張金濤 彭亦童 高 沖 張鐵犁 繆寅宵 葛 萌 苗 潤(rùn) 李 恩

(1.電子科技大學(xué),成都 611731；2.北京航天計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所,北京 100076)

1 引 言

同軸終端開路探針由于測(cè)試系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，廣泛的應(yīng)用在固體樣品、液體樣品和氣體樣品的復(fù)介電常數(shù)測(cè)試當(dāng)中，尤其是在測(cè)試液體材料和生物組織材料中有著重要的應(yīng)用。因此，一直以來(lái)基于同軸終端開路探針測(cè)試樣品復(fù)介電常數(shù)的方法也發(fā)展和衍生了很多種，比如最早使用的電容模型，由于該方法中的等效模型沒(méi)有考慮材料損耗，一般只適用于較低的工作頻率；除此以外，虛擬線模型將加載待測(cè)材料的開路探針，等效為傳輸線長(zhǎng)度加長(zhǎng)一段，不同待測(cè)材料增加的長(zhǎng)度不同，利用傳輸線基本原理可以得到待測(cè)復(fù)介電常數(shù)的表達(dá)式，還有場(chǎng)解法根據(jù)加載樣品后的同軸探針場(chǎng)分布及邊界條件求得樣品復(fù)數(shù)介電常數(shù)，然而這兩種方法在求解上會(huì)遇到比較多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如虛擬線模型會(huì)遇到解的判定問(wèn)題(關(guān)于復(fù)介電常數(shù)的非線性方程解不唯一)，要使用數(shù)值的方法，多次迭代最終求出穩(wěn)定的解，這就帶來(lái)了求解上的困難；還有可以利用同軸諧振法，即在加載樣品的開路面上形成諧振，等效為相應(yīng)的諧振回路，然后計(jì)算出介電參數(shù)，不過(guò)對(duì)于一定尺寸的同軸終端開路探針來(lái)說(shuō)，其諧振頻點(diǎn)固定且有限，所以這種方法也僅僅可以用于有限點(diǎn)的點(diǎn)頻測(cè)試。本文采用的是同軸終端開路探針的輻射模型，該模型利用了天線輻射的一些分析方法，很好的模擬了同軸開路探針終端開路面上場(chǎng)的輻射和分布情況，并且經(jīng)過(guò)電磁仿真軟件HFSS仿真計(jì)算過(guò)，對(duì)于一定尺寸的同軸終端開路探針，在0.1-60GHz的頻段范圍內(nèi)掃頻測(cè)試，可以穩(wěn)定的求解出待測(cè)樣品的復(fù)介電常數(shù)值。本次文章僅僅討論在 1-18GHz范圍內(nèi)的定制終端開路探針的實(shí)驗(yàn)測(cè)試，分析探針在加法蘭和不加法蘭情況下加載待測(cè)樣品，以及插入待測(cè)液體液面下不同深度時(shí),對(duì)復(fù)介電常數(shù)測(cè)試結(jié)果的影響。

2 輻射模型的測(cè)試原理

如圖1所示，圖1.1和1.2分別為終端開路探針開路端加載固體和液體材料的原理圖，如果直接通過(guò)場(chǎng)分析過(guò)程是十分繁瑣復(fù)雜的。然而，這種測(cè)試模型可以等效為一個(gè)簡(jiǎn)單的電路模型如圖2所示。

圖1 測(cè)試固體與液體樣品的探針模型

圖2 加載樣品的開路探針等效電路模型

在該等效電路圖中，

C

——表示同軸終端開路探針自身所具有的分布電容；

C

、

Y

——分別表示加載的樣品與探針作用的時(shí)候等效出來(lái)的電容和電導(dǎo)；

Z

——表示傳輸線特性阻抗；

w

——表示工作角頻率；該等效電路模型從左邊看的輸入阻抗為：

(1)

進(jìn)一步寫成相對(duì)于同軸傳輸線的歸一化導(dǎo)納的形式：

(2)

上面(2)中

Y

——傳輸線歸一化導(dǎo)納。根據(jù)終端加載有耗材料的同軸開路探針相當(dāng)于一個(gè)放在有電損耗，不考慮磁損耗的介質(zhì)里內(nèi)的天線。并且有變換關(guān)系：

(3)

將(2)式代入該變換關(guān)系可以得到：

(4)

即：

(5)

其中

K

1,

K

2,

K

3——為待定常數(shù)，可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)樣品的測(cè)試獲得。具體是將測(cè)試數(shù)據(jù)代入式(1)，求解一個(gè)與頻率相關(guān)的線性方程組，最后可以求出每一個(gè)頻率點(diǎn)唯一對(duì)應(yīng)的

K

1,

K

2,

K

3。顯然式(1)中的

ε

，在用標(biāo)準(zhǔn)樣品求解

K

1,

K

2,

K

3的時(shí)候，就是這三種標(biāo)準(zhǔn)樣品的復(fù)介電常數(shù)，在已知

K

1,

K

2,

K

3計(jì)算待測(cè)樣品時(shí)，為待測(cè)樣品的復(fù)介電常數(shù)。

如圖3所示，1端面為探針與矢網(wǎng)電纜連接的端口，2端面為開路端口用于加載測(cè)試樣品。在測(cè)試中，可以通過(guò)矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀的機(jī)械校準(zhǔn)，校準(zhǔn)到端口1。根據(jù)有耗傳輸線基本理論，可以知道在1端口接收到的反射回來(lái)的信號(hào)為

圖3 簡(jiǎn)化分析模型

S

=Γ

e

-2

e

(-2)

(6)

其中

D

——探針開路端到矢網(wǎng)連接電纜的長(zhǎng)度，即端口面1到2的物理距離；

φ

——開路端反射信號(hào)的相位；

α

——有耗傳輸線(探針)的衰減常數(shù)；

β

——微波信號(hào)在有耗傳輸線(探針)里面的傳播常數(shù)。

根據(jù)傳輸線理論可以得出，2端口的反射系數(shù)為：

(7)

將阻抗用歸一化導(dǎo)納表示可得：

(8)

將(5)代入(8)式可得：

(9)

由于計(jì)算要的是端2的反射信號(hào)，端口2到端口1，因?yàn)閷?shí)際使用的電纜都不是理想無(wú)耗的傳輸線，而在有耗傳輸線中傳輸?shù)碾姶判盘?hào)會(huì)產(chǎn)生一定的幅度損耗和相位偏移，并且這個(gè)幅度損耗和相位偏移都是頻率的函數(shù)，因此，會(huì)隨著頻率的增加，而不斷增大。實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí)，通過(guò)在端口2加短路件，把測(cè)得的1端口數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)換成需要的2端口數(shù)據(jù)。

即，由(10)

可以算出幅度損耗和相位偏移的具體值為：

(11)

把這個(gè)幅度損耗和相位偏移人為補(bǔ)償以后可得：

(12)

最后化簡(jiǎn)可得：

(13)

這樣在已知短路時(shí)2端口各頻點(diǎn)的反射系數(shù)——

S

′，以及參數(shù)

K

1，

K

2，

K

3就可以通過(guò)求解一個(gè)非線性方程，求解出待測(cè)樣品的復(fù)介電常數(shù)。后續(xù)實(shí)驗(yàn)測(cè)試過(guò)程中，具體操作是通過(guò)空氣、去離子水、無(wú)水甲醇等已知復(fù)介電常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)樣品校準(zhǔn)，獲得參數(shù)

K

，然后進(jìn)行待測(cè)樣品復(fù)介電常數(shù)的測(cè)試和計(jì)算。

3 法蘭和插入深度的理論分析

由于具體測(cè)試背景需求的不同，對(duì)探針各方面要求也會(huì)有所不同，比如在測(cè)固體樣品的時(shí)候，同軸探針必須具有一定的強(qiáng)度，否則開路端面無(wú)法和待測(cè)固體樣品的表面進(jìn)行緊密的貼合，一定程度上會(huì)造成場(chǎng)的泄漏，從而造成測(cè)試結(jié)果的波動(dòng)性比較差大。為了解決這個(gè)問(wèn)題，實(shí)際中考慮將探針外加一個(gè)金屬法蘭包裹著原來(lái)的同軸終端開路探針，如圖4所示，這樣就可以保證在測(cè)試樣品的時(shí)候，不會(huì)由于探針的剛性不夠，而造成在加載樣品的時(shí)候貼合不緊密，而額外引入測(cè)量的不確定性。

圖4 加法蘭的同軸探針加載待測(cè)樣品材料

在法蘭盤的尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于同軸探針的尺寸的時(shí)候，可以把法蘭盤看做理想無(wú)限大的導(dǎo)體，借助等效原理可以求出開路同軸線周圍的場(chǎng)分布。即：

(14)

(15)

(16)

最后積分可得:

(17)

其中

θ

為以同軸開路面所在圓面為底面的柱坐標(biāo)系下，場(chǎng)點(diǎn)與

z

方向的夾角?？梢钥闯鲈陔妶?chǎng)在垂直于開口面的方向最大，即電場(chǎng)集中在開口端口，且隨著距離增大不斷衰減。

S

——表示無(wú)限大的導(dǎo)體平面;

a

——探針內(nèi)導(dǎo)體半徑；b——探針外導(dǎo)體半徑；

U

——表示內(nèi)外導(dǎo)體的電壓。

由以上的場(chǎng)分布公式，可以發(fā)現(xiàn)場(chǎng)主要集中在開路面上很小的區(qū)域，在同軸側(cè)壁上幾乎沒(méi)有電磁能量，因此插入深度并不會(huì)影響端面的電磁能量的分布，所以插入深度，對(duì)測(cè)試結(jié)果影響會(huì)比較小。并且由于場(chǎng)主要是集中在同軸介質(zhì)層的區(qū)域所在的端面，且隨著半徑增大而迅速衰減，因此加法蘭與不加法蘭的同軸終端開路探針對(duì)測(cè)試結(jié)果影響并不大。

4 實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果

首先，由于生理鹽水與人體織液成分比較相似，測(cè)試生理鹽水的復(fù)介電常數(shù)對(duì)于生物組織測(cè)試具有相當(dāng)重要的意義。而從文獻(xiàn)中我們了解到生理鹽水的復(fù)介電常數(shù)可以用一些數(shù)學(xué)模型來(lái)擬合，并且從該文獻(xiàn)中了解到在低濃度的Nacl溶液，用德拜模型來(lái)擬合其復(fù)介電常數(shù)會(huì)比Co-Co模型去擬合更加準(zhǔn)確有效，而生理鹽水就是質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.9%的Nacl溶液，從而可以選擇用德拜模型去擬合25℃生理鹽水的復(fù)介電常數(shù)。而生理鹽水的德拜模型，即:

(18)

其中

ε

——頻率趨于無(wú)窮大的時(shí)候的復(fù)介電常數(shù)，

ε

——靜態(tài)復(fù)介電常數(shù)(接近于直流)，

τ

——馳豫時(shí)間，

σ

——靜態(tài)電導(dǎo)率。

ε

——真空介電常數(shù)，

w

——角頻率。根據(jù)該公式，當(dāng)里面的參數(shù)已知時(shí)，生理鹽水在每一個(gè)頻點(diǎn)的理論參考值就唯一確定下來(lái)了。

表1 25℃生理鹽水德拜模型的參數(shù)[21][22][23]Tab.1 ParametersofDebyemodelof25℃normalsaline[21][22][23]變量εr∞τσcεrs25℃值75.328.101.544.5單位-ps--

將表中的參數(shù)帶入公式(18)，就可以得出生理鹽水在25℃的理論參考復(fù)介電常數(shù)值了。為了避免由于溫度引起的誤差，測(cè)試時(shí)控制室溫在25℃左右的進(jìn)行的以下幾組測(cè)試。

由圖5中，可以發(fā)現(xiàn)基于輻射模型的同軸終端開路探針在加法蘭與不加法蘭的情況下，測(cè)試25℃的生理鹽水，測(cè)試結(jié)果顯示，復(fù)介電常數(shù)實(shí)部測(cè)試曲線(測(cè)試曲線為1-18GHz頻段內(nèi)掃頻401個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖)基本完全重合，兩種情況復(fù)介電常數(shù)的虛部測(cè)試曲線(測(cè)試曲線為1-18GHz頻段內(nèi)掃頻401個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖)也基本完全重合。根據(jù)該測(cè)試結(jié)果，復(fù)介電常數(shù)實(shí)部測(cè)試值與25℃生理鹽水的德拜模型相比誤差在2%-6%之間，復(fù)介電常數(shù)虛部測(cè)試值與25℃生理鹽水德拜模型相比誤差在5%-10%之間。并且可以看出，測(cè)試曲線在低頻有比較多的抖動(dòng)，在高頻的區(qū)域測(cè)試結(jié)果比較平滑，這可能是由于測(cè)試剛開始的時(shí)候，線纜、探針抖動(dòng)或者低頻的繞射造成的。

圖5 加法蘭與不加法蘭測(cè)試生理鹽水

如圖6所示，為基于輻射模型同軸探針在加法蘭與不加法蘭的情況下分別測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)樣品石英(理論參考介電為3.81)和聚四氟乙烯介電(理論參考介電為2.066)的結(jié)果。可以看出，兩種標(biāo)準(zhǔn)樣品在兩種不同的測(cè)試條件下測(cè)試結(jié)果也是基本一致的。并且，可以看出，由于加了法蘭的終端開路探針強(qiáng)度會(huì)提高一點(diǎn)，測(cè)試面與固態(tài)材料接觸的更好一點(diǎn)，所以測(cè)試結(jié)果更加穩(wěn)定一些。測(cè)試石英與聚四氟乙烯介電常數(shù)與理論參考介電常數(shù)相比,誤差都在6%以內(nèi)。其中測(cè)試虛線均為1-18GHz頻段內(nèi)掃頻401個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖。

圖6 測(cè)石英和聚四氟乙烯

另外如圖7所示，圖中曲線為將同軸終端開路探針插入待測(cè)液體液面以下不同深度的測(cè)試結(jié)果。具體分別是探針插入液面以下5mm、10mm、15mm、20mm的情況下進(jìn)行測(cè)試，可以發(fā)現(xiàn)這四條測(cè)試曲線的復(fù)介電常數(shù)的實(shí)部、虛部分別幾乎完全重合，與德拜模型給出的理論參考值也很接近。誤差同上組實(shí)驗(yàn)類似，即復(fù)介電常數(shù)實(shí)部與25℃生理鹽水德拜模型相比誤差在5%以內(nèi)，復(fù)介電常數(shù)虛部與25℃生理鹽水德拜模型相比誤差在10%以內(nèi)。圖中測(cè)試曲線均為1-18GHz頻段內(nèi)掃頻401個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖。

圖7 探針插入生理鹽水不同深度測(cè)試

5 結(jié)束語(yǔ)

經(jīng)過(guò)以上分析與實(shí)驗(yàn)實(shí)際測(cè)試，很明顯可以發(fā)現(xiàn)，在基于同軸終端開路探針的輻射模型計(jì)算下，在進(jìn)行材料復(fù)介電常數(shù)的測(cè)試的過(guò)程中，為同軸終端開路探針加一個(gè)足夠大的金屬法蘭不會(huì)對(duì)測(cè)試結(jié)果造成比較大的影響。相反，在測(cè)試固體材料的時(shí)候，因?yàn)榧恿朔ㄌm的終端開路探針強(qiáng)度更高，可以使測(cè)試端面與材料更好的接觸，測(cè)試穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性略好于不加法蘭的終端開路探針。另外，實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了同軸終端開路探針基于輻射模型下，測(cè)試探針插入待測(cè)液體液面下的不同深度，對(duì)液體復(fù)介電常數(shù)測(cè)試結(jié)果幾乎沒(méi)有影響，這對(duì)于生物組織方面測(cè)試，以及各種液體測(cè)試場(chǎng)景具有重要的意義和作用。但是從以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線，可以發(fā)現(xiàn)，在低頻測(cè)試抖動(dòng)比較多，這些抖動(dòng)可能源于實(shí)際測(cè)試的系統(tǒng)，也可能源于模型本身，下一步需要進(jìn)一步的研究，解決低頻的不穩(wěn)定性，使得測(cè)試結(jié)果更加穩(wěn)定、有效。