司宇晨，滕 琳，孟 娟

（1.大連海洋大學(xué)信息工程學(xué)院；2.設(shè)施部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；3.遼寧省海洋信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；4.大連海事大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116023）

0 引言

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，越來(lái)越多的人開始重視信息數(shù)據(jù)安全，而圖像作為當(dāng)前信息傳輸?shù)闹饕緩狡渲匾圆谎远鳎?］。圖像傳輸安全是一項(xiàng)非常重要且必要的任務(wù)，由于數(shù)字信息的特征，其在傳播時(shí)極易遭到他人的截取和篡改，傳統(tǒng)的加密算法已不能滿足當(dāng)前圖像加密需求?；煦缦到y(tǒng)有著良好的初值敏感性、隨機(jī)性和不確定性，在圖像加密領(lǐng)域有著良好應(yīng)用前景。因此，許多基于混沌系統(tǒng)的圖像加密算法應(yīng)運(yùn)而生［2-5］。

DNA 編碼是由計(jì)算機(jī)技術(shù)和生物學(xué)結(jié)合而產(chǎn)生的一個(gè)新學(xué)科，由于DNA 的特性，DNA 編碼可以擁有8 種編碼方式和3 種運(yùn)算規(guī)則，因其強(qiáng)大的并行計(jì)算能力和高復(fù)雜度在信息加密中有著獨(dú)特優(yōu)勢(shì)［6］。Zhang 等［7］提出一種基于DNA 編碼雙重混沌映射的圖像加密算法，但加密算法不可逆；Ping 等［8］提出一種運(yùn)用Henon 混沌映射的圖像像素位置置亂算法，但是沒(méi)有考慮像素值擴(kuò)散，系統(tǒng)復(fù)雜度低；Wu 等［9］提出一種典型加密算法，但其密鑰與明文無(wú)關(guān)，易于明文攻擊攻破。

針對(duì)上述圖像加密算法的不足，本文提出一種基于混沌系統(tǒng)控制隨機(jī)彈射矩陣與DNA 編碼相結(jié)合的圖像加密算法。首先運(yùn)用哈希算法獲取混沌系統(tǒng)初始值，其次對(duì)明文圖像進(jìn)行分層處理及Arnold 置亂，然后利用對(duì)置亂后的圖像進(jìn)行分塊以及DNA 編碼，最后與隨機(jī)彈射矩陣進(jìn)行DNA 運(yùn)算，將三層分量合并后生成密文圖像。通過(guò)仿真測(cè)試表明，該算法擁有大密鑰空間及高抗攻擊性，安全性能更強(qiáng)。

1 基本理論

1.1 Logistics 混沌系統(tǒng)

一維Logistics 混沌映射也稱作蟲口模型，它也是眾多混沌系統(tǒng)中較為常用的一種。20 世紀(jì)50 年代，許多科學(xué)家利用此方程推斷種群變化特征，因?yàn)榇讼到y(tǒng)在動(dòng)力學(xué)方面有十分復(fù)雜的特征，因此在信息保密方面有較多應(yīng)用。Lo?gistic 的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（1）所示。

其中a為參數(shù)，{xn}為生成的混沌序列，當(dāng)x∈(0,1)，a∈(3.569 945 6,4]時(shí)，Logistics 系統(tǒng)呈混沌狀態(tài)。

1.2 MD5 算法

MD5 算法是一種被廣泛用于加密的散列函數(shù)，對(duì)明文像素改變一位像素值，散列值就會(huì)發(fā)生很大改變，且運(yùn)算結(jié)果不可逆。MD5 算法也可以理解成信息摘要的一種實(shí)現(xiàn)，它可以從任意長(zhǎng)度的明文字符串生成128 位的哈希值；即運(yùn)用明文圖像和MD5 算法生成128 位（16 字節(jié)）的散列值U。本文將128位的散列值U分成16 個(gè)子塊（k1,k2,k3,…k16），如式（2）所示，將其處理后，可作為混沌系統(tǒng)的初始值，其作為密鑰與明文圖像相關(guān)聯(lián)，也極大加強(qiáng)了安全系數(shù)。

1.3 隨機(jī)彈射矩陣

本文提出隨機(jī)彈射矩陣，首先選取與明文圖像相同大小零矩陣，運(yùn)用明文圖像結(jié)合MD5 算法設(shè)定Logistics 系統(tǒng)初值x，如式（1），定義其公式如式（3）所示，其中⊕代表異或運(yùn)算。參數(shù)a=3.678 9，獲取Logistic 混映射連續(xù)迭代生成的偽隨機(jī)序列然后去除前3 000 次，使其達(dá)到充分迭代，選取長(zhǎng)度為M的序列將生成序列經(jīng)過(guò)式（4）轉(zhuǎn)化為0～π的弧度值。

選取點(diǎn)（1，1）為初始位置進(jìn)行彈射，碰壁后取與矩陣邊的夾角進(jìn)行折射，若彈射至4 個(gè)頂點(diǎn)，則返回初始位置，繼續(xù)進(jìn)行。統(tǒng)計(jì)出路徑經(jīng)過(guò)每個(gè)單元格的次數(shù)，用來(lái)生成隨機(jī)矩陣R。圖1 為隨機(jī)彈射示意圖，其中A 為初始點(diǎn)。

Fig.1 Random ejection diagram圖1 隨機(jī)彈射示意圖

1.4 Arnold 置亂

Arnold 也稱為貓映射，由俄國(guó)數(shù)學(xué)家Vladimir Igorev?ich Arnold 提出［10］。Arnold 變換是一種在固定區(qū)域內(nèi)反復(fù)迭代拉伸、折疊的映射，其原理主要是沿圖像x軸方向錯(cuò)切變換，再做y軸方向的錯(cuò)切變換，最后進(jìn)行回填。一副M*N的數(shù)字圖像的二維Arnold 變換定義為：

其中，x、y表示變換前圖中像素位置，xn+1、yn+1表示變換后的像素位置，a、b為參數(shù)，n表示當(dāng)前變換次數(shù)，N為圖像的長(zhǎng)或?qū)挕?/p>

1.5 Chen 超混沌系統(tǒng)

陳氏混沌系統(tǒng)（Chen Chaotic System）是在20 世紀(jì)末被提出的一種新的混沌系統(tǒng)，動(dòng)力學(xué)方程如式（6）所示。

其中，a、b、c、d、r分別為超混沌系統(tǒng)的參數(shù)，當(dāng)a=35,b=3,c=12,d=7,r∈[0.085,0.798]時(shí)，Chen 超混沌系統(tǒng)呈混沌狀態(tài)。將a=35,b=3,c=12,d=7,r=0.6 代入Chen超混沌系統(tǒng)式（2），用龍格庫(kù)塔法［11］求出4 個(gè)混沌序列，圖2（a-d）為混沌系統(tǒng)4 個(gè)引子相圖。

Fig.2 Attractor phase diagram of Chen hyperchaotic system圖2 Chen 超混沌系統(tǒng)吸引子相圖

1.6 DNA 序列

在生物學(xué)中，DNA 的全稱是脫氧核糖核酸，因其存在4種堿基：A、T、C、G 分別是腺嘌呤、胸腺嘧啶、鳥嘌呤、胞嘧啶，它們之間有互補(bǔ)配對(duì)原則，因而也常常被用在二進(jìn)制的互補(bǔ)關(guān)系中。如果用兩位二進(jìn)制表示堿基之間的編碼方式，共可分為24 種編碼方式，但是滿足堿基互補(bǔ)配對(duì)原則的只有8 種編碼方式如表1 所示。

Table 1 DNA coding rule表1 DNA 編碼規(guī)則

系統(tǒng)運(yùn)用到的DNA 運(yùn)算規(guī)則有3 種，分別是DNA 加法運(yùn)算、DNA 減法運(yùn)算和DNA 異或運(yùn)算。運(yùn)算規(guī)則如表2—表4 所示。

Table 2 DNA addition rules表2 DNA 加法規(guī)則

Table 3 DNA subtraction rules表3 DNA 減法規(guī)則

Table 4 DNA XOR rule表4 DNA 異或規(guī)則

以上3 種運(yùn)算規(guī)則是基于第一種編碼規(guī)則而呈現(xiàn)，當(dāng)然不同的編碼規(guī)則所得到的運(yùn)算結(jié)果不同。

2 加密算法

本文提出的圖像加密算法主要是將圖像分為3 個(gè)二維矩陣，對(duì)每個(gè)二維矩陣經(jīng)過(guò)置亂、分塊、DNA 編碼處理后與隨機(jī)彈射矩陣進(jìn)行DNA 運(yùn)算。Logistics 混沌系統(tǒng)決定隨機(jī)彈射矩陣的生成，Chen 超混沌系統(tǒng)決定每一個(gè)子塊的編碼解碼及DNA 運(yùn)算方式。兩個(gè)混沌系統(tǒng)的初值都與原始圖像關(guān)聯(lián)，很大程度地提升了算法安全性。具體加密流程如下：

（1）輸入M×N的彩色明文圖像P，進(jìn)行R、G、B 分層，并按式（7）轉(zhuǎn)化為3 個(gè)二維矩陣。

（2）取U生成k1、k3、k5、k7的值，設(shè)定Logistics 系統(tǒng)（式（1））初值x1如式（8）所示，獲取Logistic 混映射連續(xù)迭代生成的偽隨機(jī)序列｛Jx｝如式（9）所示，去除前3 000 次，使其達(dá)到充分迭代，對(duì)分層后的圖像進(jìn)行Arnold 置亂，規(guī)定P1置亂迭代次數(shù)為｛J1｝，P2置亂迭代次數(shù)為｛J100｝，P3置亂迭代次數(shù)為｛J1000｝，其中N為圖像的邊長(zhǎng)。

（3）將置亂后的P1P2P33 個(gè)分量的二維矩陣進(jìn)行分塊，為使P1P2P3都能夠分為均勻的塊，因此對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)零操作，t為分塊數(shù)，具體補(bǔ)零方法如式（10）所示。

（4）對(duì)Chen 氏混沌系統(tǒng)設(shè)定初值，運(yùn)用龍格庫(kù)塔法［11］算出Chen 氏超混沌系統(tǒng)的解，得到4個(gè)序列。其中，初值設(shè)定方法由式（11）計(jì)算得出。取U生成k1、k2、k3、k4的值做異或運(yùn)算作為{Xi}的初 值。依次類推，{Yi}的初值由U的k5、k6、k7、k8子塊決定，{Zi}的初值由U的k9、k10、k11、k12子塊決定，{Wi}的值由U的k13、k14、k15、k16子塊決定。

（5）取{Xi}和{Yi}分別控制P1、P2、P3和隨機(jī)彈射矩陣R 的編碼方式，將{Xi}、{Yi}分別由式（12）轉(zhuǎn)化為1～8 之間的整數(shù)，用來(lái)決定DNA 的8 種編碼方式，P1、P2、P3中，第i個(gè)子塊的編碼方式為Xi，隨機(jī)矩陣R 中，第i個(gè)子塊的編碼方式為Yi。按照{(diào)Zi}控制編碼后的P1、P2、P3與隨機(jī)彈射矩陣R 的運(yùn)算方式，同理將{Zi}中所有序列值按式（12）轉(zhuǎn)化為0～2 之間的整數(shù)，當(dāng)Zi=0 時(shí)，DNA 運(yùn)算方式為加法；Zi=1 時(shí)，運(yùn)算方式為減法；Zi=2 時(shí)，運(yùn)算方式為異或。

（6）為提高算法加密效果，將運(yùn)算后每個(gè)子塊與前一個(gè)子塊再進(jìn)行一次DNA 運(yùn)算，達(dá)到充分?jǐn)U散效果后，對(duì)經(jīng)過(guò)運(yùn)算的矩陣按式（13）中{Wi}的值進(jìn)行解碼，因?yàn)榻獯a是編碼的逆運(yùn)算，因此解碼方式也有8 種。

（7）將解碼后的三層分量合并，形成密文圖像。

本文提出的加密算法解密過(guò)程是加密算法的逆運(yùn)算，在密鑰正確的情況下，即可恢復(fù)出明文圖像，但在DNA 運(yùn)算時(shí)要注意減法和加法置換。加密算法流程如圖3 所示。

Fig.3 Brief flow of image encryption圖3 圖像加密簡(jiǎn)要流程

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

該算法是在Intel Core（TM）i5-9300H CPU@ 2.40GHz、8G RAM、win10 64 位操作系統(tǒng)、Matlab R2018a 下實(shí)驗(yàn)環(huán)境下完成。選取512×512 的Lena、Baboon、Airplane 圖作為測(cè)試圖像。其中，隨機(jī)彈射矩陣和分量置亂的Logistics 映射初始值由MD5 算法獲取，μ 取3.79。對(duì)Chen 超混沌系統(tǒng)取a=35,b=3,c=12,d=7,r=0.6。加密效果如圖4（a-i）所示。

Fig.4 Contrast image encryption before and after圖4 圖像加密前后對(duì)比

通過(guò)圖像加密前后對(duì)比圖可以看出，密文圖像與明文圖像毫無(wú)關(guān)聯(lián)，掩蓋了明文信息，而解密效果展現(xiàn)了明文的全部信息，說(shuō)明該加密算法可行且效果良好。

3.1 直方圖分析

直方圖可以有效地分析圖像中每個(gè)像素值出現(xiàn)的頻率，因此像素值分布越均勻，說(shuō)明該圖像所有像素值出現(xiàn)的頻率越均衡，可利用信息越少。圖5 是以Lena 圖為例R、G、B 3 個(gè)通道加密前后直方圖的對(duì)比圖。

Fig.5 Histogram comparison before and after encryption圖5 加密前后直方圖對(duì)比

可以得知，加密前3 個(gè)通道的直方圖，分布不均且波動(dòng)性強(qiáng)，而加密后3 個(gè)通道的直方圖分布均衡，具有近乎相同的分布趨勢(shì)，因此本加密算法也可以很好地抵抗針對(duì)圖像統(tǒng)計(jì)分析方法的攻擊。

3.2 相鄰像素相關(guān)性分析

自然圖片的相鄰像素具有很強(qiáng)的相關(guān)性。以Lena 圖為例，選取加密后的Lena 圖的水平、垂直、對(duì)角線3 個(gè)方向，隨機(jī)選擇1 000 相鄰像素進(jìn)行相關(guān)性測(cè)試，式（12）—式（13）結(jié)果如表5 所示，計(jì)算公式如式（14）所示。

Table 5 Correlation of horizontal，vertical and diagonal adjacent pixels表5 水平、垂直、對(duì)角線相鄰像素相關(guān)性

其中，x、y表示明文圖像與密文圖像相鄰像素值，N表示選擇參與的像素點(diǎn)總數(shù)，E（x）、D（x）、cov（x、y）分別表示計(jì)算公式的期望、方差、協(xié)方差，rxy表示相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)。

可以看出，明文圖像的相鄰像素相關(guān)系數(shù)十分接近1，這說(shuō)明相鄰像素相關(guān)性很強(qiáng)，而本文提出的加密算法加密后各通道的相鄰像素相關(guān)系數(shù)比另外兩種算法系數(shù)更接近于0，說(shuō)明各相鄰像素之間的關(guān)系幾乎被消除。

以Airplane 圖為例，圖6 是加密前后R 通道的水平、垂直、對(duì)角線3 個(gè)方向的明文和密文隨機(jī)點(diǎn)像素灰度值。可以看出，加密圖像的相鄰像素之間的相關(guān)性顯著降低，說(shuō)明該方案具有良好的安全性。

Fig.6 Comparison of pixel values before and after encryption of airplane R channel圖6 airplane R 通道加密前后像素值對(duì)比

3.3 信息熵

信息熵可以反映出圖像的混亂程度，信息熵的值越接近8，意味著圖像的隨機(jī)程度越高，不確定性越大，可利用信息越少。計(jì)算公式如式（15）所示。

其中，p（i）表示信號(hào)i出現(xiàn)的概率。本文L 值為512，選取Lana 圖經(jīng)測(cè)試后，圖像各通道的信息熵如表6 所示。

Table 6 Information entropy表6 信息熵

由表6 可得，本文加密算法經(jīng)加密后的信息熵更接近于8，能夠有效抵御統(tǒng)計(jì)攻擊。

3.4 抗差分攻擊

使用本文提出的加密算法對(duì)明文圖像進(jìn)行加密，然后改變明文中的一個(gè)像素進(jìn)行重新加密，兩次加密圖像之間的像素關(guān)系可用兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)衡量，即像素?cái)?shù)改變率（Number of Pixels Change Rate，NPCR）和歸一化像素平均值（Unified Average Changing Inrensity，UACI）。NPCR 的 理 想 值 是99.609 4%，UACI 的理想值是33.463 5%，在實(shí)際數(shù)值不同的實(shí)驗(yàn)環(huán)境下會(huì)有上下浮動(dòng)。計(jì)算方式如式（16）—式（17）所示。

其中，圖像寬度由m表示，高度由n表示，表7 是運(yùn)用本文算法對(duì)改變一位像素的兩張Lena 圖進(jìn)行加密后的明文敏感性對(duì)比。可以看出，本文算法的NPCR 和UACI 接近于理想值，這是因?yàn)楸疚牟捎玫幕煦缧蛄谐踔祦?lái)源于明文通過(guò)MD5 算法提供的散列值并加以運(yùn)算得到的，即使一位像素發(fā)生變化，它也可以有效地改變混沌序列的初值，這種方法極大提升了明文的敏感性，這也說(shuō)明本文提出的加密算法具有很強(qiáng)的抗差分攻擊能力。

Table 7 Contrast of plaintext sensitivity表7 明文敏感性對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于混沌控制隨機(jī)彈射矩陣和DNA序列的圖像加密算法，該算法首先利用明文圖像和MD5 算法產(chǎn)生混沌映射的初值，然后運(yùn)用Logistic 映射生成混沌序列轉(zhuǎn)化成控制質(zhì)點(diǎn)彈射的角度值，統(tǒng)計(jì)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)每個(gè)位置的次數(shù)，生成隨機(jī)彈射矩陣；接著將分層后的明文圖像進(jìn)行Arnold 置亂，對(duì)置亂后的圖像和隨機(jī)彈射矩陣進(jìn)行分塊、DNA 編碼后作DNA 運(yùn)算，合并后生成密文圖像。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)直方圖分析、信息熵值分析、抗差分測(cè)試分析等實(shí)驗(yàn)，表明本文提出的圖像加密算法具有很強(qiáng)的安全性和實(shí)用性，具有很好的應(yīng)用前景。但在加密效率方面還存在一定的提升空間，今后可針對(duì)此方面進(jìn)行合理優(yōu)化。