付其飛， 李庶民

(昆明理工大學(xué) 理學(xué)院， 云南 昆明 650500)

傳染病一直是危害人類健康的重要因素之一，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，許多流行病都得到了控制，但還有一些流行病沒有得到有效控制，依舊影響著人們的生活。有些流行病具有一定的潛伏期，例如新冠病毒肺炎，因此，對于具有潛伏期流行病的研究具有重要的意義[1-2]。為了更好地了解各種疾病的傳播速度和方式，對傳染病的行波解存在性和動力行為的討論成了一個熱門的研究方向。例如，Wang等[3]考慮了Kermack-McKendrick擴散模型的行波解存在性問題，Li等[4]研究了非局部擴散的傳染病模型。文獻(xiàn)[5]研究了一類復(fù)雜金融網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險傳染模型，本文將其引入到傳染病模型中，研究傳染病模型行波解的存在性，并考慮了因病死亡率、疾病潛伏期和空間的擴散[6-9]。

1 模型與假設(shè)

本文在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上考慮如下的一類具有時滯的非局部擴散傳染病系統(tǒng)：

(1)

系統(tǒng)(1)的初始條件為S(x,t)=ρ1(x,t),I(x,t)=ρ2(x,t)，R(x,t)=ρ3(x,t)，t∈[-τ,0]。

2 行波解的存在性

(2)

令N=S+I+R，則系統(tǒng)(1)變?yōu)?

(3)

如果R0>1，系統(tǒng)(4)有兩個穩(wěn)定點(0,0,0)和(k1,k2,k3)，其中k1=A/d-S*-I*-R*，k2=I*，k3=R*。系統(tǒng)(4)的行波解形式為(N(x,t),I(x,t),R(x,t))=(φ(t),φ(t),ψ(t))，其中t=x+ct。

令fc1=aφ(t)-dφ(t),fc2=βf(A/d-φ(t)-φ(t)-ψ(t))φ(t-cτ)-(r+m+d+a)φ(t),fc3=rφ(t)-dψ(t)。則系統(tǒng)(4)為

(5)

令C[0,M](R,R3)={Φ(t)=(φ,φ,ψ)，t∈C(R,R3),0≤Φ(t)≤M,t∈R},當(dāng)Mi≥ki(i=1,2,3)時，滿足

下面尋找系統(tǒng)(5)的行波解。

(A2)存在3個連續(xù)的正數(shù)Li(i=1,2,3)，有|fci(φ1,φ1,ψ1)-fci(φ2,φ2,ψ2)|≤Li‖Φ(t)-Ψ(t)‖，Φ(t)=(φ1,φ1,ψ1)(t),Ψ(t)=(φ2,φ2,ψ2)(t)。因為(0,0,0)≤(φj(t),φj(t),ψj(t))≤(M1,M2,M3)，j=1,2,t∈[-τ,0],并且Mi≥ki，所以它是正連續(xù)的。

H1(φ,φ,ψ)(t)≥0,H1(φ2,φ2,ψ2)(t)≤H1(φ1,φ1,ψ1)(t),

H2(φ1,φ1,ψ1)(t)≤H2(φ1,φ1,ψ2)(t),H2(φ1,φ2,ψ1)(t)≤H2(φ1,φ1,ψ1)(t),

H2(φ2,φ2,ψ2)(t)≤H2(φ2,φ1,ψ1)(t),H3(φ2,φ2,ψ2)(t)≤H3(φ1,φ1,ψ1)(t),

H3(φ,φ,ψ)(t)≥0,F1(φ2,φ2,ψ2)(t)≤F1(φ1,φ1,ψ1)(t),

F2(φ1,φ1,ψ1)(t)≤F2(φ2,φ1,ψ1)(t),F2(φ1,φ1,ψ1)(t)≤F2(φ1,φ1,ψ2)(t),

F2(φ1,φ2,ψ1)(t)≤F2(φ1,φ1,ψ1)(t),F3(φ2,φ2,ψ2)(t)≤F3(φ1,φ1,ψ1)(t)。

對任意的t∈R，0≤φ2(t)≤φ1(t)≤M1，0≤φ2(t)≤φ1(t)≤M2，0≤ψ2(t)≤ψ1(t)≤M3。通過證明可得以下結(jié)論：

引理1[10]假設(shè)有(A2)成立，則有F=(F1,F2,F3),在|·|μ范數(shù)意義下連續(xù)。

為了構(gòu)造適當(dāng)?shù)纳舷陆猓治鱿旅娴暮瘮?shù)：

a(k2+ε3)-d(k1+ε1)<0,

βf(A/d-k1+ε2-k2-ε3-k3+ε6)

r(k2+ε3)-d(k3+ε5)<0,

d(k1-ε2)-a(k2-ε4)<0,

r+m+d+a<βf(A/d-k1-ε1-k2+ε4-k3-ε5),

d(k3-ε6)-r(k2-ε4)<0,

證明定義

證明定義

3 結(jié)論

本文研究了一類具有非局部擴散的時滯傳染病模型，通過構(gòu)造一對上下解和運用Schauder不動點定理，研究了連接無病平衡點E0(A/d,0,0)和地方平衡點E*=(S*,I*,R*)行波解的存在性。而文獻(xiàn)[5]只是研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并沒有研究系統(tǒng)的行波解，且沒有考慮潛伏期和空間傳播對系統(tǒng)的影響?，F(xiàn)在研究描述潛伏期的非局部擴散項和時間延遲對波速c*的影響。根據(jù)系統(tǒng)(3)的第二個方程，可以得到

cI′(ξ)=D[J*I(ξ)-I(ξ)]+βf(A/d)I(ξ-cτ)-(r+m+a)I(ξ),

通過計算可得

可以看出，對于非局部擴散速率D,波速c*是單調(diào)增加的，對于時間延遲τ，波速c*是單調(diào)遞減的。