張艷玲 洪 蓓 劉佳佳

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

1 引 言

飛行器質量特性主要包括質量、質心、轉動慣量(必要時也包括慣性矩)，是飛行器氣動、彈道、制導、姿控、載荷等專業(yè)設計的重要依據(jù)。由于材料、制造、測量等不確定因素的存在，飛行器質量特性真實值與測量值、理論值之間不可避免的存在差異，此外，在飛行器設計的初始階段，由于設計尚未完全完成，設計狀態(tài)不能固化，最終實現(xiàn)的質量特性與初始預估的質量特性之間也會存在差異。因此，飛行器的設計必須采用偏差包絡設計，即飛行器設計需要對質量特性偏差存在一定的容忍程度。

為了評估質量特性偏差對相關專業(yè)設計的影響，采用適當?shù)姆椒ù_定質量特性的標準值、極限值及其偏差分布是飛行器設計中重點需要關注的問題，也是飛行器總體設計中的重要內容。

在質量質心偏差分析(包括偏差的分布)研究中，傳統(tǒng)上采用理論分析方法較多，近年來也較多的采用了數(shù)值方法，但相關文獻對偏差的極限值研究相對較少，特別是對于質心偏差極限值，由于其與相關參數(shù)的非線性關系，不存在通常意義上的理論解析解，計算存在一定難度，相關文獻給出的計算方法未能較為有效的對其進行分析。實際上，質量質心偏差的分析問題屬于飛行設計中不確定性設計的一部分，采用優(yōu)化設計方法對其研究具有廣闊的前景。

2 質量質心及其偏差計算模型

對飛行器建立質心計算坐標系，如圖1所示，坐標系原點O為飛行器頂點，OX軸沿飛行器縱軸指向尾部為正，OY軸位于飛行器縱向對稱面與OX軸垂直，指向上為正，OZ軸與OX、OY軸構成左手坐標系。

圖1 質心計算坐標系

不失一般性，按艙段進行分析，設飛行器由N個艙段組成，第i個艙段的質心為

M

,軸向質心位置為

X

，總質量為

M

，總質心為

X

，則

(1)

(2)

對式(1)兩邊取微分，可得質量偏差分布：

(3)

對式(2)，將

M

移到等號左邊，兩邊取微分得到：

(4)

對式(4)移項并將式(3)代入整理得到：

(5)

2.1 質量偏差極限值理論近似分析方法

由于式(3)為線性非耦合方程，可以直接計算

M

的極限值，為：

(6)

同時，按概率論，若認為

M

之間是獨立不相關的，且服從正態(tài)分布，可取其均方根作為偏差極限值的估計值，為：

(7)

2.2 質心偏差極限值理論近似分析方法

不同于質量計算公式，因為質心計算公式，即式(2)和式(5)為非線性耦合方程，無法直接計算質心

X

的極限值。一種偏理論分析方法可采用將按

δX

按質量

M

進行加權平均，并取其線性疊加作為偏差極限值的估計值，即：

((

δM

)|(

X

-

X

)|+

M

(

δX

))

(8)

若認為

M

、

X

是不相關的且服從正態(tài)分布，可取其均方根作為偏差極限值的估計值，為：(

δX

)=

(9)

文獻[2]給出的一種直接由各艙段質心偏差取均方根計算全彈質心偏差的估計值，如式(10)所示，由于其沒有考慮質量的權重，使用不多。

(10)

式(8)、(9)只是一種近似解，若采用數(shù)值方法，可以直接獲得高精度的數(shù)值解。

2.3 質心偏差極限值數(shù)值分析方法

設各艙段質量

M

的下限值、中間值、上限值分別為

M

、

M

、

M

，各艙段質心

X

的下限值、中間值、上限值分別為

X

、

X

、

X

，質心的極限值問題轉換為求解在各艙段所有質量、質心組合情況下的合成總質量及質心。

主要方法有：

(1)窮舉法：

窮舉法用于求出各艙段質量、質心取要求值的所有情況，計算所有組合情況下的值再比較得到極限值。針對中值、下限、上限共3種情況，總組合數(shù)量

N

為：

N

=3^(2

N

)

(11)

可見總組合數(shù)量為指數(shù)級別增長，計算量較大，但好處在于思路簡單，窮舉所有情況后一定可以獲得邊界值(即極限值)。

(2)蒙特卡洛方法：

蒙特卡洛方法針對不確定性參數(shù)取值按一定分布規(guī)律進行抽樣，計算各個樣本點對應的系統(tǒng)響應值，由此依據(jù)不確定性變量信息來分析系統(tǒng)響應的概率分布特征以及其他統(tǒng)計量。

對本文討論的質量質心偏差問題，可先假設質量質心的概率分布，抽樣后計算合成的總質量和質心。根據(jù)大量的統(tǒng)計結果，艙段的質量、質心可認為服從正態(tài)(高斯)分布，質量質心統(tǒng)計意義上的偏差極限值可取為3

σ

值。

從理論上講，當取樣數(shù)量足夠大時，不但可獲得偏差極限值的近似值，還可以獲得偏差的概率分布值，這是蒙特卡洛方法的主要優(yōu)點之一。但是由于概率的存在，取到邊界極限值的概率較小，獲得質心邊界值(即真實極限值，接近100%概率)的計算效率不高。

因此，在分析質量質心偏差極限值時，考慮到正態(tài)分布邊界情況概率密度較低，可以假設質量質心分布為均勻分布，人為提高極限值的出現(xiàn)概率。

(3)數(shù)值優(yōu)化方法：

按照最優(yōu)化理論，可將極限值問題求解轉換為求在艙段質量、質心分布約束下的總質量、總質心的最優(yōu)化問題。

總質量是各艙段質量的線性組合，直接取艙段邊界極值即可獲得邊界值。

總質心由于是各艙段質量的非線性組合，需要進行數(shù)值求解，數(shù)學模型為：

(12)

式(12)是一個標準的單目標多約束最優(yōu)化問題，其中約束僅僅是區(qū)間約束，是一類較為簡單的最優(yōu)化問題，優(yōu)化求解方法較多，收斂也較快。

3 典型飛行器極限值分析

3.1 典型飛行器長度及質量參數(shù)

采用文獻給出的一種具有4個艙段的空空導彈各艙段長度、質量數(shù)據(jù)作為計算輸入數(shù)據(jù)，并按工程經(jīng)驗給出質心、質心偏差及質量偏差的假設值，如表1所示。表中偏差均可取正負。

表1 艙段及全彈長度及質量參數(shù)Tab.1 MissileLength,Cabin sLengthandMassParameters艙段艙段長度/m艙段質量/kg艙段質心/m艙段質心偏差/m艙段質量偏差/kg艙段10.4076.10.20350.010.3艙段20.33619.70.5750.011.0艙段30.3556.50.92050.010.3艙段42.552127.72.3740.025.0全彈3.650160.02.0107——

采用第2章所述方法，對偏差極限值(只考慮最小值，考慮最大值時方法類似)進行計算分析如下。

3.2 窮舉法計算值

采用窮舉法對所有可能情況進行窮舉，總可能數(shù)目為6561種，計算的得到的“質心-質量”聯(lián)合分布如圖2所示。由圖2可得質量、質心的極限值。

圖2 質心-質量窮舉對應情況

3.3 蒙特卡洛法計算

假設艙段質量偏差和質心偏差分別為正態(tài)和均勻分布兩種情況，采用蒙特卡洛法對全彈質心的最小值進行仿真，統(tǒng)計結果如表2所示，分布如圖3和圖4所示。對質量、質心直接進行統(tǒng)計，可以得到對應要求概率(例如工程常用的3σ極限)的質量、質心數(shù)據(jù)。

圖3 全彈質量和質心分布柱狀圖(正態(tài)分布假設)

圖4 全彈質量和質心分布柱狀圖(均勻分布假設)

3.4 最優(yōu)化方法

采用Matlab中求最小值尋優(yōu)函數(shù)fmincon計算質心極限值。其中約束為圍繞中值的正負偏差范圍。

3.5 計算結果匯總及比對分析

采用不同方法計算的全彈質量、質心極限值綜合對比如表3所示。

由表3可見：

(1)最優(yōu)化方法、窮舉法求解質心極限值效果最好，基于均勻分布的蒙特卡洛方法也能較為接近的求解得到質心極限值。

(2)采用式(9)均方合成理論近似方法求出的極限值，與采用蒙特卡洛方法取正態(tài)分布(3σ極限)求出的極限值是一致的，均為概率值，但與最優(yōu)化方法、窮舉法求解的質心真實極限值不一致。在采用概率設計方法時可采用3σ極限值，在進行包絡設計時可采用最優(yōu)化方法、窮舉法求解的質心真實極限值。

表2 全彈質心最小值蒙特卡洛仿真結果Tab.2 MonteCarloSimulationResultsoftheMinimumValueoftheMissileCentroid正態(tài)分布均勻分布仿真次數(shù)全彈質心最小值/m對應質心最小值的全彈質量/kg全彈質心最小值/m對應質心最小值的全彈質量/kg10^41.9834159.84471.9737156.579310^51.9779155.19791.9713156.435310^61.9763158.56631.9698156.3973

(3)從計算結果也可見，真實極限值出現(xiàn)概率很低，設計較為保守，工程上取3σ極限就足夠精確。

表3 全彈質心極限值Tab.3 UltimateValueofMissileCentroid序號方法全彈質心最小值/m對應質心最小值的質心偏差/m對應質心最小值的全彈質量/kg1理論近似-線性組合1.96700.0437—2理論近似-均方合成1.98880.0219—3理論近似-直接均方合成—0.0265—4窮舉法1.96650.0442156.65蒙特卡洛方法-正態(tài)分布1.97630.0328158.56636蒙特卡洛方法-正態(tài)分布(3σ對應值)1.98870.0220—7蒙特卡洛方法-均勻分布1.96980.0409156.39738最優(yōu)化方法1.96650.0442156.6

3 結束語

本文針對飛行器的質量質心偏差分析問題，首先經(jīng)推導給出了質心偏差的理論計算公式，通過對理論公式的分析指出了其不足，隨后分析了質心偏差分析的蒙特卡洛方法、窮舉法和最優(yōu)化方法，最后針對一種典型飛行器，對各種方法進行了實例分析。

通過對計算結果的討論，說明蒙特卡洛方法對偏差的分布較為有效，而最優(yōu)化方法和窮舉法對偏差極限分析效果最好。