童文林，陳德旺，黃允滸，呂宜生

1.福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，福州350108

2.福州大學(xué) 智慧地鐵福建省高校重點實驗室，福州350108

3.中國科學(xué)院 自動化研究所 復(fù)雜系統(tǒng)管理與控制國家重點實驗室，北京100190

模糊理論自誕生之日起，就一直處在各派的激烈競爭中，經(jīng)歷了跌宕起伏的2次興起和3次衰落的發(fā)展歷程[1]，但其理論研究仍然不夠成熟[2-3]。它是一種可解釋性很強的人工智能方法。對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而言，即使是專家也難以解釋和理解參數(shù)的意義[4]。而模糊系統(tǒng)由一系列模糊IF-THEN規(guī)則構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)和參數(shù)可以用該規(guī)則來解釋，具備快速、靈活性強、易于理解的特點，但其缺點是自學(xué)習(xí)能力差，模型精度不高。

王立新與Mendel提出了經(jīng)典的模糊算法WM[5]。該算法從樣本數(shù)據(jù)中通過自學(xué)習(xí)構(gòu)建模糊系統(tǒng)，具有簡單實用的特點，并且在領(lǐng)域內(nèi)被廣泛地應(yīng)用。但WM方法中一條規(guī)則僅由一條數(shù)據(jù)產(chǎn)生，使得通過WM方法構(gòu)造的模糊系統(tǒng)缺乏良好的完備性以及魯棒性。因此，王立新對WM方法進行改進[6]，定義了沖突規(guī)則以及相鄰規(guī)則。通過多條數(shù)據(jù)選舉產(chǎn)生一條規(guī)則，對于完備規(guī)則庫中無法從數(shù)據(jù)中提取的規(guī)則，通過相鄰規(guī)則外推得到，改善了其完備性不足的問題。但WM方法主要關(guān)注于如何從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)模糊系統(tǒng)，對學(xué)習(xí)后的模糊系統(tǒng)關(guān)注不足，導(dǎo)致其魯棒性問題仍然沒有得到很好的解決。

針對這些問題，一些研究者提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法[7]、模糊聚類[8]、基于全局優(yōu)化的模糊系統(tǒng)[9]、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊系統(tǒng)和遺傳算法[10]三者相結(jié)合的方法以及許多改進的模糊算法以及模糊優(yōu)化算法，例如Garg等[11]、Wu等[12]以及Shi等[13]提出的優(yōu)化方法。上述算法在一些應(yīng)用中取得了較好的效果，但是對于模糊集合的劃分個數(shù)、隸屬度函數(shù)參數(shù)的選取缺乏有效的指導(dǎo)[14]，可解釋性仍然有待提高。

因此，如何在模糊建模過程中避免算法效率下降以及兼顧完備性、魯棒性的同時，提高模糊系統(tǒng)的可解釋性仍然是亟待解決的問題?；谝陨戏治?，本文從模糊規(guī)則提取與約簡以及模糊系統(tǒng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化即隸屬函數(shù)參數(shù)優(yōu)化三方面進行考慮，同時結(jié)合模擬退火（Simulated Annealing，SA）優(yōu)化算法及模糊支持度（Degree of Support，SD）的特點，提出基于模擬退火與支持度規(guī)則約簡的模糊系統(tǒng)優(yōu)化方法SSF。

1 模糊系統(tǒng)理論分析

Mamdani模糊系統(tǒng)（也稱為Zadeh模糊系統(tǒng)）規(guī)則表示形式如式（1）所示：前件IF部分及后件THEN部分均使用模糊集合表示。

其中U1,U2,…,Un與V1分別為輸入與輸出空間上的模糊集合。

圖1 展示了由模糊化、模糊規(guī)則庫、推理機和去模糊化四部分組成為的Mamdani模糊系統(tǒng)。其中模糊化把每個輸入映射成模糊集，推理機基于規(guī)則庫進行推理來得到一個新的模糊集，通過去模糊化把模糊集映射成一個數(shù)值化輸出。模糊規(guī)則庫作為模糊系統(tǒng)的核心部分，其組成除了模糊規(guī)則表示形式，還包括模糊集合的隸屬度函數(shù)表示形式[15]。

圖1 Mamdani模糊系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of Mamdani fuzzy system

本文隸屬度函數(shù)使用三角形隸屬度函數(shù)，其定義如式（2）所示：

其中，σ表示三角形隸屬函數(shù)的偏差，yc表示三角形隸屬函數(shù)的中心值，y表示輸入值。

2 本文算法

2.1 模糊規(guī)則提取

對于模糊規(guī)則的提取，本文采用以完備的模糊規(guī)則庫為基礎(chǔ)，分別確定規(guī)則前件與后件的方式，以保證模糊規(guī)則的完備性。首先對輸入空間進行劃分，在劃分且為每一維輸入空間分別分配mi個（i為數(shù)據(jù)維度）模糊集合后，則可以確定一個完備的模糊規(guī)則庫所包含的模糊規(guī)則數(shù)目為∏mi,以及每一條規(guī)則的前件部分均由每一維上的模糊集合組合而成，具有式（1）前件的形式。對于規(guī)則后件的確定，利用所有輸入數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)對規(guī)則的貢獻程度來確定。

從數(shù)據(jù)挖掘的角度看，每一個樣本數(shù)據(jù)對完備的模糊規(guī)則庫中的每一條規(guī)則都是有貢獻的，本文用數(shù)據(jù)在模糊規(guī)則前件上的隸屬度來描述數(shù)據(jù)對規(guī)則的貢獻程度。假設(shè)有n條樣本數(shù)據(jù)且完備的模糊規(guī)則庫中包含N條模糊規(guī)則，那么C(i,j)表示數(shù)據(jù)i對規(guī)則j的貢獻度(i≤n,j≤N)，如表1所示。

表1 數(shù)據(jù)貢獻度Table 1 Data contribution

將規(guī)則前件看作規(guī)則包含的n個模糊集合的笛卡兒積，例如有一條規(guī)則具有如下前件形式：

其中，?表示一種t范數(shù)。愛因斯坦積與代數(shù)積均具有有界性、交換性、非減性以及結(jié)合性。同時代數(shù)積具有計算及應(yīng)用簡單的特點，而愛因斯坦積通過一個與自變量相關(guān)的因子在一定程度上對輸出值進行修正。因此本文選擇這兩種t范數(shù)：

（1）愛因斯坦積

（2）代數(shù)積

假設(shè)一個二維輸入單輸出且滿足y=X1+X2的模擬樣本數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 模擬樣本數(shù)據(jù)Table 2 Simulation sample data

將每一維輸入空間(X1:[0,10],X2:[0,8])劃分并分別分配3個模糊集合，X1空間上的模糊集合為X2空間上的模糊集合為，如圖2所示。

圖2 輸入空間劃分示意圖Fig.2 Schematic diagram of input space division

因此，根據(jù)式（2）可以得到每一個模糊集合上隸屬度的計算公式，如式（6）~式（11）所示：

那么就可以確定一個完備的模糊規(guī)則庫將包含9（3×3）條規(guī)則，其規(guī)則形式如下所示：

其中B1,B2,…,B9為規(guī)則后件待確定的模糊集合。根據(jù)式（3）、式（4）和式（5），可以計算得到樣本數(shù)據(jù)在規(guī)則上的隸屬度。以數(shù)據(jù)1對規(guī)則1的貢獻度C(1,1)計算為例，根據(jù)式（3），首先計算出數(shù)據(jù)1（0，2）在規(guī)則1上的隸屬度：

其中?運算以代數(shù)積為例，則：

同樣的，可求得數(shù)據(jù)1對規(guī)則1至規(guī)則9的貢獻度C(1,j)；數(shù)據(jù)2對規(guī)則1至規(guī)則9的貢獻度C(2,j)；數(shù)據(jù)3對規(guī)則1至規(guī)則9的貢獻度C(3,j)；數(shù)據(jù)4對規(guī)則1至規(guī)則9的貢獻度C(4,j)；其中j=1,2,…,9。經(jīng)過計算，表2對應(yīng)的數(shù)據(jù)貢獻度表如表3所示。

表3 樣本數(shù)據(jù)貢獻度Table 3 Sample data contribution

得到每一條數(shù)據(jù)對每一條規(guī)則的貢獻度后，以此作為權(quán)重，計算規(guī)則j輸出部分模糊集合的中心值及偏差σj，從而確定所有的規(guī)則，如式（12）和式（13）所示：

2.2 模糊規(guī)則約簡

當前的研究主要集中在如何提高模糊系統(tǒng)的精度，而對于學(xué)習(xí)后的模糊系統(tǒng)的規(guī)則數(shù)關(guān)注不足，影響了模糊系統(tǒng)的可解釋性。因此，適當約簡系統(tǒng)規(guī)則對提高模糊系統(tǒng)的可解釋性顯得尤為重要。完備的模糊規(guī)則庫中的一些規(guī)則相對訓(xùn)練數(shù)據(jù)而言是冗余的，本文通過支持度來描述規(guī)則是否冗余。支持度SD定義如下：

其中，S(i,j)表示數(shù)據(jù)i在規(guī)則j上的指示函數(shù)值，m為樣本數(shù)，SDj為第j條規(guī)則的支持度。當規(guī)則j的支持度SDj小于規(guī)則約簡閾值時，規(guī)則j被認為是冗余的，將規(guī)則j從完備的模糊規(guī)則庫中刪除；反之，當規(guī)則j具有足夠的支持度時，將其保留。

在2.1節(jié)例子的基礎(chǔ)上，對表3根據(jù)指示函數(shù)公式（14）以及支持度計算公式（15）進行處理，可以得到規(guī)則1至規(guī)則9的支持度，如表4所示。

表4 規(guī)則支持度Table 4 Rule support

設(shè)定規(guī)則約簡閾值為0.3，那么規(guī)則1、規(guī)則3以及規(guī)則9的支持度低于該閾值，則將這些規(guī)則從完備的模糊規(guī)則庫中刪除。因此從樣本數(shù)據(jù)中獲取的模糊規(guī)則庫中包含規(guī)則2、規(guī)則4、規(guī)則5、規(guī)則6、規(guī)則7以及規(guī)則8。

2.3 模糊系統(tǒng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化

在提取并約簡規(guī)則后，初始的模糊系統(tǒng)已經(jīng)構(gòu)建完畢。但是由于模糊集合的分配與輸入空間的劃分往往是根據(jù)經(jīng)驗進行的，帶有很強的主觀性，這樣的模糊系統(tǒng)結(jié)構(gòu)往往難以滿足數(shù)據(jù)的要求。因此根據(jù)模擬退火算法對初始的模糊系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進行調(diào)整，使模糊系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)更加適應(yīng)數(shù)據(jù)。

模擬退火算法[16]在解空間搜索時采用Metropolis準則，以一定的概率接受比當前解更差的解，從而能夠跳出局部最優(yōu)，得到全局最優(yōu)。該算法從起始溫度以及初始解開始，在當前溫度下為當前解加入擾動后產(chǎn)生新解以搜索更優(yōu)的解。當在當前溫度下達到一定搜索次數(shù)時，通過降溫系數(shù)降低當前溫度繼續(xù)搜索。溫度的降低也將導(dǎo)致對更差解的接受概率逐漸降低，直到溫度降低到停止溫度時得到最終解。本文隸屬函數(shù)選擇三角形隸屬函數(shù)，包括left、center和right三個分段點。將系統(tǒng)中包含的所有模糊集合的中心點center組成初始解向量進行搜索。每一次搜索都為當前解增加擾動以產(chǎn)生新解，也就意味著新解對應(yīng)的模糊集合的中心點相較于當前解對應(yīng)的模糊集合的中心點發(fā)生了改變，為了保證模糊集合重疊的特性，需要同步地調(diào)整新解對應(yīng)的模糊集合的left和right點：將新解對應(yīng)的所有模糊集合的left點修改為前一個模糊集合的center點，right點修改為后一個模糊集合的center點。

SA算法使用Metropolis準則時，根據(jù)當前解與新解在目標函數(shù)上的差值決定是否更新當前解為新解。對模糊系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化是為了提高模糊系統(tǒng)的精度，因此本文將訓(xùn)練集上的均方誤差（MSE）作為搜索過程中的目標函數(shù)，如式（16）所示。對于新解而言，用于預(yù)測的模糊規(guī)則庫有兩種選擇：一種是使用在初始解條件下提取的模糊規(guī)則；另一種是利用新解重新提取模糊規(guī)則。

其中，y?k、yk分別為預(yù)測值和真實值。y?k是在由單值模糊化、乘積運算、加權(quán)平均反模糊化得到的模型上預(yù)測的結(jié)果，如式（17）所示：

在搜索新解的過程中，解向量中每一維的解空間在當前解更新后都會發(fā)生變化，而在當前解的基礎(chǔ)上增加一個受溫度參數(shù)影響的隨機數(shù)來增加擾動也會變得難以控制。因此通過在解向量中每一維的搜索范圍內(nèi)隨機選取一個值作為新解的每一維實現(xiàn)增加擾動產(chǎn)生新解。同時，解向量中每一維的搜索范圍將受到溫度的影響：隨著溫度的降低，解向量中每一維的搜索范圍以縮減系數(shù)β進行收縮?？s減系數(shù)的定義如式（18）所示：

那么解向量中每一維的搜索范圍經(jīng)過縮減后的左、右邊界點分別如式（19）和式（20）所示：

其中，left、center和right分別表示解向量對應(yīng)模糊集合的左邊界點、中心點和右邊界點，maxT表示初始溫度，T表示當前溫度。

當溫度降低至停止溫度時，搜索結(jié)束，將退火過程中的最優(yōu)解作為最終解，模糊系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)調(diào)優(yōu)完成，最終的模糊系統(tǒng)構(gòu)造完畢。

3 算法實現(xiàn)及分析

本文的模糊系統(tǒng)建模及優(yōu)化流程如圖3所示。

圖3 模糊系統(tǒng)建模及優(yōu)化流程Fig.3 Fuzzy system modeling and optimization process

3.1 實現(xiàn)步驟

步驟1將導(dǎo)入的數(shù)據(jù)集進行歸一化處理，并劃分為訓(xùn)練集Dtrain和測試集Dtest。

步驟2將輸入空間進行等分劃分，并為每一個子空間分配模糊集合。根據(jù)分配的模糊集合確定所有規(guī)則的前件。

步驟3計算所有樣本數(shù)據(jù)對完備模糊規(guī)則庫中所有規(guī)則的貢獻程度。根據(jù)式（14）和式（15）計算每條規(guī)則的支持度，并設(shè)定規(guī)則約簡閾值刪除冗余規(guī)則。

步驟4根據(jù)式（12）和式（13）確定模糊規(guī)則庫中規(guī)則后件部分的模糊集合。

步驟5設(shè)定模擬退火算法超參數(shù)：起始溫度maxT、停止溫度minT、每一溫度下的搜索次數(shù)n以及降溫系數(shù)q。選取初始解，利用SA算法對模糊系統(tǒng)的隸屬函數(shù)的參數(shù)進行優(yōu)化，調(diào)整模糊系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

步驟6最終的模糊系統(tǒng)構(gòu)造完畢，將測試集數(shù)據(jù)Dtest輸入此模糊系統(tǒng)進行預(yù)測，得到預(yù)測結(jié)果。

同樣地，利用表2的模擬數(shù)據(jù)對本文算法進一步介紹。步驟1是數(shù)據(jù)預(yù)處理的過程，步驟2及步驟3已經(jīng)分別在前文第2.1節(jié)以及第2.2節(jié)敘述，因此不在此處贅述。經(jīng)過步驟3約簡規(guī)則后，從樣本數(shù)據(jù)中確定了模糊規(guī)則庫中包含規(guī)則2、規(guī)則4、規(guī)則5、規(guī)則6、規(guī)則7以及規(guī)則8。接著執(zhí)行步驟4，以規(guī)則2為例確定其后件。根據(jù)式（12）和式（13），可以分別得到其后件模糊集合的中心點及偏差：

因此根據(jù)式（2）得到規(guī)則2后件的模糊集合如下式所示：

同樣地，其余規(guī)則的后件部分模糊集合均可確定。所有規(guī)則后件部分確定后，即可得到模糊規(guī)則庫。

在提取并約簡模糊規(guī)則后執(zhí)行步驟4，假設(shè)maxT=100,minT=1,q=0.9,n=20。初始時，模糊集合的中心點分別為0，5，10，0，4，8，因此算法的初始解x0=[0,5,10,0,4,8]。從初始解開始搜索，假設(shè)經(jīng)過第一次搜索后產(chǎn)生的新解為x1=[2,4,8,2,6,7]，表示新解對應(yīng)的模糊集合的中心點分別為2，4，8，2，6，7，那么需要同步地調(diào)整新解中每個模糊集合的左邊界點為前一個模糊集合的中心點，右邊界點為后一個模糊集合的中心點。模糊集合調(diào)整前后示意圖如圖4、圖5所示，其中黑色曲線表示當前解x0所對應(yīng)的模糊集合，藍色曲線表示新解x1所對應(yīng)的模糊集合。

圖4 X1輸入空間模糊集合調(diào)整對比圖Fig.4 Comparison diagram of fuzzy set adjustment in X1 input space

圖5 X2輸入空間模糊集合調(diào)整對比圖Fig.5 Comparison diagram of fuzzy set adjustment in X2 input space

接著根據(jù)式（17）分別使用x0對應(yīng)模糊集合以及x1對應(yīng)模糊集合對測試集進行預(yù)測。對于x1而言，若選擇重新提取規(guī)則，則執(zhí)行步驟3、步驟4后再進行預(yù)測；否則使用初始解條件下提取的模糊規(guī)則進行預(yù)測。預(yù)測完成后，根據(jù)式（16）分別計算當前解的目標函數(shù)值f，以及新解的目標函數(shù)值f′，即二者在測試集上的均方誤差。根據(jù)Metropolis準則決定是否接受新解，當f′

對當前解更新完成后，進行新的搜索。在溫度為100的條件下進行20次搜索后，根據(jù)T′=q×T降低當前溫度為90，同時根據(jù)式（18）、（19）、（20）縮小當前溫度下新解的搜索范圍。在溫度為100時：

解向量中每一維的搜索范圍為[L,R]，即每一維對應(yīng)的模糊集合的左右邊界點之間。在溫度為90時：

因此對應(yīng)的每一維的搜索范圍在[L′,R′]。相較于溫度為100時，搜索范圍縮減了10%，意味著減少了對較差解的搜索，更偏向于較優(yōu)解。以溫度為100時和溫度為90時，解向量第二維即集合中心點的搜索范圍進行對比，如圖6所示。

圖6 搜索范圍對比圖Fig.6 Comparison of search ranges

如此循環(huán)搜索，當溫度降低到停止溫度minT且搜索完成時，選擇退火過程中的最優(yōu)解作為模糊系統(tǒng)隸屬度函數(shù)參數(shù)的解，完成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。至此，模糊系統(tǒng)構(gòu)造完畢，可執(zhí)行步驟6對輸入數(shù)據(jù)進行預(yù)測。

3.2 算法復(fù)雜度分析

在實現(xiàn)過程中，提取與約簡規(guī)則時需要遍歷所有樣本數(shù)據(jù)和模糊規(guī)則以及存儲樣本數(shù)據(jù)對完備模糊規(guī)則支持度，因此其時間、空間復(fù)雜度均為O(n×N)，其中n為樣本數(shù)據(jù)量，N為完備模糊規(guī)則庫中的規(guī)則數(shù)。而在優(yōu)化過程中僅需O(1)復(fù)雜度存儲SA算法的超參數(shù)，需要O(T×C)時間復(fù)雜度，其中T為搜索新解的溫度個數(shù)，C表示每個溫度下的搜索次數(shù)。整個模糊系統(tǒng)的參數(shù)包括輸入部分模糊集合以及輸出部分模糊集合，其復(fù)雜度為O(M+K)，其中M為輸入空間上劃分的模糊集合個數(shù)，k為提取約簡后的規(guī)則量。因為O(1)≤O(M+K)≤O(n×N)，所以該算法的空間復(fù)雜度為O(n×N)，時間復(fù)雜度為O(n×N+T×C)。從以上分析看，時間復(fù)雜度相對較高，這是用模擬退火算法提高精度所付出的代價，因此降低時間復(fù)雜度將成為日后的一個研究重點。

4 實驗結(jié)果與分析

為了驗證本文算法的有效性，將t范數(shù)使用式（4）愛因斯坦積且在SA中對新解重新提取模糊規(guī)則庫的算法命名為SSF1；將t范數(shù)使用式（4）愛因斯坦積且在SA不對新解重新提取模糊規(guī)則庫的算法命名為SSF2；將t范數(shù)使用式（5）代數(shù)積且在SA中對新解重新提取模糊規(guī)則庫的算法命名為SSF3；將t范數(shù)使用式（5）代數(shù)積且在SA中不對新解重新提取模糊規(guī)則庫的算法命名為SSF4。同時引入了BP算法、RBF算法和WM算法進行比較分析。將MSE（式（16））與R2作為客觀評價標準。

4.1 數(shù)據(jù)集描述

本文在3個數(shù)據(jù)集上驗證提出的算法，所有數(shù)據(jù)集均選自機器學(xué)習(xí)庫UCI Machine Learning Repository。各數(shù)據(jù)集的特征總結(jié)如表5所示。

表5 數(shù)據(jù)集特征總結(jié)Table 5 Summary of data set characteristics

4.2 Adv數(shù)據(jù)集應(yīng)用

圖7 展示了各算法在Adv數(shù)據(jù)集的訓(xùn)練集、測試集上的預(yù)測效果。表6、表7分別展示了各算法在訓(xùn)練集和測試集上各項評價指標值。

從表6、表7可以看出，SSF1算法在各項評價指標上都表現(xiàn)得最佳，尤其在MSE與R2指標上，占了絕對優(yōu)勢。結(jié)合圖7和表7，SSF算法對樣本數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)能力比BP、RBF以及WM算法都更強。而從圖7（b）和表7可以看出，SSF1、SSF2有更好的泛化能力。與WM算法相比，SSF算法在規(guī)則數(shù)目上均比WM算法的少，可解釋性得到提高。SSF1的規(guī)則數(shù)約是WM的一半，可解釋性最好。

表6 各算法在訓(xùn)練集上的各項評價指標值（Adv數(shù)據(jù)集）Table 6 Evaluation index values of each algorithm on training set（Adv data set）

表7 各算法在測試集上的各項評價指標值（Adv數(shù)據(jù)集）Table 7 Evaluation index values of each algorithm on test set（Adv data set）

圖7 各算法在Adv數(shù)據(jù)集上的預(yù)測效果Fig.7 Prediction results of each algorithm on Adv data set

4.3 DJ數(shù)據(jù)集應(yīng)用

圖8 展示了各算法在DJ數(shù)據(jù)集的訓(xùn)練集及測試集上的預(yù)測效果。表8、表9分別展示了各個算法在訓(xùn)練集和測試集上各項評價指標值。

表8 各算法在訓(xùn)練集上的各項評價指標值（DJ數(shù)據(jù)集）Table 8 Evaluation index values of each algorithm on training set（DJ data set）

表9 各算法在測試集上的各項評價指標值（DJ數(shù)據(jù)集）Table 9 Evaluation index values of each algorithm on test set（DJ data set）

圖8 各算法在DJ數(shù)據(jù)集上的預(yù)測效果Fig.8 Prediction results of each algorithm on DJ data set

在DJ數(shù)據(jù)集上，SSF1算法在訓(xùn)練集、測試集中同樣表現(xiàn)出良好的性能，在誤差以及模型的解釋能力上比傳統(tǒng)的BP算法、RBF算法以及WM方法都要更好。在規(guī)則數(shù)目上，SSF1與SSF3分別占WM算法的29.3%與34.6%，SSF2與SSF4的規(guī)則數(shù)分別占WM算法的56%?？梢悦黠@看出，基于SSF的四種算法的規(guī)則數(shù)顯著下降，可解釋性進一步提高。

4.4 Rev數(shù)據(jù)集應(yīng)用

圖9 展示了各算法在Rev數(shù)據(jù)集的訓(xùn)練集、測試集上的預(yù)測效果。表10、表11分別展示了各算法在訓(xùn)練集和測試集上的各項評價指標值。

表10 各算法在訓(xùn)練集上的各項評價指標值（Rev數(shù)據(jù)集）Table 10 Evaluation index values of each algorithm on training set（Rev data set）

表11 各算法在測試集上的各項評價指標值（Rev數(shù)據(jù)集）Table 11 Evaluation index values of each algorithm on test set（Rev data set）

圖9 各算法在Rev數(shù)據(jù)集上的預(yù)測效果Fig.9 Prediction results of each algorithm on Rev data set

從表10可以看出，SSF算法在各項指標上均表現(xiàn)得比其他算法更好。其中SSF3在訓(xùn)練集上的各項指標居于首位，表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢。從表11可以看出，SSF1的誤差最小，精度最高且對模型的解釋能力表現(xiàn)得更好。從規(guī)則數(shù)目上看，SSF3規(guī)則數(shù)最少，可解釋性最好。

5 結(jié)論與展望

通過實驗可以看出，SSF算法在實際回歸預(yù)測問題中具有一定的可行性以及較好的性能。與一些經(jīng)典算法相比，SSF1及SSF3算法在精度和可解釋性上具有明顯的優(yōu)勢：

（1）SSF算法以完備的模糊規(guī)則庫為基礎(chǔ)，依據(jù)所有數(shù)據(jù)對規(guī)則的貢獻程度參與模糊規(guī)則庫中規(guī)則的生成，并通過模糊規(guī)則的支持度對冗余的規(guī)則進行約簡，提高了模型的可解釋性。

（2）通過模擬退火算法對模糊集合的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行調(diào)整，克服人工經(jīng)驗的主觀性，使模糊系統(tǒng)更加適應(yīng)數(shù)據(jù)，增強了泛化能力，提高了預(yù)測精度。

當前優(yōu)化的模糊系統(tǒng)在高維數(shù)據(jù)中的表現(xiàn)還有待提高。在今后的工作中，將把機器學(xué)習(xí)中的一些技巧應(yīng)用到模糊系統(tǒng)構(gòu)造及優(yōu)化中，并考慮應(yīng)用于深度模型中，以適應(yīng)高維數(shù)據(jù)的要求，進一步提高模糊系統(tǒng)處理實際問題的能力。