尤冰濤，趙紫寧，馮佳輝，付程成

（西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，成都611756）

0 引言

隨著我國軌道交通領(lǐng)域的飛速發(fā)展，高速列車自動駕駛技術(shù)作為軌道交通智能化的重要前沿技術(shù)已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用和關(guān)注[1]，而作為列車自動駕駛技術(shù)的重要組成部分，列車的速度跟蹤控制一直都是業(yè)內(nèi)的研究重點(diǎn)。比例積分微分（Proportion Integral Differential，PID）控制是目前應(yīng)用于高速列車速度跟蹤控制領(lǐng)域最常見的算法之一，它可以實(shí)現(xiàn)良好的速度跟蹤效果；文獻(xiàn)[2]在傳統(tǒng)PID控制器的基礎(chǔ)上引入了模糊控制算法，主要解決了PID控制器級位切換頻繁的問題；文獻(xiàn)[3]采用了LQR（Linear Quadratic Regulator）控制，實(shí)現(xiàn)了列車在平直道上的精確停車；文獻(xiàn)[4]引入了自適應(yīng)控制，較好地解決了模型參數(shù)不確定性所帶來的影響，提高了列車的追蹤精度；文獻(xiàn)[5]采用模型預(yù)測控制的分層結(jié)構(gòu)，結(jié)合二次型優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)列車速度跟蹤控制；文獻(xiàn)[6]引入了廣義預(yù)測控制算法，該算法具備良好的魯棒性，同樣實(shí)現(xiàn)了精確的停車效果；文獻(xiàn)[7]提出了基于擾動觀測器的自適應(yīng)終端滑?？刂仆＼囁惴?，避免控制輸入切換頻繁的前提下實(shí)現(xiàn)高精度的速度跟蹤效果。文獻(xiàn)[8]采用模型預(yù)測控制結(jié)構(gòu)結(jié)合二次規(guī)劃實(shí)現(xiàn)了貨運(yùn)列車控制中速度和車鉤力的優(yōu)化。

上述的控制方法大多已經(jīng)具備了良好的速度跟蹤性能，并重點(diǎn)關(guān)注了列車級位變化、停車精度、車鉤力等問題，但均未涉及列車牽引電機(jī)效率問題。當(dāng)高速列車處于低負(fù)載運(yùn)行工況時(shí)，列車牽引傳動系統(tǒng)的損耗占到牽引總能耗的50%以上[9]，其中牽引電機(jī)的損耗在牽引傳動系統(tǒng)的總損耗中占比最大[10]。這是由于現(xiàn)階段高速列車的牽引動力采用全車牽引電機(jī)平均分配的方式[11]，在部分低功率運(yùn)行區(qū)段，勢必會出現(xiàn)牽引電機(jī)負(fù)載率較小的情況，而牽引電機(jī)的損耗與牽引電機(jī)負(fù)載率相關(guān)，當(dāng)牽引電機(jī)的負(fù)載率小于50%時(shí)，電機(jī)的運(yùn)行效率和運(yùn)行功率因數(shù)將出現(xiàn)大幅度下降[12]，從而導(dǎo)致牽引電機(jī)損耗占比過大，列車運(yùn)行能耗上升。由于高速列車牽引電機(jī)存在“高負(fù)載高效率，低負(fù)載低效率”的特點(diǎn)，在既有高速列車牽引電機(jī)損耗特性無法改變的情況下，合理地進(jìn)行高速列車牽引電機(jī)的動力分配將對高速列車的效能提升產(chǎn)生重要影響。

綜上，本文旨在提出一種考慮牽引電機(jī)功率損耗的高速列車節(jié)能速度跟蹤控制算法，以實(shí)現(xiàn)高速列車精準(zhǔn)速度跟蹤控制和節(jié)能運(yùn)行。從合理分配牽引電機(jī)運(yùn)行個(gè)數(shù)以降低高速列車整車牽引電機(jī)運(yùn)行損耗的角度出發(fā)，基于模型預(yù)測控制框架，選用動態(tài)規(guī)劃算法進(jìn)行相關(guān)控制量的實(shí)時(shí)求解，在保證速度跟蹤精度的同時(shí)，減少高速列車牽引電機(jī)的整車損耗，有效提升整車運(yùn)行效能，降低列車運(yùn)行能耗。

1 列車模型建立

1.1 高速列車運(yùn)動學(xué)模型

高速列車在運(yùn)行過程中受到牽引/制動力F（v）、基本運(yùn)行阻力R（v）、線路附加阻力W（s）等力的影響，如圖1所示。

圖1 高速列車運(yùn)行過程受力分析圖

根據(jù)牛頓第二定律，高速列車的運(yùn)動學(xué)模型可以由式（1）表示。

式中M是列車質(zhì)量，v是列車速度，s是列車位置，t是運(yùn)行時(shí)間。F（v）表示列車的牽引力或制動力，由式（2）表示，其中，當(dāng)列車處于牽引工況時(shí)，F(xiàn)t（v）值為正，表示列車牽引力；當(dāng)列車處于電制動工況時(shí)，F(xiàn)t（v）值為負(fù)，表示列車電制動力；Fb（v）表示列車的空氣制動力。R（v）表示列車的基本運(yùn)行阻力，由式（3）表示，其中參數(shù)a、b、c為與車型與線路有關(guān)的三個(gè)固定參數(shù)。W（s）表示線路附加阻力，由式（4）表示，其中g(shù)為重力加速度，α為列車所處坡道的坡度值，d（r）表示列車所處位置的單位曲線附加阻力，e（l）表示列車所處位置的單位隧道附加阻力。

在列車的運(yùn)行過程中，列車的位置將滿足線路起終點(diǎn)約束，如式（5）所示，列車的速度將滿足線路的限速約束以及在始末位置的初始狀態(tài)約束，如式（6）和式（7）所示。

其中s0和sf分別表示運(yùn)行線路的起點(diǎn)位置和終點(diǎn)位置，vlim（s）表示隨線路位置變化的線路限速。

此外，列車的牽引制動力需滿足需要滿足列車牽引制動特性的約束，如式（8）和式（9）所示。

其中，F(xiàn)t-min（v）表示列車在速度v下的最大電制動力，F(xiàn)t-max（v）表示在速度v下的最大牽引力，F(xiàn)b-max（v）表示在速度v下的最大空氣制動力。

高速列車的運(yùn)行能耗由輪周牽引力做功和牽引傳動系統(tǒng)損耗組成，其中本文對牽引傳動系統(tǒng)的損耗只考慮了牽引電機(jī)的損耗，不將牽引逆變器至牽引網(wǎng)側(cè)傳動系統(tǒng)的損耗納入計(jì)算計(jì)算。因此高速列車運(yùn)行能耗E可由式（10）計(jì)算得出，其中Pt表示高速列車的輪周功率，由式（11）所示，Ploss-total表示整車牽引電機(jī)損耗功率。

1.2 牽引電機(jī)損耗模型

高速列車整車牽引電機(jī)的損耗Ploss-total由多個(gè)牽引電機(jī)的單耗組成，計(jì)算公式如式（12）所示，其中Nm表示牽引電機(jī)個(gè)數(shù)，Pl_motor表示單個(gè)牽引電機(jī)損耗。而單個(gè)牽引電機(jī)的損耗主要由銅耗、鐵耗、機(jī)械損耗構(gòu)成，由式（13）所示，式中，Pcu表示銅耗，Pir表示鐵耗，Pme表示機(jī)械損耗。

牽引電機(jī)的銅耗主要由電機(jī)的電流決定。當(dāng)牽引電機(jī)轉(zhuǎn)速低于其額定轉(zhuǎn)速時(shí)，可以認(rèn)為牽引電機(jī)的電流和輸出轉(zhuǎn)矩之間成正比；而當(dāng)牽引電機(jī)轉(zhuǎn)速高于其額定轉(zhuǎn)速時(shí)，可以認(rèn)為牽引電機(jī)的電流與牽引電機(jī)輸出功率成正比[13]。在此基礎(chǔ)上，可以計(jì)算出牽引電機(jī)每個(gè)功率和轉(zhuǎn)速對應(yīng)下的瞬時(shí)銅耗為：

式中，Pcu-r是牽引電機(jī)的額定銅耗，Pmax是牽引電機(jī)的最大輸出功率，Pa是電機(jī)輸出功率，ωr是電機(jī)額定轉(zhuǎn)速，ωa是電機(jī)轉(zhuǎn)速。電機(jī)輸出功率與整車輪周功率的關(guān)系如式（15）所示，電機(jī)轉(zhuǎn)速和列車車速之間的關(guān)系如式（16）所示。

其中，ηg是齒輪箱的效率，rg是齒輪傳動比，d是車輪直徑。

鐵耗可以分為渦流損耗和磁滯損耗，主要由牽引電機(jī)的電壓決定。當(dāng)牽引電機(jī)轉(zhuǎn)速低于額定轉(zhuǎn)速時(shí)，渦流損耗與牽引電機(jī)轉(zhuǎn)速的平方成正比，而磁滯損耗與牽引電機(jī)轉(zhuǎn)速的成正比；當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速高于額定轉(zhuǎn)速時(shí)，渦流損耗是恒定的，而磁滯損耗與電機(jī)轉(zhuǎn)速的1.6次方成正比[14]。每個(gè)功率-轉(zhuǎn)速對的瞬時(shí)鐵耗可以計(jì)算為：

其中Ped-r是額定渦流損耗，Phy-r是額定磁滯損耗。

機(jī)械損耗可以認(rèn)為和牽引電機(jī)轉(zhuǎn)速的平方成正比[14]，可由式（18）計(jì)算得出，其中Pme-r是牽引電機(jī)額定轉(zhuǎn)速下的額定機(jī)械損耗。

根據(jù)公式（11）-（18）可得，當(dāng)高速列車牽引電機(jī)的運(yùn)行個(gè)數(shù)為定值時(shí)，列車牽引電機(jī)整體損耗僅與牽引力F（v）和列車速度v相關(guān)，而當(dāng)高速列車牽引電機(jī)運(yùn)行個(gè)數(shù)不為定值時(shí)，列車牽引電機(jī)整體損耗還將和牽引電機(jī)的運(yùn)行個(gè)數(shù)相關(guān)，其非線性關(guān)系可由式（19）所示，根據(jù)式（19）和式（10），則高速列車考慮牽引電機(jī)運(yùn)行個(gè)數(shù)時(shí)變的運(yùn)行能耗可由式（20）表示。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 MPC控制器框架

MPC控制框架采用了多步預(yù)測、滾動優(yōu)化、反饋矯正的控制策略[14]，是一種將全局的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為局部的最優(yōu)控制問題并通過滾動優(yōu)化實(shí)現(xiàn)全局優(yōu)化控制的方法。其原理是將對象的某一時(shí)刻的狀態(tài)進(jìn)行采樣，并把該狀態(tài)作為局部優(yōu)化的初始狀態(tài)，進(jìn)行預(yù)測步長為Np的相關(guān)優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)求解，并將優(yōu)化產(chǎn)生的控制序列的第一步應(yīng)用于被控對象，隨后又進(jìn)行新一輪的狀態(tài)采樣和滾動優(yōu)化，從而實(shí)現(xiàn)全局的優(yōu)化控制。本文基于MPC框架提出的速度跟蹤控制器的控制框圖如圖2所示。

圖2 基于MPC框架的速度跟蹤控制器控制框圖

該控制器的輸入端包含列車當(dāng)前位置s（k）、當(dāng)前速度v（k）、當(dāng)前牽引電機(jī)運(yùn)行個(gè)數(shù)Nm（k），以及預(yù)測步長內(nèi)的位置[s（k+1），s（k+2），…，s（k+Np）]和目標(biāo)速度[v*（k+1）,v*（k+2）,…,v*（k+Np）]，基于以上輸入，在預(yù)測模型以及目標(biāo)函數(shù)和相關(guān)變量約束下，采用動態(tài)規(guī)劃求解器進(jìn)行預(yù)測范圍Np內(nèi)的最優(yōu)求解，求解完成后輸出優(yōu)化控制序列的第一步，即當(dāng)前位置的牽引力F*（k）和牽引電機(jī)投切個(gè)數(shù)Fn*（k），將控制量施加于實(shí)際列車模型，得到實(shí)際列車的運(yùn)行狀態(tài)s（k+1）、實(shí)際速度v（k+1）、牽引電機(jī)運(yùn)行個(gè)數(shù)Nm（k+1）、運(yùn)行能耗E（k+1）等，并將運(yùn)行狀態(tài)s（k+1）、v（k+1）、Nm（k+1）反饋到控制器的輸入端，進(jìn)行列車的運(yùn)行狀態(tài)更新，得到下一次最優(yōu)求解的初始狀態(tài)量，從而實(shí)現(xiàn)列車全程的滾動優(yōu)化及速度跟蹤控制。

2.2 最優(yōu)求解算法

在圖2所示的控制框架下，最優(yōu)求解器是控制量輸出的關(guān)鍵，由于高速列車的速度跟蹤控制需要精確的控制效果，且其問題在求解時(shí)具有無后效性的特點(diǎn)，本文采用動態(tài)規(guī)劃算法作為MPC框架下節(jié)能速度跟蹤控制器的最優(yōu)求解算法。為了方便討論，本文對算法涉及的相關(guān)變量進(jìn)行如下定義：

（1）列車狀態(tài)：用列車所在位置、速度、牽引電機(jī)運(yùn)行個(gè)數(shù)表示，記為G（s，v，Nm）。

（2）狀態(tài)空間：所有的列車狀態(tài)組成的狀態(tài)空間。

（3）決策變量：列車在某一狀態(tài)時(shí)進(jìn)行的控制操作為決策變量，記為u（F，F(xiàn)n）。

（4）狀態(tài)轉(zhuǎn)移：列車由當(dāng)前狀態(tài)Ga經(jīng)過決策變量ua轉(zhuǎn)移到下一狀態(tài)Gb的過程為狀態(tài)轉(zhuǎn)移，記為Gb=f（Ga，ua）。

（5）狀態(tài)轉(zhuǎn)移路徑：列車從某一狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移的集合，記為H，如列車從狀態(tài)Ga轉(zhuǎn)移到下一狀態(tài)Gb，則記為H（Ga,Gb）。

（6）狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本：列車在狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中產(chǎn)生的成本為狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本，記為J，如Jab表示從Ga轉(zhuǎn)移到Gb的成本。在本文中，列車的速度跟蹤精度和列車運(yùn)行能耗是優(yōu)化目標(biāo)，因此狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本為J=λV+E，式中，V表示列車運(yùn)行速度與目標(biāo)速度誤差的平方值，如式（21）所示，E表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移產(chǎn)生的列車運(yùn)行能耗，E在前面的式（10）中已定義。

在動態(tài)規(guī)劃算法的應(yīng)用中，狀態(tài)空間以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本遞推函數(shù)的確定是解決問題的關(guān)鍵。在狀態(tài)空間的確定上，本文將預(yù)測范圍內(nèi)的列車運(yùn)行的起始位置和終點(diǎn)位置之間的里程以步長Δs進(jìn)行離散化，將每一個(gè)離散的位置s對應(yīng)的限速范圍內(nèi)的速度以步長Δv進(jìn)行離散化，將每一個(gè)離散（s,v）點(diǎn)的列車牽引電機(jī)運(yùn)行個(gè)數(shù)以步長Δn進(jìn)行離散化，從而得到預(yù)測范圍內(nèi)的三維列車狀態(tài)空間。在得到狀態(tài)空間之后，根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本公式可以計(jì)算出兩個(gè)相鄰狀態(tài)間發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移需要的成本。而在動態(tài)規(guī)劃算法下，高速列車考慮牽引電機(jī)功率損耗的高速列車節(jié)能速度跟蹤控制問題可以描述為使高速列車狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本最小化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移路徑和決策集合的搜索問題，可由式（22）描述。

其中，k=1表示列車的初始狀態(tài)，k=Np表示列車的最終狀態(tài)，預(yù)測步長Np即為狀態(tài)轉(zhuǎn)移的總次數(shù)。定義列車從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到m狀態(tài)的最小狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本為Jm，則根據(jù)目標(biāo)函數(shù)可以得到：

式中，m為初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到m狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移總次數(shù)。根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本的定義，從m狀態(tài)轉(zhuǎn)移到n狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本的計(jì)算為：

式中，Vmn和Emn分別為m狀態(tài)轉(zhuǎn)移到n狀態(tài)的速度誤差成本和能耗成本。則從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到n狀態(tài)的最小狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本為：

式中，J0為列車初始狀態(tài)下的最小狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本。通過式（25）即可求得從k=1狀態(tài)到k=Np狀態(tài)的最小狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本，并通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移路徑的記錄和狀態(tài)轉(zhuǎn)移的定義，從而得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移路徑對應(yīng)的最優(yōu)決策序列從而完成預(yù)測范圍內(nèi)的最優(yōu)求解。

3 仿真案例

為了驗(yàn)證本文所提控制算法的有效性，選取國內(nèi)某高速動車組和某段實(shí)際高鐵線路作為仿真數(shù)據(jù)來源，所選列車和線路的各項(xiàng)參數(shù)如表1所示，列車牽引特性、電制動特性、綜合制動特性的外包絡(luò)如圖3所示。MPC控制器的預(yù)測范圍Np取10，狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本函數(shù)權(quán)重λ取800，狀態(tài)空間位置的離散度Δs取10m，速度離散度Δv取0.025km/h，運(yùn)行電機(jī)個(gè)數(shù)的離散度Δn取1個(gè)。

表1 列車參數(shù)和線路參數(shù)

圖3 列車牽引制動特性外包絡(luò)曲線

仿真選用傳統(tǒng)PID控制器與本文提出的控制器在選定線路上進(jìn)行相關(guān)控制效果的對比，兩種控制器的控制結(jié)果如圖4、圖5和表2所示。其中速度曲線、速度跟蹤誤差、牽引制動力分別在圖4中的子圖（a）、（b）、（c）中展示，電機(jī)輪周功率、運(yùn)行電機(jī)個(gè)數(shù)、整車電機(jī)效率分別在圖5中的子圖（a）、（b）、（c）中展示。

圖4 速度、速度誤差、牽引/制動力控制結(jié)果圖

圖5 電機(jī)輪周功率、運(yùn)行電機(jī)數(shù)、整車電機(jī)效率控制結(jié)果圖

表2 仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

在速度跟蹤性能方面，由圖4所示，在列車的起車和停車階段，因?yàn)榘祟A(yù)測部分，MPC控制器對于目標(biāo)速度變化的情況有著更好的跟蹤效果，而傳統(tǒng)PID控制器則出現(xiàn)了不小的跟蹤誤差，在途中運(yùn)行階段MPC控制器和傳統(tǒng)PID控制器均出現(xiàn)了一定的跟蹤誤差，但是誤差均保持在1.5km/h以內(nèi)。統(tǒng)計(jì)可得，傳統(tǒng)PID控制器在該線路的速度跟蹤誤差的均方根誤差為0.55km/h，MPC控制器在該線路的速度跟蹤誤差的均方根誤差為0.24km/h，可知MPC控制器相對于傳統(tǒng)PID控制器有著更好的速度跟蹤性能。

在列車效能提升方面，由圖5所示，選擇兩段典型的區(qū)間進(jìn)行分析，其中黃色區(qū)域?yàn)檩p負(fù)載區(qū)，藍(lán)色部分為重負(fù)載區(qū)。可以看到，MPC控制器和傳統(tǒng)PID控制器發(fā)揮的輪周功率大致相同，二者總體趨勢均隨著列車運(yùn)行速度以及線路坡道大小變化。在重負(fù)載區(qū)，MPC控制器的工作電機(jī)數(shù)與傳統(tǒng)PID控制器的工作電機(jī)數(shù)大致相同，兩個(gè)控制器控制下的整車電機(jī)效率均大于0.9；而在輕負(fù)載區(qū)，由于牽引功率需求下降，MPC控制器的工作電機(jī)數(shù)明顯下降，整車電機(jī)效率仍保持相對較高的水平，而傳統(tǒng)PID控制器仍處于滿電機(jī)工作的狀態(tài)，整車電機(jī)效率相對較低。

統(tǒng)計(jì)可得，傳統(tǒng)PID控制器在該線路上全線運(yùn)行的列車牽引能耗為2171.436kwh，而MPC控制器在該線路上全線運(yùn)行的列車牽引能耗為2140.623kwh，可得MPC控制器對比傳統(tǒng)PID控制器在該線路可以達(dá)到1.42%的節(jié)能率。在重負(fù)載區(qū)，PID控制器運(yùn)行的累計(jì)能耗為1118.0302 kwh，MPC控制器的累計(jì)運(yùn)行能耗為1116.4446kwh，可得MPC控制器對比傳統(tǒng)PID控制器的節(jié)能率為0.14%，考慮兩種控制器下實(shí)車運(yùn)行速度并不完全相同情況，可以認(rèn)為兩者在該區(qū)段的具有一致的能耗控制效果；在輕負(fù)載區(qū)，傳統(tǒng)PID控制器運(yùn)行的累計(jì)能耗為132.6998 kwh，MPC控制器的累計(jì)運(yùn)行能耗為113.4888kwh，可得MPC控制器對比傳統(tǒng)PID控制器的節(jié)能率為14.47%。因此可知當(dāng)列車處于輕負(fù)載狀況下，使用考慮牽引電機(jī)投切的MPC控制器進(jìn)行速度跟蹤控制可以達(dá)到14%以上的節(jié)能率，節(jié)能優(yōu)勢明顯；而在重負(fù)載狀況下，考慮牽引電機(jī)投切的MPC控制器相比于PID控制器的節(jié)能效果較小，節(jié)能優(yōu)勢并不明顯，本文設(shè)計(jì)的節(jié)能速度跟蹤控制算法更適合用于列車處于輕負(fù)載的場景。

4 結(jié)語

本文以提升高速列車運(yùn)行效能為目標(biāo)，在保證速度跟蹤精度的同時(shí)，從降低高速列車牽引電機(jī)損耗角度出發(fā)提出了一種考慮牽引電機(jī)功率損耗的高速列車節(jié)能速度跟蹤控制算法，得到了以下結(jié)論：

（1）高速列車牽引電機(jī)損耗與牽引力和運(yùn)行速度之間的量化模型的建立，使列車運(yùn)行能耗更為精確化，為基于列車運(yùn)行能耗求解的相關(guān)問題提供模型支撐。

（2）采用模型預(yù)測控制框架設(shè)計(jì)節(jié)能速度跟蹤控制器，通過滾動優(yōu)化和預(yù)測控制保證了實(shí)現(xiàn)了良好的控制效果。

（3）采用牽引電機(jī)運(yùn)行個(gè)數(shù)實(shí)時(shí)投切控制取代列車牽引動力平均分配方式可有效提升系統(tǒng)效能，降低列車運(yùn)行能耗。

后續(xù)研究可以進(jìn)一步探討列車位置、速度、工作電機(jī)數(shù)不同程度的離散度對控制結(jié)果的影響，并考慮結(jié)合高速列車逆變器進(jìn)行投切控制，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)列車的高效節(jié)能運(yùn)行。