朱 海

（重慶工商大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400067）

1 背景與意義

近年來，有很多國內外學者都研究了區(qū)間估計與假設檢驗的關系.學者吳純[1]通過證明提到：“一般情況下，利用假設檢驗可以建立區(qū)間估計，反之亦然”、“假設檢驗和區(qū)間估計的結果在解釋上可以有差別”等結論，告誡大家統(tǒng)計學上的結論一定要注意其實質，不能只停留在問題表面；學者王建華[2]通過論證，糾正了“區(qū)間估計和假設檢驗是統(tǒng)一的，是一個問題的兩個方面”這個似是而非的說法，說明了區(qū)間估計和假設檢驗既有聯(lián)系，又有區(qū)別；也有學者通過“順推法”和“反推法”[3]進行區(qū)間估計和假設檢驗關系的研究，最終確定了兩者的區(qū)別和聯(lián)系.現(xiàn)在，區(qū)間估計和假設檢驗的應用極為廣泛，去年國外一篇論文發(fā)表出來，論文題目為：In‐fluence of multiple hypothesis testing on reproducibility in neuroimaging research: A simulation study and Python-based software[4],講的是神經(jīng)影像研究中多重假設檢驗對再現(xiàn)性的影響，整篇文章圍繞假設檢驗進行了一系列模擬分析，這從側面說明了假設檢驗應用范圍之大.

本文對區(qū)間估計和假設檢驗的關系探究源自教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程第二版》（茆詩松，高等教育出版社，2011 年）中數(shù)理統(tǒng)計部分，該書在介紹參數(shù)估計和假設檢驗時，很多知識點覆蓋面很廣，但都只是單一的指出基本概念，至于其中多種統(tǒng)計推斷方法是否有聯(lián)系并未做過多介紹，比如在談及區(qū)間估計和假設檢驗的關系之時，所用篇幅較少，只是談及了區(qū)間估計時的樞軸量和假設檢驗時的檢驗統(tǒng)計量相同并非偶然，當然，樞軸量和檢驗統(tǒng)計量的相同的確很大程度的說明了區(qū)間估計和假設檢驗的關系匪淺.但是，區(qū)間估計和假設檢驗關系僅僅如此嗎？區(qū)間估計中的置信水平和假設檢驗中的顯著性水平有聯(lián)系嗎？區(qū)間估計和假設檢驗方法選擇有啥參照嗎？本文在此基礎上，大篇幅地探究了兩者的關系，包括區(qū)間估計和假設檢驗的基本概念、應用方面、優(yōu)劣方面、聯(lián)系及不同以及相關問題的深度剖析，都進行了總結和討論，并通過一些例子對一些問題進行舉例論證，并查閱了一些相關書籍和文獻，整理結論并討論，使得大家對這兩種統(tǒng)計推斷方法更加熟悉和深層次了解，一定程度上，能夠幫助讀者在處理相關問題時避免一些錯誤.

2 區(qū)間估計和假設檢驗的基本論述

2.1 區(qū)間估計概念

區(qū)間估計，顧名思義，是包含一個區(qū)間的估計，這個區(qū)間是用來度量一個點估計的精度.參數(shù)的點估計經(jīng)計算得到了一個具體的數(shù)值，這樣一個具體的數(shù)值方便計算和使用.但計算出來的點估計精度如何，點估計本身并不能說明，需要依靠對應的分布去反映，現(xiàn)實中，我們通常用一個區(qū)間去覆蓋已知的點估計，也可以說求得點估計的取值范圍，它應該是一個區(qū)間，下面給出具體定義[5]：

設θ是總體的一個參數(shù)，x1,x2,…,xn是樣本，求得統(tǒng)計量θL(x1,x2,…,xn)，θU(x1,x2,…,xn)，使得θL<θU，得到樣本觀測值之后，便把θ估計在區(qū)間[θL,θU]內 . 由于樣本具有隨機性，區(qū)間 [θL,θU]覆蓋參數(shù)θ的可能性并不確定，這里通常需要我們人為給定一個概率，誠然，我們肯定想?yún)^(qū)間覆蓋θ的概率P越大越好，但是這必然會導致區(qū)間長度增大，這里把區(qū)間[θL,θU]覆蓋住θ的概率給定為 1 ?α，則有Pθ( )θL≤θ≤θU≥ 1 ?α，則 稱隨機區(qū)間[θL,θU]為θ的置信水平為 1 ?α的置信區(qū)間，θL和θU分別稱為θ的（雙側）置信下限和置信上限.

2.2 置信區(qū)間計算方法

通常，要計算置信區(qū)間，一個最常用的方法就是樞軸量法[5].對于這種方法，尋找置信區(qū)間最關鍵的步驟就是要找準未知參數(shù)所對應的合適的樞軸量，這里記G為樞軸量，構造一個樣本和未知參數(shù)θ的函數(shù)G(x1,…,xn,θ)使得G的分布不依賴于未知參數(shù)θ.另外樞軸量的尋找一般從θ的點估計入手.

區(qū)間估計適用范圍:在參數(shù)的點估計不易計算，或者探究點估計精度如何時，區(qū)間估計往往能起到至關重要的作用，它能夠指定概率（即置信水平）求得相應比較精確的區(qū)間進行估計，這些都是點估計無法做到的.例如眾多分布中最常用的雙參數(shù)正態(tài)分布，記正態(tài)總體為N(μ,σ2)，在一個參數(shù)已知，另一個參數(shù)未知時，都可以求得未知參數(shù)對應的置信區(qū)間，得到對應的區(qū)間估計.

2.3 假設檢驗概念

所謂假設檢驗，顧名思義，就是一個檢驗假設是否成立的過程，又稱統(tǒng)計假設檢驗.它是用來判斷樣本與樣本之間、樣本與總體之間的差異到底是由抽樣誤差引起，還是由樣本之間本質差異造成的一種統(tǒng)計推斷方法.假設檢驗有很多方法，顯著性檢驗作為一種最常用的假設檢驗方法，其基本原理是先根據(jù)一些非樣本信息對總體某個參數(shù)做出某種假設，然后通過對抽樣信息的統(tǒng)計推理，對這個假設是否應該被拒絕做出判斷.一些常用的假設檢驗方法有Z檢驗、T檢驗、卡方檢驗、F檢驗等.一個很經(jīng)典的假設檢驗問題，例如女士品茶試驗[5]，女士每次猜對的概率為0.5，10 次都猜中概率為 2?10，很小的概率，幾乎不可能發(fā)生的事件，竟然發(fā)生了，這樣一個小概率原理，偉大的費希爾對這一試驗諸多細節(jié)進行研究，最終形成了假設檢驗理論.

2.4 假設檢驗的基本步驟

ⅰ.建立假設：根據(jù)要求對參數(shù)設置原假設H0和備擇假設H1.如一對假設為

原假設有簡單原假設和復雜原假設，相應的備擇假設也有簡單備擇假設和復雜備擇假設之分，其界限是考慮到假設里面θ0和θ1所包含的點的個數(shù).因而整個假設又有雙側假設和單側假設之分.

ⅱ.選擇檢驗統(tǒng)計量，給出拒絕域形式：記W為檢驗的拒絕域，而Wˉ為檢驗的接受域.

ⅲ.選擇顯著性水平：一個是α，稱犯第一類錯誤（也稱棄真錯誤）的概率；另一個是β，稱犯第二類錯誤（也稱納偽錯誤）的概率.

ⅳ.確定拒絕域：根據(jù)假設單側或雙側檢驗，給出相應的拒絕域.

ⅴ.進行判斷：通過樣本觀測值，觀察相應參數(shù)值是否落在給出的拒絕域內.

2.5 假設檢驗 p 值與 α 的關系

（1）檢驗的p值：一個假設檢驗問題中，利用樣本觀測值能夠作出拒絕原假設H0的最小顯著性水平.每一個假設檢驗問題都對應一個確定的p值.

（2）檢驗的p值與人們心目中的顯著性水平α進行比較可以對假設檢驗做出判斷：

ⅰ.若α≥p，則拒絕原假設.

ⅱ.若α

3 理論論證

3.1 區(qū)間估計和假設檢驗的統(tǒng)計學意義

區(qū)間估計主要是根據(jù)一個樣本的觀測數(shù)據(jù)得到參數(shù)的估計范圍，在這個范圍內，參數(shù)落在區(qū)間中的概率已知（一般人為給出），不僅能夠很直觀的檢驗對未知參數(shù)所做的點估計的準確性，也可以在大樣本的情況下對參數(shù)進行估計，所得到的估計值應落于所得到的區(qū)間內；而假設檢驗首先則主要是對總體參數(shù)做出一個假設，然后利用樣本信息和相關檢驗統(tǒng)計量的分布特征去檢驗這個假設，最終做出是否接受原假設的結論.如此看來，區(qū)間估計和假設檢驗在主要功能方面還是有交叉之處，都可以對參數(shù)的準確性進行判定.但要說明的是，假設檢驗是統(tǒng)計推斷中的一項重要內容，它是根據(jù)原有資料作出一個對總體指標的限定,某一隨機變量是否服從某種概率分布的假設,然后利用樣本數(shù)據(jù)，采用合理的統(tǒng)計方法，計算出相關假設的檢驗統(tǒng)計量,然后依據(jù)小概率事件原理,以較小的風險度去判斷估計值與總體值是否存在顯著差異,是否應當接受原假設的一種檢驗方法.但是，在面對樣本指標和總體指標時，一味地用樣本指標去估計總體指標,其結果并非完全可靠,換句話說，對于諸多假設檢驗問題，不同問題具有不同程度上的可靠性,需要我們進一步對檢驗結果去加以檢驗和論證.通過對問題的檢驗,對樣本指標與總體指標之間是否存在差異作出正確的判斷，是否應該接受原假設.當然，這里也必須明確,進行假設檢驗的目的不是驗證樣本指標本身是否出錯,而是為了分析樣本指標與總體指標之間是否存在顯著差異.從這個實際意義出發(fā),假設檢驗又稱為顯著性檢驗，這在統(tǒng)計學意義上與區(qū)間估計有所不同.區(qū)間估計重在估計，是參數(shù)估計的一項重要內容，它為總體參數(shù)服務，但凡數(shù)理統(tǒng)計書中，首先總是會引入統(tǒng)計量的概念，讓學者們第一時間弄懂統(tǒng)計量的相關知識，其目的在于對一些深層次問題進行統(tǒng)計推斷，而在實際生活中，我們往往會向眾多分布中的未知參數(shù)靠近，這樣一來，區(qū)間估計出現(xiàn)也不足為奇了.

3.2 區(qū)間估計和假設檢驗應用

區(qū)間估計不僅是統(tǒng)計推斷中的重要內容，也可以應用于抽樣推斷.根據(jù)區(qū)間估計和假設檢驗的定義以及步驟來看，對于這兩種統(tǒng)計推斷方法，在應用領域方向，不僅僅是書本上的理論推理，現(xiàn)實中也可以運用于科學研究、醫(yī)療衛(wèi)生、金融投資等各個方面.但是若真要比較兩種方法的用途誰廣泛，還真得分類討論.對于區(qū)間估計來說，它是一個非常依賴樣本信息的一種推斷方法，樣本信息包含越全面、越準確，得到的置信區(qū)間也就越精確，這樣一來，便對研究者提出了要求，如果樣本信息量足夠說明真實情況，此時使用區(qū)間估計便沒什么問題.對于假設檢驗而言，首先在人們拿到一個假設檢驗時，必須根據(jù)需要設置一對假設，原假設H0和備擇假設H1，然后根據(jù)得到的數(shù)據(jù)信息，對假設進行判斷.然而，假設檢驗人為的確定的假設必須要避免偏差，否則會對結果產(chǎn)生巨大影響，甚至可能導致判斷偏差.假設檢驗一般而言是研究者偏向于拒絕域進行統(tǒng)計推斷方法，由于原假設與樣本信息無多大關系，故而假設檢驗對樣本信息的敏感度沒有區(qū)間估計那般強烈.綜上，區(qū)間估計和假設檢驗的應用各有側重，當研究者所研究的問題需要確切的樣本信息時，這時候選擇區(qū)間估計較好；當研究者所研究的問題需要較多非樣本信息（如前人經(jīng)驗、無法看做樣本信息的信息）時，建議選用假設檢驗.

3.3 區(qū)間估計和假設檢驗的區(qū)別

（1）區(qū)間估計屬于參數(shù)估計的一種，參數(shù)估計是以樣本數(shù)據(jù)為基礎，進而去準確的估計總體參數(shù)的確定值；然而假設檢驗則是以樣本數(shù)據(jù)的相關信息去檢驗總體參數(shù)原始假設是否成立.

（2）區(qū)間估計事先需要給定一定概率（也稱置信水平），區(qū)間估計要求概率越大越好，得到的估計區(qū)間會更加精確；而假設檢驗是在小概率原理上立足的，最終所求的概率p值越小越顯著.

（3）區(qū)間估計最終得到的是雙側置信區(qū)間；而假設檢驗會根據(jù)題意確定雙側檢驗或者單側檢驗.

3.4 區(qū)間估計和假設檢驗的聯(lián)系

通過下文區(qū)間估計和假設檢驗應用舉例可以看出，區(qū)間估計所使用的樞軸量與假設檢驗所使用的檢驗統(tǒng)計量是一樣的.這是為什么呢？現(xiàn)從假設檢驗的右側、左側、雙側分三種情況進行討論（假設σ已知，樣本為x1,x2,...,xn來自正態(tài)總體N(μ,σ2)：

3.4.1 右側檢驗

3.4.2 左側檢驗

3.4.3 雙側檢驗

綜上所述，正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間與假設檢驗問題的檢驗存在非常密切的聯(lián)系，樞軸量與檢驗統(tǒng)計量的相同不是偶然，而是這兩種統(tǒng)計推斷方法中存在一一對應關系，兩種問題可以相互轉化，假設檢驗問題能夠成為區(qū)間估計問題，區(qū)間估計也能夠成為假設檢驗問題.

3.5 區(qū)間估計和假設檢驗的誤區(qū)

3.5.1 置信區(qū)間誤區(qū)

以下文例1 為例，有些熟悉區(qū)間估計定義的人可能會說：“題中得到的95% 置信區(qū)間為[12.282,12.518]，它是以0.95 的概率覆蓋總體均值（即題目中的平均長度）”，其實，仔細琢磨，這種說法欠妥.為什么呢？因為在這里，如果換成是在大量樣本中得到的置信區(qū)間，只能說大約95%會覆蓋總體均值，題目中只是由一個樣本得到的置信區(qū)間，到底包含或者不包含總體均值，沒有概率可言.我們都知道，總體均值其實是一個固定的數(shù)值，而求得的置信區(qū)間也是一對固定的數(shù)值，這里不存在隨機變量，故而不可能存在覆蓋的概率，最初的隨機區(qū)間一旦實現(xiàn)，就變成了兩個固定數(shù)字，便失去了隨機性，進而也無法談及概率.

3.5.2 假設檢驗誤區(qū)

（1）大家都知道，做假設檢驗的目的是從假設中找到需要的答案，所以說拒絕原假設的顯著性水平α的選擇很重要[6].拋開書本理論，選擇α時必須與實際問題相結合，具體問題具體分析，課程當中的例子過于理想化，很多影響問題的敏感因素都未曾給出，但是在實際生活中往往缺乏可信度.比如警察在通過DNA 或者指紋去判斷作案兇手、血緣關系時，對于這種非常敏感的問題，α取值稍微過大，都會使得到的結果可信度大打折扣，此時α應該是一個非常小的數(shù).相反，如果實際要求α不宜過小，α就應該取相對大，否則，一些大的影響因素可能就會錯過.總之，α的大小選擇并不能簡單的全默認看成是0.01、0.05、0.1，應該靈活處理.

（2）通常我們在面對假設檢驗結果的時候，認為落入了拒絕域，則表示拒絕原假設，這個判斷沒有錯誤；但是反之，當我們不能拒絕原假設的時候，很多人就會很自然的認為應該接受原假設，這便是不夠嚴謹了.舉一個例子如下：判斷一個罪犯是小偷，設置原假設為H0：不是小偷，備擇假設H1：是小偷.當在小偷身上或家里發(fā)現(xiàn)別人的東西，在幾乎不太可能( )p→0有一模一樣的東西的前提下，這時候就拒絕原假設：不是小偷，認為他是小偷.當在小偷身上或家里沒有發(fā)現(xiàn)別人的東西，就說明沒有證據(jù)說明拒絕原假設：不是小偷，但是這不能說明小偷從未偷過東西，只是證據(jù)不足而已.因此，證據(jù)不足接受原假設和實際上就接受原假設是有差別的.

4 例題論證：區(qū)間估計和假設檢驗關系舉例

例：某公司規(guī)定一批零件直徑為10cm時為合格，現(xiàn)在隨機抽取50 個零件作為樣本進行檢測，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)顯示，得到樣本均值xˉ= 10.2，已知標準差為0.4，假設取α= 0.05，檢驗這批零件是否合格.

（1）區(qū)間估計法

（2）假設檢驗法

根據(jù)題意設置假設 ：H0:μ0= 10vsH1:μ0≠ 10 ，

綜上可知，在同樣的顯著性水平下，區(qū)間估計和假設檢驗的結果一樣，說明這兩種方法可以相通.

5 顯著性水平的進一步討論

5.1 顯著性水平概念

5.1.1 區(qū)間估計中

顯著性水平是估計總體未知參數(shù)落在某一區(qū)間內的一個概率，也表示為可能犯錯誤的概率，一般用α表示，但是，通常以置信水平(1 ?α)為蓋住區(qū)間的概率而被我們事先給定.

5.1.2 假設檢驗中

根據(jù)人們做判斷時誤判的錯誤類型，將犯第一類錯誤概率（即棄真錯誤）叫做顯著性水平，用α表示 .

5.2 兩者關系

相同問題條件下，區(qū)間估計中1 ?α置信區(qū)間問題與顯著性水平為α的假設檢驗問題一一對應，且判斷結果相同.

5.3 兩類錯誤的關系及深度探究

假設檢驗過程中，在選擇顯著性水平時，引入了兩類錯誤：第一類錯誤（棄真錯誤），用α表示，第二類錯誤（納偽錯誤），用β表示.任何一個假設檢驗問題，我們不可能找到一個檢驗同時使這兩類錯誤都盡可能小，只能選擇其中一種錯誤，讓它盡可能小.書中引入功效函數(shù)[7]進行說明兩類錯誤的關系，結果是α與β中一個減小必然導致另一個增大，但是α+β并不一定等于1，且這個結論具有一般性.那么為什么要選擇α作為顯著性水平，而不是β呢？原因有以下幾點：

（1）從心理學角度來看，第一類錯誤為棄真錯誤，認為本來原假設是真的，卻被拒絕，這會讓人懊悔不已；第二類錯誤為納偽錯誤，認為原假設不是真的，卻被接受，這種錯誤即使發(fā)生了，頂多就說判斷錯誤，或者說找“學藝不精”的理由，相對來說，犯第一類錯誤更不能讓人接受；從現(xiàn)實危害角度來看，犯第一類錯誤可能會產(chǎn)生巨大影響，它的不良后果會更加大于犯第二類錯誤，比如所有人都犯了第一類錯誤，后面人可能一直無法找到真的；相反，犯第二類錯誤之后，如果重新設計實驗便可能快速發(fā)現(xiàn)問題所在.

（2）一般而言，第二類錯誤概率對具體參數(shù)要求頗高，相比較于α來說，β在不少場合不容易求出，產(chǎn)生β的原因多與實驗設計、樣本數(shù)據(jù)、處理效應等因素有關，α更容易被計算出.

此處對顯著性水平的進一步分析并非偶然，而是通過對顯著性水平的了解，我們能夠對區(qū)間估計和假設檢驗的關系更加明確，雖說兩處定義不一樣，但是只有在α一定的情況下，研究區(qū)間估計和假設檢驗才有價值；再者顯著性水平的選擇存在很多誤區(qū)，能夠很好的了解它，就能更好的學習假設檢驗.

6 結論和建議

從上述分析有如下結論：區(qū)間估計和假設檢驗可以應用于金融、醫(yī)藥、農(nóng)業(yè)等各個領域；區(qū)間估計問題和假設檢驗問題可以相互轉化；選擇區(qū)間估計和假設檢驗方法時應該觀察問題本身是否與樣本信息相關聯(lián)；顯著性水平在兩種統(tǒng)計推斷方法起重要樞紐作用等.通過討論，可以看出這兩種統(tǒng)計推斷方法在理論和實際中的應用都非常復雜，日常生活中，有些人對兩種方法認識不夠，存在個別誤區(qū)；在解決一個實際問題時，并未首先關注問題的實質，以致于容易犯錯.在處理任何一個問題時，均需要對兩種方法足夠熟悉，才能更好地避免犯錯.統(tǒng)計學作為一門學科，但并非是一門獨立的學科，它依賴于很多數(shù)學、計算機等專業(yè)知識；要想做好統(tǒng)計研究，必須具備豐富的專業(yè)知識以及較強的邏輯分析能力，不能一貫地參考經(jīng)驗，也不能一味地關注樣本本身，要學會具體問題具體分析.通過本文的討論，我們能夠對區(qū)間估計和假設檢驗這兩種推斷方法更加熟悉和了解，能夠將這兩種方法應用于一些實際問題之中.