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        擴散過程波動率核估計的一致相合性*

        2021-08-18 07:22:34暢,官
        關(guān)鍵詞:估計量真值常數(shù)

        劉 暢,官 政

        (廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,廣西 桂林 541004)

        0 引言

        隨著全球化、信息化和網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟的蓬勃發(fā)展,尤其是近年來,隨著大數(shù)據(jù)的提出,統(tǒng)計學(xué)在各個領(lǐng)域大放異彩,學(xué)者們對金融市場的數(shù)據(jù)研究也不僅僅局限于日、周、月等低頻數(shù)據(jù),轉(zhuǎn)而投向了以秒、分、時為采集頻率的高頻數(shù)據(jù)。在Andersen和Bollerslev(1998)[2]提出可以利用日內(nèi)高頻交易數(shù)據(jù)計算已實現(xiàn)波動率來評價ARCH模型的預(yù)測效果之后,學(xué)者們開始對事后積分波動率的非參數(shù)估計問題產(chǎn)生興趣;當Barndorff-Nielsen和Shephard(2002)[3]提出當資產(chǎn)價格過程滿足擴散模型時,積分波動率的一致估計量就是已實現(xiàn)波動率,并給出了中心極限定理及證明;Valkanov(2006)[4]用絕對冪變差來對波動率進行預(yù)測,效果較好;Gallo和Engle(2006)[5]將GARCH模型和已實現(xiàn)波動率結(jié)合,從而提高了對波動率的預(yù)測精度;Fan和Wang(2008)[6]給出了瞬時波動率的非參數(shù)估計;Kristensen(2010)[7]將已實現(xiàn)波動率與瞬時波動率的估計聯(lián)系起來,并證明了二次冪變差核估計量的漸近正態(tài)性和一致相合性。國內(nèi)的唐勇和劉峰濤(2005)[8]將已實現(xiàn)波動率、SV(Stochastic Volatility)模型、GARCH模型三者對波動率的預(yù)測進行比較,發(fā)現(xiàn)已實現(xiàn)波動率優(yōu)于其他兩個模型。相較于Kristensen(2016)的結(jié)論,基于隨機擴散模型,本文對其估計量的相合性提出了更好的證明,并給出了更快的收斂速度。

        1 知識儲備

        為敘述方便,始終假設(shè)C表示一不依賴于n的大于0的常數(shù),且C每次出現(xiàn)可以取不同的值。

        為對本文的結(jié)論進行證明,我們需要提前了解以下內(nèi)容:

        隨機擴散模型:

        其中,X t為金融產(chǎn)品對數(shù)價格,μt為漂移過程,σt為擴散過程,且μt和σt為[0,T]上的隨機過程,W t為標準布朗運動。

        引理1

        其中,U~N(0,1)。證明過程見波動率估計研究專題綜述(2019)。

        引理2(楊善朝,1997) 若X j:j≥1相互獨立,且滿足E(X j)=0,則存在常數(shù)C≥0使得:

        2 條件與結(jié)論

        全文使用如下基本假設(shè):

        A 1)對于任意的p>0和l1≥0,有

        A 2)對于任意的l2≥0,有,其中,T→∞。

        A 3)對于任意的γ>0和C>0,有

        B1)當窗寬h→0時,有n=T/△→∞和△→0:?n,T→0。

        這里ε>0,δ>0都是任意給定的常數(shù),為方便起見,我們采用等距觀測△=ti-ti-1。

        定理1我們假定A 1)~A 3),B1)和K 1)成立.

        定理2假設(shè)T是固定的正數(shù),條件A 1)~A 3)和K1)成立.如果當n→∞時,h→0且?n→0,其中?n=,這里δ>0都是任意給定的常數(shù),則

        3 定理的證明

        3.1 定理1的證明

        我們將估計量的每一項展開,結(jié)合伊藤引理,我們可以得到:

        結(jié)合(1)式,有:

        令:

        其中,

        (1)R1的證明。

        (2)R2的證明。

        (3)R3的證明。

        ①首先處理S'n(τ)項。

        設(shè)rn為趨于0的待定正常數(shù)序列,選取ln個中心在τ1,τ2,…,τln,半徑為的鄰域B1,B2,…,Bln覆蓋[0,T],其中顯然

        由于:

        另一方面,結(jié)合馬爾科夫不等式:

        又因為:

        從而,

        ②再處理S''n(τ)項。

        又有:

        因此,我們聯(lián)立上面三個式子,可得:

        (4)R4的證明如下:

        結(jié)合引理2,可以得到:

        因此

        又因h-1≤Cn-1/2和T≤Cn,所以?ε>0,取r充分大,有:

        由h-2n-1T2+l2→0,知

        由于h-1≤Cn-1/2和T≤Cn,所以?q>1,取r充分大,有:

        (5)R5的證明。

        其中,

        利用σt的Lipschitz條件,有:

        對于R53,

        聯(lián)立以上各式,得:R5=O p(h-2△T1+l2+hγ+hm/2),

        其中,

        3.2 定理2的證明

        對于固定的T,

        所以?n=n-1h-2+n-1/2+εh-1/2+n-1/2h-1/(2+p)-1/2。

        因此我們用新的方法對該估計量的相合性進行了證明,并給出了比Kristensen(2016)更好的收斂速度。

        4 數(shù)值分析與模擬

        我們已經(jīng)在第三章給出了波動率估計的相合性證明,本章我們將利用數(shù)值模擬的方法來對上述估計量的效果進行研究??紤]下面的擴散-波動率模型:

        其中,W1,t,W2,t是兩個相互獨立的標準的布朗運動,利用歐拉方法對上述模型進行離散化,并選取α=0.476,β=0.510,κ=0.227596,再選取時間間隔為1/(60×60×24×100)時所產(chǎn)生的波動率σt2的真值數(shù)據(jù),再從這些真值數(shù)據(jù)中分別選取60 s和30 s不同時間間隔的真值數(shù)據(jù)進行模擬分析。我們得到時間間隔分別為60 s和30 s的模擬圖,如圖1、圖2所示。圖中,1線為估計線,2線為真值線。很容易發(fā)現(xiàn),隨著時間間隔的縮短,估計線和真值線的擬合程度越好。這也說明我們的估計量能很好地對真實值進行估計。

        圖1 時間間隔為60 s的模擬圖

        圖2 時間間隔為30 s的模擬圖

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