王倩雯， 毛衛(wèi)寧

(東南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210096)

0 引言

隨著電子、通信技術(shù)和計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的快速發(fā)展，數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)得到了長足進(jìn)步，并廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、數(shù)字通信、圖像處理、模式識(shí)別、遙感遙測、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。與此同時(shí)，在理工科高等院校的教學(xué)體系中，“數(shù)字信號(hào)處理”課程的地位日顯重要，不再局限于通信與電子工程專業(yè)，在自動(dòng)控制、機(jī)械電子、生物醫(yī)學(xué)等學(xué)科得到普及，成為這些專業(yè)的必修或選修課程。

濾波是數(shù)字信號(hào)處理最基本的環(huán)節(jié)。線性卷積是計(jì)算線性時(shí)不變?yōu)V波器響應(yīng)的主要方法之一，許多重要應(yīng)用都建立在這一理論基礎(chǔ)上。對(duì)于有限長單位脈沖響應(yīng)濾波器，可以用圓周卷積代替線性卷積，計(jì)算濾波器的輸出，但當(dāng)濾波器輸入信號(hào)的長度與單位脈沖響應(yīng)長度相差較大時(shí),需要采用分段濾波的方法，將輸入信號(hào)分為許多段,每段的長度與單位脈沖響應(yīng)長度接近,每段濾波用圓周卷積計(jì)算，具體有兩種實(shí)現(xiàn)方法：重疊相加法和重疊保留法。

重疊相加法和重疊保留法是“數(shù)字信號(hào)處理”課程的重要知識(shí)點(diǎn)和難點(diǎn)之一，在實(shí)際工程中應(yīng)用廣泛[1～4]，其實(shí)質(zhì)是要保證各段濾波輸出的連續(xù)性?，F(xiàn)有教材和課堂教學(xué)中均從循環(huán)卷積與線性卷積關(guān)系出發(fā)討論重疊相加法和重疊保留法，有一定的局限性，本文通過分析濾波器的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)，闡述重疊相加法和重疊保留法如何實(shí)現(xiàn)各段濾波輸出的連續(xù)性，并討論了重疊相加法和重疊保留法各段線性卷積與圓周卷積的關(guān)系，以及各段濾波輸入/輸出數(shù)據(jù)的關(guān)系。

1 重疊相加法

對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，若系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，長度為M，重疊相加法將長序列x(n)分解為若干段，每段長度為N，用xi(n)表示x(n)序列的第i段：

(1)

則輸入序列可表示為：

(2)

濾波輸出可表示為：

(3)

其中yi(n)=xi(n)*h(n)為第i段的線性卷積，其有N+M-1個(gè)非零樣本，而每段輸入數(shù)據(jù)長度為N，故相鄰兩段的卷積結(jié)果有(M-1)點(diǎn)重疊，根據(jù)式(3)重疊部分相加得到輸出序列 。

對(duì)于重疊相加法，一般教材[5～7]都根據(jù)式(3)討論算法原理和計(jì)算步驟，并未從濾波的物理概念上闡述如何保證各段濾波輸出的連續(xù)性，學(xué)生知其然，不知其所以然，影響該知識(shí)點(diǎn)的正確理解掌握和運(yùn)用。

分析第i-1段和第i段濾波器的輸出表明，第i-1段最后M-1點(diǎn)濾波器的輸出為

(4)

由于每段輸入數(shù)據(jù)長度為N，每段最后M-1點(diǎn)，濾波器的輸出逐漸減小，如圖1；而第i段前M-1點(diǎn)濾波器的輸出為

(5)

濾波器的輸出隨n逐漸增大，直到n=M-1,如圖1所示。式(4)和(5)為濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)，兩者相加得

(6)

式(6)是濾波器的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，式(6)解釋了為何相鄰兩段卷積結(jié)果相加可保證各段濾波輸出的連續(xù)性。算法實(shí)現(xiàn)時(shí)，每一段濾波輸出可用圓周卷積計(jì)算，取圓周卷積的長度L≥N+M-1，故對(duì)于重疊相加法，每一段線性卷積等于圓周卷積，而各段濾波的輸入序列順序選取。

圖1 重疊相加法各段輸入輸出數(shù)據(jù)關(guān)系

2 重疊保留法

重疊保留法將長序列x(n)分段，相鄰兩段輸入序列重疊(M-1)點(diǎn)，每段輸入序列xi(n)長為N點(diǎn)；對(duì)xi(n)與h(n)計(jì)算N點(diǎn)的圓周卷積，并去掉有混疊的前(M-1)點(diǎn)，之后順次相連得到總的濾波輸出。

由于圓周卷積的長度等于各段輸入序列的長度，因而圓周卷積前(M-1)點(diǎn)有混疊，不等于線性卷積，一般教材[5～7]從圓周卷積與線性卷積的這種關(guān)系出發(fā)，討論重疊保留法原理和實(shí)現(xiàn)方法。事實(shí)上，對(duì)于重疊保留法，每段線性卷積的長度，即濾波器的輸出為N+M-1點(diǎn)，每段輸出去掉前(M-1)點(diǎn)是由濾波器的輸出特性決定的，而非圓周卷積的混疊點(diǎn)數(shù)。圓周卷積不等于線性卷積產(chǎn)生混疊的點(diǎn)數(shù)取決于圓周卷積的長度。分析各段濾波器輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)，可以很好地解釋這一問題。

第i段濾波器的輸出為

(7)

共N+M-1點(diǎn)。當(dāng)M-1≤n≤N-1時(shí), 濾波器輸出為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，如式(7)所示；當(dāng)0≤n≤M-1時(shí)，

(8)

當(dāng)N≤n≤N+M-2時(shí),

(9)

式(8)、(9)為濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)，在每段N+M-1點(diǎn)濾波輸出中，前后各有M-1點(diǎn)瞬態(tài)響應(yīng)，如圖2所示。為保證各段濾波輸出連續(xù)，每段濾波輸出的前、后M-1點(diǎn)的瞬態(tài)響應(yīng)都要舍棄，因而各段輸入數(shù)據(jù)要重疊M-1點(diǎn)，各段輸出取M-1～N-1點(diǎn)。算法實(shí)現(xiàn)時(shí)，用圓周卷積計(jì)算各段濾波輸出時(shí)，圓周卷積的長度L不一定等于各段輸入序列的長度，當(dāng)L≥N+M-1時(shí)各段圓周卷積等于線性卷積，沒有混疊，但為保證各段濾波輸出連續(xù)，各段輸出依然要舍棄前后各(M-1)點(diǎn)，取M-1～N-1點(diǎn)，而各段輸入要重疊M-1點(diǎn)。

從濾波器穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)出發(fā)解釋重疊保留法，有助于學(xué)生正確理解該知識(shí)點(diǎn)，澄清概念，更好地運(yùn)用于實(shí)際。結(jié)合上述分析，表1給出了重疊相加法和重疊保留法各段線性卷積與圓周卷積的關(guān)系，以及各段濾波輸入/輸出數(shù)據(jù)的關(guān)系。

表1 重疊相加法和重疊保留法各段濾波輸入/輸出數(shù)據(jù)間關(guān)系

3 結(jié)語

現(xiàn)有教材和課堂教學(xué)中從循環(huán)卷積與線性卷積關(guān)系出發(fā)，討論重疊相加法和重疊保留法，有一定的局限性。本文從濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)出發(fā)，闡述重疊相加法和重疊保留法，并討論了重疊相加法和重疊保留法各段線性卷積與圓周卷積的關(guān)系，以及各段濾波輸入/輸出數(shù)據(jù)的關(guān)系。這種從濾波器的物理機(jī)理出發(fā)，闡述分段濾波本質(zhì)的方法，有助于提升學(xué)生從物理概念出發(fā)解決實(shí)際問題的能力，取得了較好的教學(xué)效果。

圖2 重疊保留法各段輸入輸出數(shù)據(jù)關(guān)系