楊玉龍，劉宇飛，李 萌，季京宣

(1.浙江大學(xué) 杭州 310058；2.中國空間技術(shù)研究院 錢學(xué)森空間技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094)

0 引言

剪式鉸結(jié)構(gòu)是一種應(yīng)用廣泛的展開結(jié)構(gòu)，由多個(gè)剪式鉸單元組成。剪式鉸結(jié)構(gòu)最早由學(xué)者Pinero提出[1]，目前得到廣泛的研究和應(yīng)用[2-9]。桿系結(jié)構(gòu)展開過程的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)計(jì)算分析，通常采用多體動力學(xué)[10-12]?？烧箺U系結(jié)構(gòu)建模時(shí)，對于桿件模型，可以分為剛性桿和柔性桿。通常剛性桿比較簡單，柔性桿相對復(fù)雜。

向量式有限元法(VFIFE，Vector form intrinsic finite element)是一種新型的數(shù)值算法[13-14]。其建模方法是將結(jié)構(gòu)劃分為節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)間通過單元連接。結(jié)合有限元理論，建立單元模型。利用牛頓第二運(yùn)動定律，建立整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)方程組。該方程組不包含剛度矩陣，所以在解決大變形及非連續(xù)問題有一定優(yōu)勢。在靜力學(xué)領(lǐng)域，向量式有限元法已取得了一定的研究結(jié)果。在動力學(xué)方面，Yang拓展了建模方法[15]，提出了間隙鉸的建模方法，同時(shí)進(jìn)行了間隙結(jié)構(gòu)的特性研究。Wu進(jìn)行了連桿滑塊結(jié)構(gòu)的運(yùn)動分析[16]。

用VFIFE來研究分析可展桿系結(jié)構(gòu)，首先需要解決的就是建模問題，本文重點(diǎn)論述了桿件的建模方法，并對兩種建模方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較討論。

1 VFIFE基本計(jì)算過程

可展桿系結(jié)構(gòu)的VFIFE算法，是將結(jié)構(gòu)分解成節(jié)點(diǎn)和單元，利用牛頓第二定律，建立中值差分公式，進(jìn)行迭代計(jì)算tn時(shí)刻各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置。利用單元計(jì)算各節(jié)點(diǎn)在運(yùn)動過程中的內(nèi)力，結(jié)合體系所受外力，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)tn+1時(shí)刻的位置。重復(fù)迭代計(jì)算，直至運(yùn)動結(jié)束，文獻(xiàn)[15]對基本計(jì)算過程，進(jìn)行了較為詳細(xì)的描述。

圖1 桿件單元?jiǎng)澐?/p>

圖2 時(shí)間歷程劃分

各節(jié)點(diǎn)位置計(jì)算公式為：

(1)

各節(jié)點(diǎn)速度計(jì)算公式為：

(2)

其中，F(xiàn)為結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)所受外力，f結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)所受內(nèi)力，m為節(jié)點(diǎn)質(zhì)量。

對于不同結(jié)構(gòu)及其不同單元，節(jié)點(diǎn)所受內(nèi)力是計(jì)算的關(guān)鍵。

2 剪式鉸柔性桿模型節(jié)點(diǎn)內(nèi)力計(jì)算

剪式鉸柔性桿建模，主要方法是將一根結(jié)構(gòu)桿件，劃分為多個(gè)梁單元。梁單元兩端的節(jié)點(diǎn)上，承受力和彎矩，存在平動位移和轉(zhuǎn)角。針對一個(gè)剪式鉸單元，為說明和顯示方便，在銷軸附近，各自劃分單元c、d和k、l。銷軸(Joint,用J表示)和銷孔(Bearing，用B表示)的受力主要是：外力F，內(nèi)力fp，以及各自單元的節(jié)點(diǎn)力fe(如圖3)：

圖3 剪式鉸受力分析

銷軸和銷孔的運(yùn)動方程為：

(3)

因?yàn)椋?/p>

(4)

故：

mJ(fekb+felb)-mBF]

(5)

3 剪式鉸剛性桿模型節(jié)點(diǎn)內(nèi)力計(jì)算

剛性桿是一種力學(xué)意義上的桿，是理想化的一種桿件，在運(yùn)動過程，桿件軸線始終保持直線。針對剛性桿建模，提出強(qiáng)制幾何約束，即一根結(jié)構(gòu)桿件，僅考慮單元頭尾兩個(gè)節(jié)點(diǎn)位置，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間所有幾何點(diǎn)的坐標(biāo)，按直線插值考慮。對于桿件中間出現(xiàn)的銷軸和銷孔位置，通過直線插值進(jìn)行計(jì)算。與柔性桿的差異在于，不考慮桿件橫向變形，并且僅考慮桿件軸力。

對于圖3所示的剪式鉸，假設(shè)運(yùn)動過程中，桿件銷軸和銷孔的軸線出現(xiàn)偏差，這些位移差，會在銷軸和銷孔的節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生力，通過二者受力協(xié)調(diào)，從而保證兩根桿件運(yùn)動的協(xié)調(diào)。

圖4 理想節(jié)點(diǎn)位移差圖

對于一個(gè)剪式鉸單元，假設(shè)剪式鉸的銷軸上存在力P，分別作用在桿1和桿2上，二者方向相反，大小相等，如圖5所示，分別垂直于桿方向的分力為F1和F2，

圖5 剪式鉸受力分析

(6)

按擬靜力學(xué)法，假設(shè)各桿為簡支梁，在垂直于梁軸線方向力的作用下，會產(chǎn)生撓度Δf1和Δf2，則有：

(7)

(8)

式中，a和c為作用力距計(jì)算節(jié)點(diǎn)距離，l為桿長，E為材料彈性模量，I為截面慣性矩。

剪式鉸軸處兩根桿位移為e，則有：

e=Δ1+Δ2

(9)

根據(jù)以上各式，推導(dǎo)可得：

(10)

(11)

(12)

如果桿1與桿2幾何參數(shù)完全一樣，并且鉸在桿中間時(shí)，則有：

(13)

對于剪式鉸中的每一個(gè)桿件，桿兩端節(jié)點(diǎn)力，可以根據(jù)F1和F2和幾何關(guān)系獲得。

4 計(jì)算與討論

4.1 計(jì)算模型

對于一剪式鉸桿系模型，結(jié)構(gòu)基本情況如圖6，圖中單位為m。節(jié)點(diǎn)O固定，在節(jié)點(diǎn)A和B施加水平力50 N。展開過程中忽略摩擦力和重力，如果相鄰節(jié)點(diǎn)間水平距離小于0.1 m，計(jì)算停止。

圖6 剪式鉸模型

4.2 結(jié)果討論

根據(jù)以上提出的建模方法，編制程序進(jìn)行計(jì)算。柔性桿模型和剛性桿模型展開過程圖見圖7和圖8。從圖中可以看出，柔性桿模型中，在銷軸位置存在節(jié)點(diǎn)，剛性桿模型中，在銷軸位置沒有節(jié)點(diǎn)。從展開過程可以看出，柔性桿和剛性桿模型均能順利展開，并且展開過程正常。

圖7 柔性桿模型模擬展開過程

圖8 剛性桿模型模擬展開過程

從圖9結(jié)果可以看出，當(dāng)滿足展開條件時(shí)，柔性桿模型節(jié)點(diǎn)A位置為0.53253 m，剛性桿模型節(jié)點(diǎn)A位置為0.52613 m處，節(jié)點(diǎn)A橫向坐標(biāo)差為0.0064 m，為二者模型坐標(biāo)位置均值的1.21%。兩個(gè)模型均未達(dá)到理想位置，誤差一方面來自于迭代步長，一方面來自于迭代誤差。

圖9 節(jié)點(diǎn)A展開過程橫向坐標(biāo)位置對比

從圖10結(jié)果可以看出，當(dāng)滿足展開條件時(shí)，節(jié)點(diǎn)A橫向速度差為0.0085 m/s，為二者速度均值的2.21%。圖中可以看出，柔性桿模型節(jié)點(diǎn)A的橫向速度略小于剛性桿模型的速度。但柔性桿模型展開時(shí)間卻小于剛性桿模型，主要原因是柔性桿模型中，節(jié)點(diǎn)A所在桿件，直接受力，桿件有一定的橫向彎曲，使得節(jié)點(diǎn)間的水平距離較早達(dá)到控制值0.1 m，計(jì)算停止，說明剛?cè)崮Ｐ停瑢Y(jié)構(gòu)展開過程中位置精度有影響。

圖10 節(jié)點(diǎn)A展開過程橫向速度對比

柔性桿和剛性桿模型，計(jì)算結(jié)果存在差異，一部分原因是桿件剛?cè)岽嬖诓町悾硗庖徊糠衷騺碜杂谟?jì)算方法誤差，這一部分需要后續(xù)研究中予以重視。二者的合理性，主要取決于模型分析的需要，考慮結(jié)構(gòu)是以剛體運(yùn)動為主，還是考慮桿件變形后的結(jié)構(gòu)整體構(gòu)型為主。

5 結(jié)論

基于向量式有限元法，本文提出了剪式鉸剛性桿模型及其內(nèi)力計(jì)算方法，同時(shí)推導(dǎo)了剪式鉸柔性桿模型及其內(nèi)力計(jì)算方法。兩種方法均能順利模擬展開過程。兩種模型的模擬計(jì)算結(jié)果在展開位置精度、展開時(shí)間和展開速度存在微小誤差?；赩FIFE法的展開過程的計(jì)算精度，在后續(xù)研究中需要重點(diǎn)關(guān)注。