遠地點發(fā)動機推力矢量不確定度評估方法
2021-08-17 07:29:16鄭科張偉
宇航計測技術 2021年2期
鄭 科 張 偉
(北京航天試驗技術研究所，北京 100074)
1 引 言
遠地點發(fā)動機常被用于星、箭、彈的精確軌道控制和姿態(tài)調整，其推力矢量直接關系到衛(wèi)星能否入軌和發(fā)射任務的成敗，準確測出推力矢量參數(shù)，能夠為發(fā)動機整星組裝時提供基本依據(jù)。目前，推力矢量測量有多種方案，在我國的遠地點發(fā)動機高空模擬熱標定試驗中，技術和工藝都比較成熟且經(jīng)多次飛行驗證效果顯著的是北京航天試驗技術研究所1992年研制的動態(tài)軸矢量推力架和該所2010年研制的基于壓電晶體測力板技術的多分力動態(tài)矢量推力架。
遠地點發(fā)動機一般用于衛(wèi)星等航天器的軌道控制和姿態(tài)調整。推力矢量測量的準確性對衛(wèi)星能否入軌以及入軌成本有很大的影響，甚至影響衛(wèi)星的工作壽命，所以推力矢量參數(shù)是發(fā)動機整星組裝的重要參考依據(jù)。對于推力矢量的測量，在我國遠地點發(fā)動機高空模擬熱標定試驗中，北京航天試驗技術研究所1992年研制的動態(tài)軸矢量推力架和該所2010年研制的基于壓電晶體測力板技術的多分力動態(tài)矢量推力架經(jīng)過多次實際飛行驗證，技術相對成熟。
2 動態(tài)軸矢量推力架測量模型
測試系統(tǒng)的推力矢量模型如圖1所示，O
-XYZ
為轉臺坐標系，O
’-X
’Y
’Z
’為發(fā)動機坐標系，發(fā)動機熱試車時產生的發(fā)動機推力矢量F
作用于對接面Y
’O
’Z
’平面的A點上。
圖1 推力矢量模型
推力矢量F
在推力軸線方向(X
軸方向)的分量為F
,其垂直于推力軸線方向的分量為F
(Z
’O
’Y
’平面內)，在轉臺上產生一個繞Z
軸的旋轉力矩M
,經(jīng)過簡單力學推導可得-M
=F
(δ
cosβ
+R
tanα
cosγ
)(1)
S
=δ
cosβ
+R
tanα
cosγ
(2)
當推力矢量裝置使Y
’O
’Z
’平面(即發(fā)動機對接面)繞OX
軸旋轉(角，公式(2)變?yōu)?p>S=[δ
cos(β
+θ
)+R
tanα
cos(γ
+θ
)](3)
其中M
，F
，R
，θ
為可測參數(shù)，α
，β
，γ
，δ
為待求參數(shù)。分別改變R
和θ
的值，令i
=1,2,3,...,n
,發(fā)動機點火n
(n
=6～8)次，求解方程組即可得到矢量參數(shù)S
=[δ
cos(β
+θ
)+R
tanα
cos(γ
+θ
)]=δ
cosβ
cosθ
-δ
sinβ
sinθ
+R
tanα
cosγ
cosθ
-R
tanα
sinγ
sinθ
(4)
令
(5)
公式(4)可寫為矩陣形式
在這里我們主要對帽殼進行研究分析后，決定采用如圖2亞光表面處理，作為共享產品，使用時間長，接觸人多，頭盔表面難免留有很多劃痕，而亞光表面的日常的劃痕磨損會相對沒有拋光表面易發(fā)現(xiàn)，所以，從造型美觀來看，我們更傾向于使用亞光處理表面。同時亞光表面的處理，將會使頭盔的造型感更加沉穩(wěn)有質感。
AX
=S
(6)
X
=[x
x
x
x
]，
A
A
的逆矩陣(A
A
)存在，則得到X
的最小二乘解為X
=(A
A
)A
S
(7)
推力矢量參數(shù)為
(8)
3 GUM不確定度評估
3.1 GUM法簡介
GUM法通過測量模型直接傳遞不確定度，基于方和根法計算合成不確定度。方法源自《測量不確定度表示指南》，假設輸出量近似為正態(tài)分布或者縮放位移t分布，通過設定包含概率、計算自由度以及查表求出對稱的包含區(qū)間，也叫做不確定度傳播率，尤其適合于測量模型為線性模型，是目前常用的測量不確定度評估方法。
3.2 GUM法評估過程
計算參數(shù)合成不確定度一般表達式為
(9)
式中：u
(y
)——合成不確定度；f
——被測量y
與直接測得量x
的函數(shù)關系；u
(x
)——分量x
的不確定度。根據(jù)公式(8)可以得到
(10)
根據(jù)公式(9)計算得到各參數(shù)合成標準不確定度表達式為
(11)
B
=(A
A
)A
(12)
公式(7)可以寫為
X
=BS
(13)
可得
(14)
(15)
α
合成標準不確定度在0.005°以內；β
合成標準不確定度基本在10°以內，γ
合成標準不確定度在10°以內，δ
合成標準不確定度在0.04mm以內。3.3 GUM法在該模型評估中的局限性
計算合成標準不確定度的公式(9)忽略了泰勒級數(shù)的高價項以及相關性，當模型為復雜非線性模型時，近似為線性模型存在一定的誤差。輸出量的概率密度函數(shù)(Probability Density Function, PDF)偏離正態(tài)分布或縮放位移t
分布時，概率分布偏離對稱分布，采用GUM法得出的包含區(qū)間存在誤差。由于R
和θ
的測量存在誤差，導致A
自身存在誤差，由最小二乘法解出的矩陣B
存在誤差，最后通過GUM法得出的不確定度存在一定誤差。4 MCM不確定度評估方法
4.1 MCM原理
蒙特卡洛法為測量不確定度評估提供了一個通用的計算方式，適合多個輸入量以及單個輸出量的測量模型，輸入量可以為任意的概率分布，相比GUM法，其對測量模型沒有限制，省去了復雜靈敏度的計算。蒙特卡洛法的核心是對輸入量的PDF重復采樣，即利用對輸入量概率分布的隨機抽樣代入測量模型進行分布傳遞，區(qū)別于GUM法的傳遞不確定度，其傳遞的是數(shù)值特性。計算出輸出量Y的PDF離散采樣值，由于離散采樣值包含輸出量Y的數(shù)值特性，因此可以從離散采樣值中得到輸出量的Y的最佳估計值和Y的標準不確定度，隨著對概率密度函數(shù)的隨機采樣數(shù)M的增加，可提高不確定度、包含區(qū)間等數(shù)值特性的可靠性。蒙特卡洛法的概率分布傳遞原理圖如圖2所示。
表1 8臺次熱標矢量參數(shù)不確定度Tab.1 Uncertaintyofthrustvectorparametersineighttimes試車代號uc(α)/°uc(β)/°uc(γ)/°uc(δ)/mm10.00202.01.70.01820.00201.75.20.01930.00302.13.40.02540.00303.71.20.01850.00200.851.30.01660.00507.51.60.03370.00303.73.90.02980.00100.681.10.0060
圖2 由多輸入量PDF得到單一輸出量PDF的示意圖
4.2 MCM評估過程
(1)定義輸出量Y
，即推力矢量參數(shù)(δ
,α
,β
,γ
)。(2)確定與Y
相關的輸入量X
(F
)、X
(M
)、X
(R
)、X
(θ
)。(3)建立Y
和X
之間的模型Y
=f(X
,X
,X
,X
)。(4)利用可獲信息，為X
設定PDF，如正態(tài)分布、均勻分布等。對于X
和X
可以采用反復動作調整推力架50次，再直接測量長度(X
)和角度(X
)各50次的方法，分別確定X
和X
的PDF。對于X
(F
)和X
(M
)，在確定X
和X
的某一特定狀態(tài)下，采用現(xiàn)場反復施加靜態(tài)力的方法，獲取X
和X
的分布樣本各50次，再根據(jù)樣本的概率統(tǒng)計評估其PDF。(5)根據(jù)蒙特卡洛法的相關國家標準，試驗樣本量的大小M
，本次初步選取經(jīng)驗值10個。(6)從輸入量X
的PDF中隨機抽取M
個樣本(X
,X
,X
,X
)，r
=1,2,...,M
。(7)對每個樣本向量(X
,X
,X
,X
)，計算相應Y
的模型值y=f[(x
,x
,x
,x
)]。(8)將計算得到的M個模型值按照遞增順序排序，得出輸出量Y的離散表示G。
(9)由輸出量的離散表示G計算Y的期望值以及標準差，求出估計值y和不確定度μ(y)。
(10)通過輸出量的離散表示G求出設定包含概率下的包含區(qū)間。
4.3 MCM的MATLAB實現(xiàn)及結果比較
極限情況下，α
=0時，γ
計算結果失真；δ
=0時，β
計算結果失真。按照機械加工的計量精測和往次試驗結果統(tǒng)計，實際α
值大多分布在(0.02～0.2)°以內，合格驗收標準為α
≤0.2°；δ
值大多分布在(0.06～0.95)mm以內，合格驗收標準為δ
≤0.9mm；β
和γ
作為δ
和α
的定位角，存在批次性在類似象限的散布問題。根據(jù)推力矢量計算的數(shù)學模型，給定一組真值：F
=489；(δ
,α
,β
,γ
)=(0.08,0.05,16,200)；對應R
=[418.
9 418.
9 418.
9 418.
9 496.
72 496.
72 496.
72 496.
72]，θ
=[0 30 60 90 90 60 30 0]。計算得到M
=[130.
37 87.
73 21.
58-50.
36-61.
71 27.
34 109.
07 161.
58]。通過MATLAB編寫軟件，固化GUM法流程，導入數(shù)據(jù)，不確定計算結果為：u
(δ
)=0.0115mm，u
(α
)=0.0014°，u
(β
)=4.9699°，u
(γ
)=1.0514°，如圖3所示。依據(jù)概率統(tǒng)計相關理論，擴展因子k
=2時，p
=0.95；k
=3時，p
=0.99。故可將當前的不確定評估結果根據(jù)需要，加權擴展因子k
。
圖3 GUM法計算程序
依據(jù)F
、M
、R
、θ
各自的PDF(F
±0.5%隨機發(fā)散、M
±1%隨機發(fā)散、R
±0.05%隨機發(fā)散、θ
±0.05%隨機發(fā)散)，進行MCM不確定度評估。通過MATLAB實現(xiàn)MCM的軟件實現(xiàn)，采用4.2節(jié)的評估過程，如圖4所示，針對該真值的不確定度評估結果為：u
(δ
)=0.0103mm，u
(α
)=0.0013°，u
(β
)=2.7089°，u
(γ
)=0.5135°，10個樣本散布如圖5所示(橫坐標為數(shù)值，縱坐標為出現(xiàn)次數(shù))。相比GUM法不確定度評估，MCM可以計算任何概率下的包含區(qū)間。MCM與GUM法結果對比如表2。
圖4 MCM計算程序
圖5 結果散布圖
表2 MCM與GUM不確定度評估對比Tab.2 ComparisonofMCMandGUMuncertaintyevaluation(δ,α,β,γ)評估方法u(δ)/mmu(α)/°u(β)/°u(γ)/°(0.08,0.05,16,200)GUM0.0120.00145.01.1MCM0.0100.00132.70.51
4.3.1 其他數(shù)據(jù)的對比驗證
不改變F
，R
，θ
，改變(δ
,α
,β
,γ
)進行驗證，初始值F
=489，R
=[418.
9 418.
9 418.
9 418.
9 496.
72 496.
72 496.
72 496.
72]，θ
=[0 30 60 90 90 60 30 0]，計算M
，結果如表3，不確定度的評估對比如表4。通過數(shù)據(jù)對比得出，MCM評估的不確定度數(shù)值基本小于GUM法計算的不確定度數(shù)值，GUM法相對保守。
5 GUM法與MCM的區(qū)別和聯(lián)系
從該遠地點發(fā)動機推力矢量不確定度評估計算過程來看，GUM法是對多個輸入變量的某一種特定組合進行計算，得到一個輸出結果；而MCM在各個輸入變量PDF的約束下，隨機進行多個輸入變量的M
次采樣組合，計算得出M
個輸出結果，再將M
個輸出結果作為統(tǒng)計樣本，計算樣本的期望和方差，
表3 Mz計算結果Tab.3 CalculationresultofMZ(δ,α,β,γ)Mz/(N·m)(0.06,0.02,16,200)[-38.99-25.58-5.3216.3720.91-7.63-34.12-51.47](0.9,0.02,16,200)[355.86259.7694.05-96.85-92.3191.75251.22343.38](0.06,0.2,16,200)[-643.71-439.24-117.07236.47281.90-140.13-524.62-768.53](0.9,0.2,16,200)[-248.86-153.90-17.70123.25168.68-40.76-239.28-373.69]
表4 MCM與GUM不確定度評估對比Tab.4 ComparisonofMCMandGUMuncertaintyevaluation(δ,α,β,γ)評估方法u(δ)/mmu(α)/°u(β)/°u(γ)/°(0.06,0.02,16,200)GUM0.00360.000402.10.83MCM0.00320.000401.10.40(0.9,0.02,16,200)GUM0.0280.00341.05.9MCM0.0250.00320.522.9(0.06,0.2,16,200)GUM0.0560.0069321.3MCM0.0410.0064530.61(0.9,0.2,16,200)GUM0.0250.00311.00.60MCM0.0220.00290.550.30
