tm′,2),′FontSize′,fs)

%標(biāo)記時(shí)間

axis tight

%帖軸

hold on

%保持圖像

stem(tm,ones(size(tm)),′--′)

%畫桿圖

figure

%創(chuàng)建圖形窗口

plot(T,V,′LineWidth′,2)

%畫速度曲線

plot(T(:,1),V(:,1),′o-′,T(:,2),V(:,2),′d-′,T(:,3),V(:,3),′s-′,...

T(:,4),V(:,4),′p-′,T(:,5),V(:,5),′h-′,T(:,6),V(:,6),′^-′,...

T(:,7),V(:,7),′v-′)

%畫速度曲線族

xlabel(′itt/t m_0′,′FontSize′,fs)

%時(shí)間

比標(biāo)簽

ylabel(′itv/v m_0′,′FontSize′,fs)

%速

度比標(biāo)簽

title(′均勻鏈條從桌面上無(wú)摩擦滑下的速度′,′FontSize′,fs)

%加標(biāo)題

legend([repmat(′itb/l m=′,n,1),num2str(b′)],4)

%加圖例

grid on

%加網(wǎng)格

text(1.5,0.1,′itv m_0=(itgl m)^{1/2}′,′FontSize′,fs)

%速度單位文本

vm=max(V);

%求最終速度

text(tm,vm,num2str(vm′,3),′FontSize′,fs)

%標(biāo)記最終速度

hold on

%保持圖像

plot([zeros(size(tm));tm],[vm;vm],′--′,′LineWidth′,2)

%畫水平線

b=0.1:0.01:1;

%b與l的比值向量

tm=acosh(1./b);

%全部滑下的時(shí)間

vm=sqrt(1-b.^2);

%全部滑下的速度

plot(tm,vm,′--′,′LineWidth′,2)

%畫全部滑下的速度和時(shí)間曲線

4 結(jié)論

在經(jīng)典物理的教學(xué)過(guò)程中，利用MATLAB軟件的數(shù)值模擬可視化可以使學(xué)生理解物理概念和物理規(guī)律變得輕松.例如利用MATLAB軟件的可視化程序可以使經(jīng)典物理中的剛性小球彈跳問(wèn)題和均勻鏈條下滑過(guò)程的位移和速度變化問(wèn)題變得生動(dòng)、直觀、形象.利用MATLAB軟件的可視化程序可以將涉及的物理規(guī)律的模擬結(jié)果以動(dòng)態(tài)變化圖形的方式呈現(xiàn).從這些可視化的動(dòng)態(tài)圖形中，學(xué)生很容易理解物理規(guī)律以及物理量之間的變化趨勢(shì)，更好地理解該物理規(guī)律產(chǎn)生的原因或條件.利用MATLAB軟件的可視化程序可以使經(jīng)典物理的教學(xué)在一定的程度上減輕了教師課堂教學(xué)難度，同時(shí)也降低了復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)計(jì)算過(guò)程對(duì)學(xué)生理解物理概念和物理規(guī)律的干擾.這種輔助教學(xué)手段如果利用得當(dāng)?shù)脑?，一定可以提高教師?jīng)典物理的課堂教學(xué)效果，激發(fā)教師的教學(xué)激情，更重要的是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)典物理的積極性和興趣，快速提升學(xué)生的科學(xué)理論素質(zhì)和科學(xué)領(lǐng)悟能力.