磁粉制動(dòng)器的改進(jìn)全局快速終端滑?？刂?/h1>
2021-08-24 08:37:04白國(guó)振王海波宋慧文
軟件導(dǎo)刊 2021年8期 關(guān)鍵詞：系統(tǒng)
王 惠，白國(guó)振，王海波，宋慧文
（上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）
0 引言
常見(jiàn)的模擬加載方法有電動(dòng)伺服加載、機(jī)械式加載、電液加載和磁粉制動(dòng)器加載［1］。由于磁粉制動(dòng)器具有良好的恒轉(zhuǎn)矩特性和可控性［2-3］，因而在模擬加載領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。但由于磁粉制動(dòng)器存在一定的非線性和滯后性［4］，對(duì)加載系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和加載精度影響很大。因此，研究加載系統(tǒng)的控制算法對(duì)提高系統(tǒng)的加載質(zhì)量具有十分重要的意義。
針對(duì)磁粉制動(dòng)器的滯后性及非線性，學(xué)者提出了多種控制方法：孫毓斌［5］提出了模糊自適應(yīng)的控制方法；Jing等［6］研究了PID 控制方法在磁粉制動(dòng)器中的應(yīng)用；袁宇鳳［7］提出引入積分作用的模糊Smith 控制方法，在一定程度上提高了磁粉制動(dòng)器的加載性能。模糊控制根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)誤差及誤差變化率進(jìn)行模糊推導(dǎo)，得到最佳的控制參數(shù)。在進(jìn)行模糊規(guī)則設(shè)定時(shí)，只需對(duì)其數(shù)學(xué)模型有初步了解即可，因而具有一定的自適應(yīng)能力，從而提高控制效果，但是在確定模糊規(guī)則時(shí)需要大量專業(yè)人士的相關(guān)控制經(jīng)驗(yàn)［8］；金昊等［9］提出一種模糊單神經(jīng)元復(fù)合智能控制方法，通過(guò)單神經(jīng)元學(xué)習(xí)算法進(jìn)行參數(shù)自整定，實(shí)現(xiàn)單神經(jīng)元控制器輸出增益的實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)；胡超等［10］、邢華［11］設(shè)計(jì)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID 控制算法，該算法在結(jié)構(gòu)和原理上模擬了人腦中的局部調(diào)整和感受野，具有收斂速度快、逼近任意連續(xù)函數(shù)能力突出的特點(diǎn)，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)重和閾值對(duì)最終的控制效果影響較大，且較難選取。上述幾種控制算法雖然在一定程度上不再依賴被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型，具有一定的魯棒性，但其加載的響應(yīng)速度、加載精度及抗干擾能力等依然需要進(jìn)一步提高。
本文針對(duì)上述算法中存在的問(wèn)題，從快速性、加載精度、抗干擾能力方面設(shè)計(jì)一套更適合于磁粉制動(dòng)器的智能控制算法——基于擾動(dòng)觀測(cè)器的磁粉制動(dòng)器全局快速終端滑?？刂扑惴?。該算法對(duì)磁粉制動(dòng)器精確的數(shù)學(xué)模型依賴度相對(duì)較低，能夠進(jìn)一步提高系統(tǒng)的加載精度、抗干擾能力和響應(yīng)速度。
1 磁粉制動(dòng)器扭矩加載系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型
1.1 系統(tǒng)基本模型
建立數(shù)學(xué)模型方法主要分為機(jī)理分析法和系統(tǒng)辨識(shí)法兩種［12］。本文首先通過(guò)機(jī)理分析法推導(dǎo)出系統(tǒng)的名義模型，然后利用系統(tǒng)辨識(shí)法確定名義模型中的未知部分。磁粉制動(dòng)器扭矩加載系統(tǒng)的典型控制結(jié)構(gòu)如圖1 所示。
Fig.1 Typical control structure of torque loading system of magnetic powder brake圖1 磁粉制動(dòng)器扭矩加載系統(tǒng)典型控制結(jié)構(gòu)
由圖1 可知，磁粉制動(dòng)器扭矩加載系統(tǒng)由功率放大器和磁粉制動(dòng)器兩部分組成。
1.1.1 功率放大器數(shù)學(xué)模型
功率放大器把控制器輸出電壓信號(hào)轉(zhuǎn)換成磁粉制動(dòng)器的輸入電流信號(hào)，其數(shù)學(xué)模型如下：
1.1.2 磁粉制動(dòng)器數(shù)學(xué)模型
設(shè)磁粉制動(dòng)器內(nèi)定子的外徑為Dm、寬度為L(zhǎng)m，則其輸出轉(zhuǎn)矩為：
式（2）中：σ為內(nèi)定子單位面積上的剪切應(yīng)力。
依據(jù)莫爾—庫(kù)侖原理［13］有：
式（3）中：σ為氣隙磁導(dǎo)率，B為磁粉間的磁感應(yīng)強(qiáng)度，μδ為磁粉槽內(nèi)磁粉磁導(dǎo)率。
將式（3）代入式（2）有：
將式（4）線性化并拉式變換得：
在磁粉制動(dòng)器磁路中，由磁場(chǎng)歐姆定律得：
式（6）中：Rδ為隙及磁粉總磁阻，Ri為鐵磁阻，L為電感量，N為線圈匝數(shù)，I為線圈電流。
不考慮邊沿磁通量帶來(lái)的影響，則穿過(guò)粉槽中的磁通量為：
式（7）中：Sδ為磁粉填充區(qū)域垂直于磁路的有效面積。
將式（7）代入式（6）得：
將式（8）拉氏變換得：
聯(lián)立式（5）和式（9）得：
由于磁粉材料存在一定的滯后性，因此在式（10）的基礎(chǔ)上串聯(lián)一個(gè)滯后環(huán)節(jié)，則磁粉制動(dòng)器的數(shù)學(xué)模型為：
由式（11）可知，磁粉制動(dòng)器是一階慣性純滯后系統(tǒng)，影響其工作性能的參數(shù)有增益Km、時(shí)間常數(shù)T以及滯后時(shí)間τ。
結(jié)合式（1）和式（11）得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：
1.2 系統(tǒng)近似數(shù)學(xué)模型
經(jīng)典系統(tǒng)辨識(shí)方法中，最小二乘法具有計(jì)算量小、原理簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，但其估計(jì)有偏差，要求輸入信號(hào)已知且具有豐富的變化［14-16］?，F(xiàn)代系統(tǒng)辨識(shí)方法中，粒子群優(yōu)化算法具有實(shí)現(xiàn)容易、精度高、收斂快等特點(diǎn)，其在解決系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題中具有顯著的優(yōu)越性［17-19］。
針對(duì)同一系統(tǒng)模型，分別使用兩種方法進(jìn)行辨識(shí)。兩種方法采取同樣的準(zhǔn)則函數(shù)進(jìn)行評(píng)判，即二乘模，具體步驟如下：
（1）選定模型傳遞函數(shù)。
（2）在MATLAB 中對(duì)模型輸入幅值為1 的階躍信號(hào)采樣時(shí)間設(shè)為1s，仿真時(shí)間為35s，得到35 組輸入輸出數(shù)據(jù)。在輸出數(shù)據(jù)上加入均值為0、方差為0.1 的白噪聲作為干擾信號(hào)。
（3）采用最小二乘法辨識(shí)結(jié)果如式（14）所示，辨識(shí)曲線如圖2 所示，辨識(shí)準(zhǔn)則函數(shù)值J 為8.509 6。
（4）利用粒子群優(yōu)化算法辨識(shí)。辨識(shí)參數(shù)集為X=［K1 K2 T1 T2］，粒子群規(guī)模為80，最大迭代次數(shù)為200 次，X中3個(gè)參數(shù)范圍均為［-2，2］，粒子最大速度Vmax設(shè)置為1.0，學(xué)習(xí)因子c1=1.3，c2=1.7，采用線性遞減的慣性權(quán)重，wmax=0.90，wmin=0.1。辨識(shí)結(jié)果如式（15）所示，辨識(shí)曲線如圖3所示，辨識(shí)準(zhǔn)則函數(shù)值J 為2.556 9。
Fig.3 Identification curve of particle swarm optimization algorithm圖3 粒子群優(yōu)化算法辨識(shí)曲線
對(duì)系統(tǒng)采用上述兩種方法進(jìn)行辨識(shí)，對(duì)辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行分析比較，可知粒子群優(yōu)化算法的辨識(shí)效果優(yōu)于最小二乘法，因此本文采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。
本文加載系統(tǒng)的控制回路為單回路形式，其系統(tǒng)框圖如圖4 所示。
Fig.4 Diagram of single loop control system圖4 單回路控制系統(tǒng)框圖
由圖4 可知，需要辨識(shí)的控制對(duì)象傳遞函數(shù)為Gp（s），在不考慮噪聲干擾情況下，Y（s）即為該控制對(duì)象的輸出信號(hào)，R（s）為整個(gè)控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)，U（s）為控制器的輸出信號(hào)，也是控制對(duì)象的輸入信號(hào)。本文不考慮控制器傳遞函數(shù)的辨識(shí)，只關(guān)心控制對(duì)象傳遞函數(shù)的辨識(shí)，即Gp（s）。因此，輸出信號(hào)和輸入信號(hào)分別為Y（s）和U（s）。
本次辨識(shí)采用的輸入信號(hào)為階躍信號(hào)，信號(hào)幅值大小為2V，采樣時(shí)間為1ms，采樣次數(shù)5 000 次。采樣結(jié)束后，將從現(xiàn)場(chǎng)采集到的數(shù)據(jù)保存。將保存的輸出數(shù)據(jù)利用粒子群算法進(jìn)行辨識(shí)，通過(guò)機(jī)理分析法得到控制對(duì)象的基本數(shù)學(xué)模型，得到待辨識(shí)的參數(shù)個(gè)數(shù)為3 個(gè)，因此取粒子維數(shù)為3。粒子群數(shù)量設(shè)置為80，最大迭代次數(shù)G=200，參數(shù)搜索范圍為［0，50］，粒子速度范圍為［-1，1］，學(xué)習(xí)因子c1=1.3、c2=1.7，采樣線性衰減0.1≤w≤0.9，準(zhǔn)則度函數(shù)為二次模。利用采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)后結(jié)果如下：
1.3 辨識(shí)結(jié)果分析
為保證辨識(shí)后系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的精確度，對(duì)粒子群優(yōu)化算法的辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。將粒子群算法辨識(shí)模型的開(kāi)環(huán)輸出值與系統(tǒng)的實(shí)際輸出值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖5 所示。
Fig.5 Validation results of identification model圖5 辨識(shí)模型驗(yàn)證結(jié)果
由圖5 可知，兩個(gè)輸出值的波形基本吻合，因此可將粒子群優(yōu)化算法的辨識(shí)結(jié)果作為被控對(duì)象的實(shí)際模型進(jìn)行后續(xù)控制算法研究。
在MATLAB 中繪制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)伯德圖，如圖6 所示，由圖6 可知系統(tǒng)的增益裕度和相位裕度均大于0，系統(tǒng)穩(wěn)定。
Fig.6 Open loop Bode diagram of the system圖6 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)伯德圖
2 全局快速終端滑模控制器設(shè)計(jì)
2.1 控制器設(shè)計(jì)
將磁粉制動(dòng)器的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化成狀態(tài)空間方程：
2.2 滑模運(yùn)動(dòng)時(shí)間分析
對(duì)式（28）兩邊取對(duì)數(shù)，即可求得系統(tǒng)到達(dá)平衡狀態(tài)的有限時(shí)間為：
因此，通過(guò)設(shè)定α、β和q可使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡狀態(tài)。
2.3 穩(wěn)定性分析
3 基于擾動(dòng)觀測(cè)器的磁粉制動(dòng)器全局快速終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
3.1 擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)
擾動(dòng)觀測(cè)器利用已知名義模型信息，觀測(cè)實(shí)際對(duì)象與名義模型的輸出差異，即等效干擾，然后將等效補(bǔ)償引入到控制器一側(cè)，實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)完全抑制，其標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)如圖7 所示。
Fig.7 Basic structure of disturbance observer圖7 擾動(dòng)觀測(cè)器基本結(jié)構(gòu)
圖7 中，Gp（s）為被控對(duì)象模型，u為參考控制輸入，e為實(shí)際控制輸入，d為外部干擾，y為系統(tǒng)輸出，n為測(cè)量噪聲，為觀測(cè)出的等效干擾。由圖7 可得等效干擾值為：
式（33）說(shuō)明，如果觀測(cè)器可在實(shí)際物理系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)，則利用上述方法就可實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)的準(zhǔn)確觀測(cè)。但實(shí)際構(gòu)造觀測(cè)器時(shí)存在以下問(wèn)題：①被控對(duì)象的傳遞函數(shù)階次通常不為零，因此其在物理上無(wú)法實(shí)現(xiàn)；②被控對(duì)象的精確傳遞函數(shù)無(wú)法獲取；③在實(shí)際測(cè)量時(shí)難免存在測(cè)量噪聲，會(huì)導(dǎo)致測(cè)量精度下降。為解決這些問(wèn)題，在等效干擾后引入低通濾波器Q（s），用名義模型的逆系統(tǒng)代替（s），得到擾動(dòng)觀測(cè)器等效框圖如圖8 所示。
Fig.8 Equivalent block diagram of disturbance observer圖8 擾動(dòng)觀測(cè)器等效框圖
由式（35）可知，濾波器Q（s）對(duì)y（s）的影響非常大，Q（s）帶寬的設(shè)計(jì)與擾動(dòng)觀測(cè)器的魯棒性和干擾抑制能力密切相關(guān)，Q（s）的設(shè)計(jì)與系統(tǒng)輸出y（s）的關(guān)系為：
在低頻段，Q（s）=1，擾動(dòng)觀測(cè)器可以實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾的完全抑制。在高頻段，Q（s）=0，擾動(dòng)觀測(cè)器可以完全克服高頻測(cè)量噪聲的影響，但對(duì)于模型參數(shù)的攝動(dòng)及外部干擾完全沒(méi)有抑制作用。因此，本文采用低通濾波器來(lái)設(shè)計(jì)Q（s）。
3.2 低通濾波器Q（s）設(shè)計(jì)
目前較為流行的低通濾波器設(shè)計(jì)方法由Lee［20］提出，其表達(dá)形式為：
式（38）中：N為分母的階次，M為分子的階次，N-M為相對(duì)階次，τ為時(shí)間常數(shù)。
在全局快速終端滑?；A(chǔ)上引入擾動(dòng)觀測(cè)器后，系統(tǒng)控制框圖如圖9 所示。
Fig.9 System control frame with disturbance observer圖9 帶擾動(dòng)觀測(cè)器的系統(tǒng)控制框圖
3.3 抗擾動(dòng)仿真分析
在MATLAB/simulink 平臺(tái)進(jìn)行抗擾動(dòng)能力仿真，外界干擾信號(hào)和指令信號(hào)分別為d（t），y（dt）：
擾動(dòng)觀測(cè)器中Q（s）低通濾波器參數(shù)設(shè)置為：N=3，M=1，k=0.1，τ=0.001；滑?？刂撇糠謪?shù)取c=10，ε=0.5，k=10。加入擾動(dòng)觀測(cè)器和未加入擾動(dòng)觀測(cè)器的全局快速終端滑?？刂品抡娼Y(jié)果如圖10、圖11 所示。
Fig.10 Control effect after adding disturbance observer圖10 加入擾動(dòng)觀測(cè)器后的控制效果
Fig.11 Control effect without disturbance observer圖11 未加入擾動(dòng)觀測(cè)器的控制效果
4 仿真分析
利用MATLAB/Simulink 平臺(tái)建立磁粉制動(dòng)器扭矩加載系統(tǒng)控制仿真模型，采用常規(guī)PID 控制、指數(shù)趨近律的滑?？刂?、加入擾動(dòng)觀測(cè)器的全局快速終端滑?？刂? 種方法，對(duì)周期為6s、幅值為1NM 的正弦信號(hào)進(jìn)行跟蹤，驗(yàn)證本文提出策略的正確性和可行性。
ε=0.5，k=10；基于擾動(dòng)觀測(cè)器的全局快速終端滑模控制（GFTSMC+DOB）系統(tǒng)初始狀態(tài)為x=［0，0］，α=2，β=1，n=1，m=3，q=5，p=9，γ=10，φ=10，Q（s）低通濾波器的參數(shù)設(shè)置：N=3，M=1，k=0.1，τ=0.001。3 種控制方法的仿真結(jié)果如圖12 所示。
Fig.12 Sinusoidal tracking effect of three methods without interference圖12 無(wú)干擾下3 種方法正弦跟蹤效果
在系統(tǒng)模型中加入干擾信號(hào)，干擾信號(hào)為1.5sin（2πt），輸入信號(hào)與各控制器的參數(shù)如上所述。加入干擾信號(hào)后的仿真結(jié)果如圖13 所示。
由圖12 和圖13 可知，在無(wú)干擾情況下，GFTSMC+DOB和RLSMC 控制比PID 控制的跟蹤效果好，GFTSMC+DOB 的跟蹤效果最優(yōu)。在有干擾情況下，GFTSMC+DOB 控制方法效果最優(yōu)；相比于其他兩種控制方法，RLSMC 控制方法對(duì)系統(tǒng)的控制性能影響較?。欢Ｒ?guī)PID 對(duì)系統(tǒng)的控制性能影響較大，證明GFTSMC+DOB 控制方法具有較強(qiáng)的抑制干擾能力。
5 結(jié)語(yǔ)
本文針對(duì)磁粉制動(dòng)器的非線性和滯后性對(duì)加載系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)和加載精度的影響，設(shè)計(jì)了一種基于擾動(dòng)觀測(cè)器的磁粉制動(dòng)器全局快速終端滑?？刂破鳌Ｍㄟ^(guò)電磁學(xué)原理推導(dǎo)出系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)模型，并分析比較了最小二乘法與粒子群優(yōu)化算法對(duì)系統(tǒng)辨識(shí)的優(yōu)缺點(diǎn)。采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)，得到系統(tǒng)近似的數(shù)學(xué)模型。對(duì)擾動(dòng)觀測(cè)器進(jìn)行設(shè)計(jì)，并在MATLAB/Simulink 平臺(tái)上進(jìn)行抗擾動(dòng)能力仿真，完成本文控制算法與PID 控制算法、趨近律滑?？刂扑惴▽?duì)正弦信號(hào)進(jìn)行有干擾信號(hào)和無(wú)干擾信號(hào)的仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的控制算法對(duì)系統(tǒng)的不確定性和外部擾動(dòng)具有較好的魯棒性，在無(wú)干擾情況下，GFTSMC+DOB 的跟蹤效果最優(yōu)，在有干擾情況下，GFTSMC+DOB 控制方法效果最優(yōu)。后續(xù)將對(duì)本文提出的控制方法在平臺(tái)中進(jìn)行驗(yàn)證。
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0 引言
常見(jiàn)的模擬加載方法有電動(dòng)伺服加載、機(jī)械式加載、電液加載和磁粉制動(dòng)器加載［1］。由于磁粉制動(dòng)器具有良好的恒轉(zhuǎn)矩特性和可控性［2-3］，因而在模擬加載領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。但由于磁粉制動(dòng)器存在一定的非線性和滯后性［4］，對(duì)加載系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和加載精度影響很大。因此，研究加載系統(tǒng)的控制算法對(duì)提高系統(tǒng)的加載質(zhì)量具有十分重要的意義。
針對(duì)磁粉制動(dòng)器的滯后性及非線性，學(xué)者提出了多種控制方法：孫毓斌［5］提出了模糊自適應(yīng)的控制方法；Jing等［6］研究了PID 控制方法在磁粉制動(dòng)器中的應(yīng)用；袁宇鳳［7］提出引入積分作用的模糊Smith 控制方法，在一定程度上提高了磁粉制動(dòng)器的加載性能。模糊控制根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)誤差及誤差變化率進(jìn)行模糊推導(dǎo)，得到最佳的控制參數(shù)。在進(jìn)行模糊規(guī)則設(shè)定時(shí)，只需對(duì)其數(shù)學(xué)模型有初步了解即可，因而具有一定的自適應(yīng)能力，從而提高控制效果，但是在確定模糊規(guī)則時(shí)需要大量專業(yè)人士的相關(guān)控制經(jīng)驗(yàn)［8］；金昊等［9］提出一種模糊單神經(jīng)元復(fù)合智能控制方法，通過(guò)單神經(jīng)元學(xué)習(xí)算法進(jìn)行參數(shù)自整定，實(shí)現(xiàn)單神經(jīng)元控制器輸出增益的實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)；胡超等［10］、邢華［11］設(shè)計(jì)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID 控制算法，該算法在結(jié)構(gòu)和原理上模擬了人腦中的局部調(diào)整和感受野，具有收斂速度快、逼近任意連續(xù)函數(shù)能力突出的特點(diǎn)，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)重和閾值對(duì)最終的控制效果影響較大，且較難選取。上述幾種控制算法雖然在一定程度上不再依賴被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型，具有一定的魯棒性，但其加載的響應(yīng)速度、加載精度及抗干擾能力等依然需要進(jìn)一步提高。
本文針對(duì)上述算法中存在的問(wèn)題，從快速性、加載精度、抗干擾能力方面設(shè)計(jì)一套更適合于磁粉制動(dòng)器的智能控制算法——基于擾動(dòng)觀測(cè)器的磁粉制動(dòng)器全局快速終端滑?？刂扑惴?。該算法對(duì)磁粉制動(dòng)器精確的數(shù)學(xué)模型依賴度相對(duì)較低，能夠進(jìn)一步提高系統(tǒng)的加載精度、抗干擾能力和響應(yīng)速度。
1 磁粉制動(dòng)器扭矩加載系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型
1.1 系統(tǒng)基本模型
建立數(shù)學(xué)模型方法主要分為機(jī)理分析法和系統(tǒng)辨識(shí)法兩種［12］。本文首先通過(guò)機(jī)理分析法推導(dǎo)出系統(tǒng)的名義模型，然后利用系統(tǒng)辨識(shí)法確定名義模型中的未知部分。磁粉制動(dòng)器扭矩加載系統(tǒng)的典型控制結(jié)構(gòu)如圖1 所示。
Fig.1 Typical control structure of torque loading system of magnetic powder brake圖1 磁粉制動(dòng)器扭矩加載系統(tǒng)典型控制結(jié)構(gòu)
由圖1 可知，磁粉制動(dòng)器扭矩加載系統(tǒng)由功率放大器和磁粉制動(dòng)器兩部分組成。
1.1.1 功率放大器數(shù)學(xué)模型
功率放大器把控制器輸出電壓信號(hào)轉(zhuǎn)換成磁粉制動(dòng)器的輸入電流信號(hào)，其數(shù)學(xué)模型如下：
1.1.2 磁粉制動(dòng)器數(shù)學(xué)模型
設(shè)磁粉制動(dòng)器內(nèi)定子的外徑為Dm、寬度為L(zhǎng)m，則其輸出轉(zhuǎn)矩為：
式（2）中：σ為內(nèi)定子單位面積上的剪切應(yīng)力。
依據(jù)莫爾—庫(kù)侖原理［13］有：
式（3）中：σ為氣隙磁導(dǎo)率，B為磁粉間的磁感應(yīng)強(qiáng)度，μδ為磁粉槽內(nèi)磁粉磁導(dǎo)率。
將式（3）代入式（2）有：
將式（4）線性化并拉式變換得：
在磁粉制動(dòng)器磁路中，由磁場(chǎng)歐姆定律得：
式（6）中：Rδ為隙及磁粉總磁阻，Ri為鐵磁阻，L為電感量，N為線圈匝數(shù)，I為線圈電流。
不考慮邊沿磁通量帶來(lái)的影響，則穿過(guò)粉槽中的磁通量為：
式（7）中：Sδ為磁粉填充區(qū)域垂直于磁路的有效面積。
將式（7）代入式（6）得：
將式（8）拉氏變換得：
聯(lián)立式（5）和式（9）得：
由于磁粉材料存在一定的滯后性，因此在式（10）的基礎(chǔ)上串聯(lián)一個(gè)滯后環(huán)節(jié)，則磁粉制動(dòng)器的數(shù)學(xué)模型為：
由式（11）可知，磁粉制動(dòng)器是一階慣性純滯后系統(tǒng)，影響其工作性能的參數(shù)有增益Km、時(shí)間常數(shù)T以及滯后時(shí)間τ。
結(jié)合式（1）和式（11）得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：
1.2 系統(tǒng)近似數(shù)學(xué)模型
經(jīng)典系統(tǒng)辨識(shí)方法中，最小二乘法具有計(jì)算量小、原理簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，但其估計(jì)有偏差，要求輸入信號(hào)已知且具有豐富的變化［14-16］?，F(xiàn)代系統(tǒng)辨識(shí)方法中，粒子群優(yōu)化算法具有實(shí)現(xiàn)容易、精度高、收斂快等特點(diǎn)，其在解決系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題中具有顯著的優(yōu)越性［17-19］。
針對(duì)同一系統(tǒng)模型，分別使用兩種方法進(jìn)行辨識(shí)。兩種方法采取同樣的準(zhǔn)則函數(shù)進(jìn)行評(píng)判，即二乘模，具體步驟如下：
（1）選定模型傳遞函數(shù)。
（2）在MATLAB 中對(duì)模型輸入幅值為1 的階躍信號(hào)采樣時(shí)間設(shè)為1s，仿真時(shí)間為35s，得到35 組輸入輸出數(shù)據(jù)。在輸出數(shù)據(jù)上加入均值為0、方差為0.1 的白噪聲作為干擾信號(hào)。
（3）采用最小二乘法辨識(shí)結(jié)果如式（14）所示，辨識(shí)曲線如圖2 所示，辨識(shí)準(zhǔn)則函數(shù)值J 為8.509 6。
（4）利用粒子群優(yōu)化算法辨識(shí)。辨識(shí)參數(shù)集為X=［K1 K2 T1 T2］，粒子群規(guī)模為80，最大迭代次數(shù)為200 次，X中3個(gè)參數(shù)范圍均為［-2，2］，粒子最大速度Vmax設(shè)置為1.0，學(xué)習(xí)因子c1=1.3，c2=1.7，采用線性遞減的慣性權(quán)重，wmax=0.90，wmin=0.1。辨識(shí)結(jié)果如式（15）所示，辨識(shí)曲線如圖3所示，辨識(shí)準(zhǔn)則函數(shù)值J 為2.556 9。
Fig.3 Identification curve of particle swarm optimization algorithm圖3 粒子群優(yōu)化算法辨識(shí)曲線
對(duì)系統(tǒng)采用上述兩種方法進(jìn)行辨識(shí)，對(duì)辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行分析比較，可知粒子群優(yōu)化算法的辨識(shí)效果優(yōu)于最小二乘法，因此本文采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。
本文加載系統(tǒng)的控制回路為單回路形式，其系統(tǒng)框圖如圖4 所示。
Fig.4 Diagram of single loop control system圖4 單回路控制系統(tǒng)框圖
由圖4 可知，需要辨識(shí)的控制對(duì)象傳遞函數(shù)為Gp（s），在不考慮噪聲干擾情況下，Y（s）即為該控制對(duì)象的輸出信號(hào)，R（s）為整個(gè)控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)，U（s）為控制器的輸出信號(hào)，也是控制對(duì)象的輸入信號(hào)。本文不考慮控制器傳遞函數(shù)的辨識(shí)，只關(guān)心控制對(duì)象傳遞函數(shù)的辨識(shí)，即Gp（s）。因此，輸出信號(hào)和輸入信號(hào)分別為Y（s）和U（s）。
本次辨識(shí)采用的輸入信號(hào)為階躍信號(hào)，信號(hào)幅值大小為2V，采樣時(shí)間為1ms，采樣次數(shù)5 000 次。采樣結(jié)束后，將從現(xiàn)場(chǎng)采集到的數(shù)據(jù)保存。將保存的輸出數(shù)據(jù)利用粒子群算法進(jìn)行辨識(shí)，通過(guò)機(jī)理分析法得到控制對(duì)象的基本數(shù)學(xué)模型，得到待辨識(shí)的參數(shù)個(gè)數(shù)為3 個(gè)，因此取粒子維數(shù)為3。粒子群數(shù)量設(shè)置為80，最大迭代次數(shù)G=200，參數(shù)搜索范圍為［0，50］，粒子速度范圍為［-1，1］，學(xué)習(xí)因子c1=1.3、c2=1.7，采樣線性衰減0.1≤w≤0.9，準(zhǔn)則度函數(shù)為二次模。利用采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)后結(jié)果如下：
1.3 辨識(shí)結(jié)果分析
為保證辨識(shí)后系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的精確度，對(duì)粒子群優(yōu)化算法的辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。將粒子群算法辨識(shí)模型的開(kāi)環(huán)輸出值與系統(tǒng)的實(shí)際輸出值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖5 所示。
Fig.5 Validation results of identification model圖5 辨識(shí)模型驗(yàn)證結(jié)果
由圖5 可知，兩個(gè)輸出值的波形基本吻合，因此可將粒子群優(yōu)化算法的辨識(shí)結(jié)果作為被控對(duì)象的實(shí)際模型進(jìn)行后續(xù)控制算法研究。
在MATLAB 中繪制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)伯德圖，如圖6 所示，由圖6 可知系統(tǒng)的增益裕度和相位裕度均大于0，系統(tǒng)穩(wěn)定。
Fig.6 Open loop Bode diagram of the system圖6 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)伯德圖
2 全局快速終端滑模控制器設(shè)計(jì)
2.1 控制器設(shè)計(jì)
將磁粉制動(dòng)器的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化成狀態(tài)空間方程：
2.2 滑模運(yùn)動(dòng)時(shí)間分析
對(duì)式（28）兩邊取對(duì)數(shù)，即可求得系統(tǒng)到達(dá)平衡狀態(tài)的有限時(shí)間為：
因此，通過(guò)設(shè)定α、β和q可使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡狀態(tài)。
2.3 穩(wěn)定性分析
3 基于擾動(dòng)觀測(cè)器的磁粉制動(dòng)器全局快速終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
3.1 擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)
擾動(dòng)觀測(cè)器利用已知名義模型信息，觀測(cè)實(shí)際對(duì)象與名義模型的輸出差異，即等效干擾，然后將等效補(bǔ)償引入到控制器一側(cè)，實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)完全抑制，其標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)如圖7 所示。
Fig.7 Basic structure of disturbance observer圖7 擾動(dòng)觀測(cè)器基本結(jié)構(gòu)
圖7 中，Gp（s）為被控對(duì)象模型，u為參考控制輸入，e為實(shí)際控制輸入，d為外部干擾，y為系統(tǒng)輸出，n為測(cè)量噪聲，為觀測(cè)出的等效干擾。由圖7 可得等效干擾值為：
式（33）說(shuō)明，如果觀測(cè)器可在實(shí)際物理系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)，則利用上述方法就可實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)的準(zhǔn)確觀測(cè)。但實(shí)際構(gòu)造觀測(cè)器時(shí)存在以下問(wèn)題：①被控對(duì)象的傳遞函數(shù)階次通常不為零，因此其在物理上無(wú)法實(shí)現(xiàn)；②被控對(duì)象的精確傳遞函數(shù)無(wú)法獲取；③在實(shí)際測(cè)量時(shí)難免存在測(cè)量噪聲，會(huì)導(dǎo)致測(cè)量精度下降。為解決這些問(wèn)題，在等效干擾后引入低通濾波器Q（s），用名義模型的逆系統(tǒng)代替（s），得到擾動(dòng)觀測(cè)器等效框圖如圖8 所示。
Fig.8 Equivalent block diagram of disturbance observer圖8 擾動(dòng)觀測(cè)器等效框圖
由式（35）可知，濾波器Q（s）對(duì)y（s）的影響非常大，Q（s）帶寬的設(shè)計(jì)與擾動(dòng)觀測(cè)器的魯棒性和干擾抑制能力密切相關(guān)，Q（s）的設(shè)計(jì)與系統(tǒng)輸出y（s）的關(guān)系為：
在低頻段，Q（s）=1，擾動(dòng)觀測(cè)器可以實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾的完全抑制。在高頻段，Q（s）=0，擾動(dòng)觀測(cè)器可以完全克服高頻測(cè)量噪聲的影響，但對(duì)于模型參數(shù)的攝動(dòng)及外部干擾完全沒(méi)有抑制作用。因此，本文采用低通濾波器來(lái)設(shè)計(jì)Q（s）。
3.2 低通濾波器Q（s）設(shè)計(jì)
目前較為流行的低通濾波器設(shè)計(jì)方法由Lee［20］提出，其表達(dá)形式為：
式（38）中：N為分母的階次，M為分子的階次，N-M為相對(duì)階次，τ為時(shí)間常數(shù)。
在全局快速終端滑?；A(chǔ)上引入擾動(dòng)觀測(cè)器后，系統(tǒng)控制框圖如圖9 所示。
Fig.9 System control frame with disturbance observer圖9 帶擾動(dòng)觀測(cè)器的系統(tǒng)控制框圖
3.3 抗擾動(dòng)仿真分析
在MATLAB/simulink 平臺(tái)進(jìn)行抗擾動(dòng)能力仿真，外界干擾信號(hào)和指令信號(hào)分別為d（t），y（dt）：
擾動(dòng)觀測(cè)器中Q（s）低通濾波器參數(shù)設(shè)置為：N=3，M=1，k=0.1，τ=0.001；滑?？刂撇糠謪?shù)取c=10，ε=0.5，k=10。加入擾動(dòng)觀測(cè)器和未加入擾動(dòng)觀測(cè)器的全局快速終端滑?？刂品抡娼Y(jié)果如圖10、圖11 所示。
Fig.10 Control effect after adding disturbance observer圖10 加入擾動(dòng)觀測(cè)器后的控制效果
Fig.11 Control effect without disturbance observer圖11 未加入擾動(dòng)觀測(cè)器的控制效果
4 仿真分析
利用MATLAB/Simulink 平臺(tái)建立磁粉制動(dòng)器扭矩加載系統(tǒng)控制仿真模型，采用常規(guī)PID 控制、指數(shù)趨近律的滑?？刂?、加入擾動(dòng)觀測(cè)器的全局快速終端滑?？刂? 種方法，對(duì)周期為6s、幅值為1NM 的正弦信號(hào)進(jìn)行跟蹤，驗(yàn)證本文提出策略的正確性和可行性。
ε=0.5，k=10；基于擾動(dòng)觀測(cè)器的全局快速終端滑模控制（GFTSMC+DOB）系統(tǒng)初始狀態(tài)為x=［0，0］，α=2，β=1，n=1，m=3，q=5，p=9，γ=10，φ=10，Q（s）低通濾波器的參數(shù)設(shè)置：N=3，M=1，k=0.1，τ=0.001。3 種控制方法的仿真結(jié)果如圖12 所示。
Fig.12 Sinusoidal tracking effect of three methods without interference圖12 無(wú)干擾下3 種方法正弦跟蹤效果
在系統(tǒng)模型中加入干擾信號(hào)，干擾信號(hào)為1.5sin（2πt），輸入信號(hào)與各控制器的參數(shù)如上所述。加入干擾信號(hào)后的仿真結(jié)果如圖13 所示。
由圖12 和圖13 可知，在無(wú)干擾情況下，GFTSMC+DOB和RLSMC 控制比PID 控制的跟蹤效果好，GFTSMC+DOB 的跟蹤效果最優(yōu)。在有干擾情況下，GFTSMC+DOB 控制方法效果最優(yōu)；相比于其他兩種控制方法，RLSMC 控制方法對(duì)系統(tǒng)的控制性能影響較?。欢Ｒ?guī)PID 對(duì)系統(tǒng)的控制性能影響較大，證明GFTSMC+DOB 控制方法具有較強(qiáng)的抑制干擾能力。
5 結(jié)語(yǔ)
本文針對(duì)磁粉制動(dòng)器的非線性和滯后性對(duì)加載系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)和加載精度的影響，設(shè)計(jì)了一種基于擾動(dòng)觀測(cè)器的磁粉制動(dòng)器全局快速終端滑?？刂破鳌Ｍㄟ^(guò)電磁學(xué)原理推導(dǎo)出系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)模型，并分析比較了最小二乘法與粒子群優(yōu)化算法對(duì)系統(tǒng)辨識(shí)的優(yōu)缺點(diǎn)。采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)，得到系統(tǒng)近似的數(shù)學(xué)模型。對(duì)擾動(dòng)觀測(cè)器進(jìn)行設(shè)計(jì)，并在MATLAB/Simulink 平臺(tái)上進(jìn)行抗擾動(dòng)能力仿真，完成本文控制算法與PID 控制算法、趨近律滑?？刂扑惴▽?duì)正弦信號(hào)進(jìn)行有干擾信號(hào)和無(wú)干擾信號(hào)的仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的控制算法對(duì)系統(tǒng)的不確定性和外部擾動(dòng)具有較好的魯棒性，在無(wú)干擾情況下，GFTSMC+DOB 的跟蹤效果最優(yōu)，在有干擾情況下，GFTSMC+DOB 控制方法效果最優(yōu)。后續(xù)將對(duì)本文提出的控制方法在平臺(tái)中進(jìn)行驗(yàn)證。
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