劉 暢，官 政

（廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

0 引言

隨著全球化、信息化和網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟(jì)的蓬勃發(fā)展，尤其是近年來，隨著大數(shù)據(jù)的提出，統(tǒng)計(jì)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域大放異彩，學(xué)者們對(duì)金融市場(chǎng)的數(shù)據(jù)研究也不僅僅局限于日、周、月等低頻數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)而投向了以秒、分、時(shí)為采集頻率的高頻數(shù)據(jù)。在Andersen和Bollerslev(1998)[2]提出可以利用日內(nèi)高頻交易數(shù)據(jù)計(jì)算已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率來評(píng)價(jià)ARCH模型的預(yù)測(cè)效果之后，學(xué)者們開始對(duì)事后積分波動(dòng)率的非參數(shù)估計(jì)問題產(chǎn)生興趣；當(dāng)Barndorff-Nielsen和Shephard(2002)[3]提出當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格過程滿足擴(kuò)散模型時(shí)，積分波動(dòng)率的一致估計(jì)量就是已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，并給出了中心極限定理及證明；Valkanov(2006)[4]用絕對(duì)冪變差來對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)，效果較好；Gallo和Engle(2006)[5]將GARCH模型和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率結(jié)合，從而提高了對(duì)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)精度；Fan和Wang(2008)[6]給出了瞬時(shí)波動(dòng)率的非參數(shù)估計(jì)；Kristensen(2010)[7]將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率與瞬時(shí)波動(dòng)率的估計(jì)聯(lián)系起來，并證明了二次冪變差核估計(jì)量的漸近正態(tài)性和一致相合性。國(guó)內(nèi)的唐勇和劉峰濤(2005)[8]將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率、SV(Stochastic Volatility)模型、GARCH模型三者對(duì)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率優(yōu)于其他兩個(gè)模型。相較于Kristensen(2016)的結(jié)論，基于隨機(jī)擴(kuò)散模型，本文對(duì)其估計(jì)量的相合性提出了更好的證明，并給出了更快的收斂速度。

1 知識(shí)儲(chǔ)備

為敘述方便,始終假設(shè)C表示一不依賴于n的大于0的常數(shù),且C每次出現(xiàn)可以取不同的值。

為對(duì)本文的結(jié)論進(jìn)行證明，我們需要提前了解以下內(nèi)容：

隨機(jī)擴(kuò)散模型:

其中，X t為金融產(chǎn)品對(duì)數(shù)價(jià)格，μt為漂移過程，σt為擴(kuò)散過程，且μt和σt為[0,T]上的隨機(jī)過程，W t為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

引理1

其中，U～N(0,1)。證明過程見波動(dòng)率估計(jì)研究專題綜述（2019）。

引理2（楊善朝，1997） 若X j:j≥1相互獨(dú)立，且滿足E(X j)=0,則存在常數(shù)C≥0使得：

2 條件與結(jié)論

全文使用如下基本假設(shè)：

A 1）對(duì)于任意的p＞0和l1≥0，有

A 2）對(duì)于任意的l2≥0，有，其中，T→∞。

A 3）對(duì)于任意的γ＞0和C＞0，有

B1）當(dāng)窗寬h→0時(shí),有n=T/△→∞和△→0:?n,T→0。

這里ε＞0，δ＞0都是任意給定的常數(shù)，為方便起見，我們采用等距觀測(cè)△=ti-ti-1。

定理1我們假定A 1）～A 3）,B1）和K 1）成立.

定理2假設(shè)T是固定的正數(shù)，條件A 1）～A 3）和K1）成立.如果當(dāng)n→∞時(shí)，h→0且?n→0，其中?n=，這里δ＞0都是任意給定的常數(shù)，則

3 定理的證明

3.1 定理1的證明

我們將估計(jì)量的每一項(xiàng)展開，結(jié)合伊藤引理，我們可以得到：

結(jié)合（1）式，有：

令：

其中，

（1）R1的證明。

（2）R2的證明。

（3）R3的證明。

①首先處理S'n(τ)項(xiàng)。

設(shè)rn為趨于0的待定正常數(shù)序列，選取ln個(gè)中心在τ1，τ2，…，τln，半徑為的鄰域B1，B2，…，Bln覆蓋[0,T]，其中顯然

由于：

另一方面，結(jié)合馬爾科夫不等式：

又因?yàn)椋?/p>

從而，

②再處理S''n(τ)項(xiàng)。

又有：

因此，我們聯(lián)立上面三個(gè)式子，可得：

（4）R4的證明如下：

結(jié)合引理2，可以得到：

因此

又因h-1≤Cn-1/2和T≤Cn，所以?ε＞0，取r充分大，有：

由h-2n-1T2+l2→0，知

由于h-1≤Cn-1/2和T≤Cn，所以?q＞1，取r充分大，有：

(5)R5的證明。

其中，

利用σt的Lipschitz條件，有：

對(duì)于R53，

聯(lián)立以上各式，得：R5=O p(h-2△T1+l2+hγ+hm/2)，

其中，

3.2 定理2的證明

對(duì)于固定的T,

所以?n=n-1h-2+n-1/2+εh-1/2+n-1/2h-1/(2+p)-1/2。

因此我們用新的方法對(duì)該估計(jì)量的相合性進(jìn)行了證明，并給出了比Kristensen(2016)更好的收斂速度。

4 數(shù)值分析與模擬

我們已經(jīng)在第三章給出了波動(dòng)率估計(jì)的相合性證明，本章我們將利用數(shù)值模擬的方法來對(duì)上述估計(jì)量的效果進(jìn)行研究?？紤]下面的擴(kuò)散-波動(dòng)率模型：

其中，W1,t，W2,t是兩個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)，利用歐拉方法對(duì)上述模型進(jìn)行離散化，并選取α=0.476，β=0.510，κ=0.227596，再選取時(shí)間間隔為1/(60×60×24×100)時(shí)所產(chǎn)生的波動(dòng)率σt2的真值數(shù)據(jù)，再?gòu)倪@些真值數(shù)據(jù)中分別選取60 s和30 s不同時(shí)間間隔的真值數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬分析。我們得到時(shí)間間隔分別為60 s和30 s的模擬圖，如圖1、圖2所示。圖中，1線為估計(jì)線，2線為真值線。很容易發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)間間隔的縮短，估計(jì)線和真值線的擬合程度越好。這也說明我們的估計(jì)量能很好地對(duì)真實(shí)值進(jìn)行估計(jì)。

圖1 時(shí)間間隔為60 s的模擬圖

圖2 時(shí)間間隔為30 s的模擬圖