張艷玲 洪 蓓 劉佳佳

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

1 引 言

飛行器質(zhì)量特性主要包括質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量(必要時也包括慣性矩)，是飛行器氣動、彈道、制導(dǎo)、姿控、載荷等專業(yè)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。由于材料、制造、測量等不確定因素的存在，飛行器質(zhì)量特性真實(shí)值與測量值、理論值之間不可避免的存在差異，此外，在飛行器設(shè)計(jì)的初始階段，由于設(shè)計(jì)尚未完全完成，設(shè)計(jì)狀態(tài)不能固化，最終實(shí)現(xiàn)的質(zhì)量特性與初始預(yù)估的質(zhì)量特性之間也會存在差異。因此，飛行器的設(shè)計(jì)必須采用偏差包絡(luò)設(shè)計(jì)，即飛行器設(shè)計(jì)需要對質(zhì)量特性偏差存在一定的容忍程度。

為了評估質(zhì)量特性偏差對相關(guān)專業(yè)設(shè)計(jì)的影響，采用適當(dāng)?shù)姆椒ù_定質(zhì)量特性的標(biāo)準(zhǔn)值、極限值及其偏差分布是飛行器設(shè)計(jì)中重點(diǎn)需要關(guān)注的問題，也是飛行器總體設(shè)計(jì)中的重要內(nèi)容。

在質(zhì)量質(zhì)心偏差分析(包括偏差的分布)研究中，傳統(tǒng)上采用理論分析方法較多，近年來也較多的采用了數(shù)值方法，但相關(guān)文獻(xiàn)對偏差的極限值研究相對較少，特別是對于質(zhì)心偏差極限值，由于其與相關(guān)參數(shù)的非線性關(guān)系，不存在通常意義上的理論解析解，計(jì)算存在一定難度，相關(guān)文獻(xiàn)給出的計(jì)算方法未能較為有效的對其進(jìn)行分析。實(shí)際上，質(zhì)量質(zhì)心偏差的分析問題屬于飛行設(shè)計(jì)中不確定性設(shè)計(jì)的一部分，采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對其研究具有廣闊的前景。

2 質(zhì)量質(zhì)心及其偏差計(jì)算模型

對飛行器建立質(zhì)心計(jì)算坐標(biāo)系，如圖1所示，坐標(biāo)系原點(diǎn)O為飛行器頂點(diǎn)，OX軸沿飛行器縱軸指向尾部為正，OY軸位于飛行器縱向?qū)ΨQ面與OX軸垂直，指向上為正，OZ軸與OX、OY軸構(gòu)成左手坐標(biāo)系。

圖1 質(zhì)心計(jì)算坐標(biāo)系

不失一般性，按艙段進(jìn)行分析，設(shè)飛行器由N個艙段組成，第i個艙段的質(zhì)心為

M

,軸向質(zhì)心位置為

X

，總質(zhì)量為

M

，總質(zhì)心為

X

，則

(1)

(2)

對式(1)兩邊取微分，可得質(zhì)量偏差分布：

(3)

對式(2)，將

M

移到等號左邊，兩邊取微分得到：

(4)

對式(4)移項(xiàng)并將式(3)代入整理得到：

(5)

2.1 質(zhì)量偏差極限值理論近似分析方法

由于式(3)為線性非耦合方程，可以直接計(jì)算

M

的極限值，為：

(6)

同時，按概率論，若認(rèn)為

M

之間是獨(dú)立不相關(guān)的，且服從正態(tài)分布，可取其均方根作為偏差極限值的估計(jì)值，為：

(7)

2.2 質(zhì)心偏差極限值理論近似分析方法

不同于質(zhì)量計(jì)算公式，因?yàn)橘|(zhì)心計(jì)算公式，即式(2)和式(5)為非線性耦合方程，無法直接計(jì)算質(zhì)心

X

的極限值。一種偏理論分析方法可采用將按

δX

按質(zhì)量

M

進(jìn)行加權(quán)平均，并取其線性疊加作為偏差極限值的估計(jì)值，即：

((

δM

)|(

X

-

X

)|+

M

(

δX

))

(8)

若認(rèn)為

M

、

X

是不相關(guān)的且服從正態(tài)分布，可取其均方根作為偏差極限值的估計(jì)值，為：(

δX

)=

(9)

文獻(xiàn)[2]給出的一種直接由各艙段質(zhì)心偏差取均方根計(jì)算全彈質(zhì)心偏差的估計(jì)值，如式(10)所示，由于其沒有考慮質(zhì)量的權(quán)重，使用不多。

(10)

式(8)、(9)只是一種近似解，若采用數(shù)值方法，可以直接獲得高精度的數(shù)值解。

2.3 質(zhì)心偏差極限值數(shù)值分析方法

設(shè)各艙段質(zhì)量

M

的下限值、中間值、上限值分別為

M

、

M

、

M

，各艙段質(zhì)心

X

的下限值、中間值、上限值分別為

X

、

X

、

X

，質(zhì)心的極限值問題轉(zhuǎn)換為求解在各艙段所有質(zhì)量、質(zhì)心組合情況下的合成總質(zhì)量及質(zhì)心。

主要方法有：

(1)窮舉法：

窮舉法用于求出各艙段質(zhì)量、質(zhì)心取要求值的所有情況，計(jì)算所有組合情況下的值再比較得到極限值。針對中值、下限、上限共3種情況，總組合數(shù)量

N

為：

N

=3^(2

N

)

(11)

可見總組合數(shù)量為指數(shù)級別增長，計(jì)算量較大，但好處在于思路簡單，窮舉所有情況后一定可以獲得邊界值(即極限值)。

(2)蒙特卡洛方法：

蒙特卡洛方法針對不確定性參數(shù)取值按一定分布規(guī)律進(jìn)行抽樣，計(jì)算各個樣本點(diǎn)對應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)值，由此依據(jù)不確定性變量信息來分析系統(tǒng)響應(yīng)的概率分布特征以及其他統(tǒng)計(jì)量。

對本文討論的質(zhì)量質(zhì)心偏差問題，可先假設(shè)質(zhì)量質(zhì)心的概率分布，抽樣后計(jì)算合成的總質(zhì)量和質(zhì)心。根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，艙段的質(zhì)量、質(zhì)心可認(rèn)為服從正態(tài)(高斯)分布，質(zhì)量質(zhì)心統(tǒng)計(jì)意義上的偏差極限值可取為3

σ

值。

從理論上講，當(dāng)取樣數(shù)量足夠大時，不但可獲得偏差極限值的近似值，還可以獲得偏差的概率分布值，這是蒙特卡洛方法的主要優(yōu)點(diǎn)之一。但是由于概率的存在，取到邊界極限值的概率較小，獲得質(zhì)心邊界值(即真實(shí)極限值，接近100%概率)的計(jì)算效率不高。

因此，在分析質(zhì)量質(zhì)心偏差極限值時，考慮到正態(tài)分布邊界情況概率密度較低，可以假設(shè)質(zhì)量質(zhì)心分布為均勻分布，人為提高極限值的出現(xiàn)概率。

(3)數(shù)值優(yōu)化方法：

按照最優(yōu)化理論，可將極限值問題求解轉(zhuǎn)換為求在艙段質(zhì)量、質(zhì)心分布約束下的總質(zhì)量、總質(zhì)心的最優(yōu)化問題。

總質(zhì)量是各艙段質(zhì)量的線性組合，直接取艙段邊界極值即可獲得邊界值。

總質(zhì)心由于是各艙段質(zhì)量的非線性組合，需要進(jìn)行數(shù)值求解，數(shù)學(xué)模型為：

(12)

式(12)是一個標(biāo)準(zhǔn)的單目標(biāo)多約束最優(yōu)化問題，其中約束僅僅是區(qū)間約束，是一類較為簡單的最優(yōu)化問題，優(yōu)化求解方法較多，收斂也較快。

3 典型飛行器極限值分析

3.1 典型飛行器長度及質(zhì)量參數(shù)

采用文獻(xiàn)給出的一種具有4個艙段的空空導(dǎo)彈各艙段長度、質(zhì)量數(shù)據(jù)作為計(jì)算輸入數(shù)據(jù)，并按工程經(jīng)驗(yàn)給出質(zhì)心、質(zhì)心偏差及質(zhì)量偏差的假設(shè)值，如表1所示。表中偏差均可取正負(fù)。

表1 艙段及全彈長度及質(zhì)量參數(shù)Tab.1 MissileLength,Cabin sLengthandMassParameters艙段艙段長度/m艙段質(zhì)量/kg艙段質(zhì)心/m艙段質(zhì)心偏差/m艙段質(zhì)量偏差/kg艙段10.4076.10.20350.010.3艙段20.33619.70.5750.011.0艙段30.3556.50.92050.010.3艙段42.552127.72.3740.025.0全彈3.650160.02.0107——

采用第2章所述方法，對偏差極限值(只考慮最小值，考慮最大值時方法類似)進(jìn)行計(jì)算分析如下。

3.2 窮舉法計(jì)算值

采用窮舉法對所有可能情況進(jìn)行窮舉，總可能數(shù)目為6561種，計(jì)算的得到的“質(zhì)心-質(zhì)量”聯(lián)合分布如圖2所示。由圖2可得質(zhì)量、質(zhì)心的極限值。

圖2 質(zhì)心-質(zhì)量窮舉對應(yīng)情況

3.3 蒙特卡洛法計(jì)算

假設(shè)艙段質(zhì)量偏差和質(zhì)心偏差分別為正態(tài)和均勻分布兩種情況，采用蒙特卡洛法對全彈質(zhì)心的最小值進(jìn)行仿真，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示，分布如圖3和圖4所示。對質(zhì)量、質(zhì)心直接進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可以得到對應(yīng)要求概率(例如工程常用的3σ極限)的質(zhì)量、質(zhì)心數(shù)據(jù)。

圖3 全彈質(zhì)量和質(zhì)心分布柱狀圖(正態(tài)分布假設(shè))

圖4 全彈質(zhì)量和質(zhì)心分布柱狀圖(均勻分布假設(shè))

3.4 最優(yōu)化方法

采用Matlab中求最小值尋優(yōu)函數(shù)fmincon計(jì)算質(zhì)心極限值。其中約束為圍繞中值的正負(fù)偏差范圍。

3.5 計(jì)算結(jié)果匯總及比對分析

采用不同方法計(jì)算的全彈質(zhì)量、質(zhì)心極限值綜合對比如表3所示。

由表3可見：

(1)最優(yōu)化方法、窮舉法求解質(zhì)心極限值效果最好，基于均勻分布的蒙特卡洛方法也能較為接近的求解得到質(zhì)心極限值。

(2)采用式(9)均方合成理論近似方法求出的極限值，與采用蒙特卡洛方法取正態(tài)分布(3σ極限)求出的極限值是一致的，均為概率值，但與最優(yōu)化方法、窮舉法求解的質(zhì)心真實(shí)極限值不一致。在采用概率設(shè)計(jì)方法時可采用3σ極限值，在進(jìn)行包絡(luò)設(shè)計(jì)時可采用最優(yōu)化方法、窮舉法求解的質(zhì)心真實(shí)極限值。

表2 全彈質(zhì)心最小值蒙特卡洛仿真結(jié)果Tab.2 MonteCarloSimulationResultsoftheMinimumValueoftheMissileCentroid正態(tài)分布均勻分布仿真次數(shù)全彈質(zhì)心最小值/m對應(yīng)質(zhì)心最小值的全彈質(zhì)量/kg全彈質(zhì)心最小值/m對應(yīng)質(zhì)心最小值的全彈質(zhì)量/kg10^41.9834159.84471.9737156.579310^51.9779155.19791.9713156.435310^61.9763158.56631.9698156.3973

(3)從計(jì)算結(jié)果也可見，真實(shí)極限值出現(xiàn)概率很低，設(shè)計(jì)較為保守，工程上取3σ極限就足夠精確。

表3 全彈質(zhì)心極限值Tab.3 UltimateValueofMissileCentroid序號方法全彈質(zhì)心最小值/m對應(yīng)質(zhì)心最小值的質(zhì)心偏差/m對應(yīng)質(zhì)心最小值的全彈質(zhì)量/kg1理論近似-線性組合1.96700.0437—2理論近似-均方合成1.98880.0219—3理論近似-直接均方合成—0.0265—4窮舉法1.96650.0442156.65蒙特卡洛方法-正態(tài)分布1.97630.0328158.56636蒙特卡洛方法-正態(tài)分布(3σ對應(yīng)值)1.98870.0220—7蒙特卡洛方法-均勻分布1.96980.0409156.39738最優(yōu)化方法1.96650.0442156.6

3 結(jié)束語

本文針對飛行器的質(zhì)量質(zhì)心偏差分析問題，首先經(jīng)推導(dǎo)給出了質(zhì)心偏差的理論計(jì)算公式，通過對理論公式的分析指出了其不足，隨后分析了質(zhì)心偏差分析的蒙特卡洛方法、窮舉法和最優(yōu)化方法，最后針對一種典型飛行器，對各種方法進(jìn)行了實(shí)例分析。

通過對計(jì)算結(jié)果的討論，說明蒙特卡洛方法對偏差的分布較為有效，而最優(yōu)化方法和窮舉法對偏差極限分析效果最好。