張寶丹 劉小紅
用列舉法求概率(樹狀圖)是人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第25章第2節(jié)第3課時(shí)內(nèi)容.學(xué)生學(xué)習(xí)這一內(nèi)容之前已經(jīng)了解隨機(jī)事件、概率等概念,知道用列表法求概率.本節(jié)課學(xué)習(xí)用樹狀圖法求概率,教學(xué)伊始從學(xué)生熟悉的情景切入,然后引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流,讓學(xué)生掌握用樹狀圖求概率的方法,解決實(shí)際問題,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決較復(fù)雜問題的能力.
一、創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)興趣
師:請(qǐng)同學(xué)們觀看小視頻.(播放動(dòng)畫視頻:小丁和哥哥去上學(xué),過馬路遇到紅綠燈,能夠做到遵守交通規(guī)則)看完視頻,你發(fā)現(xiàn)了什么?
生1:小丁和哥哥看見紅燈就停下,看見綠燈就向前走.
生2:小丁和哥哥遵守交通規(guī)則.
生3:小丁和哥哥上學(xué)要經(jīng)過兩個(gè)十字路口,每個(gè)路口遇到紅燈和綠燈的機(jī)會(huì)相同,求小丁和哥哥上學(xué)時(shí)經(jīng)過每個(gè)路口都是綠燈的概率.
師:同學(xué)們觀察得真仔細(xì)!那么,概率是多少呢?
生:[1/4].
師:你是怎么知道的?
生:用列表法計(jì)算.
師:你是怎么想到用列表法計(jì)算的呢?
生:當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素,并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí),為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用列表法.
師:說得好!你還想到求概率的其他方法嗎?
生:用樹狀圖法.
師:對(duì)。這節(jié)課我們學(xué)習(xí)用樹狀圖法求概率.
【評(píng)析】教師播放動(dòng)畫視頻,激發(fā)了學(xué)生的探究興趣,同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回顧和梳理所學(xué)知識(shí),為學(xué)習(xí)新知奠定基礎(chǔ).
二、合作探究,發(fā)現(xiàn)新知
師:請(qǐng)同學(xué)們看導(dǎo)學(xué)案中的“探究一”.
課件演示:小丁上學(xué)要經(jīng)過三個(gè)十字路口,每個(gè)路口遇到紅燈和綠燈的機(jī)會(huì)都相同,求小丁上學(xué)時(shí)經(jīng)過每個(gè)十字路口都是綠燈的概率,能用列表法解決嗎?如果不能,你還有什么方法?
生分小組進(jìn)行交流.
生:由題目可知,小丁上學(xué)要經(jīng)過三個(gè)十字路口,經(jīng)過每個(gè)十字路口都會(huì)遇到紅燈、綠燈這兩種情況,所以,共有八種情況,而每個(gè)十字路口遇到紅燈和綠燈的機(jī)會(huì)都相同,由圖1可知,他經(jīng)過每個(gè)路口都是綠燈的情況占八種情況當(dāng)中的一種,因此,概率是[1/8].
師:其余同學(xué)有補(bǔ)充嗎?
生:(補(bǔ)充)書寫格式不規(guī)范,首先要寫“解:依題意可知”,最后要寫“共有8種可能的結(jié)果”.
師:這名同學(xué)的建議非常好!解題格式要規(guī)范.這個(gè)小組先進(jìn)行分類,然后通過圖形把所有可能的結(jié)果都表示出來(lái),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.仔細(xì)觀察圖形,你覺得它像什么?
生:像一棵倒著長(zhǎng)的樹.
師:是的.這種解題的方法我們把它叫作樹狀圖法.那么,什么時(shí)候用樹狀圖法計(jì)算概率呢?
生:當(dāng)一次實(shí)驗(yàn)涉及三個(gè)或三個(gè)以上因素時(shí),用列表法就不方便了,為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用樹狀圖法.
師:想一想,我們?cè)鯓赢嫵鰳錉顖D?
生:實(shí)驗(yàn)中涉及三個(gè)因素,第一個(gè)因素中有兩種可能的情況,第二個(gè)因素中各有兩種可能的情況,第三個(gè)因素中各有兩種可能的情況,這樣就可以畫出一棵倒著長(zhǎng)的樹.
【評(píng)析】教師通過變式,把實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)因素變?yōu)槿齻€(gè)因素,學(xué)生發(fā)現(xiàn)用列表法難以解決這個(gè)問題,從而引發(fā)思考,在小組合作學(xué)習(xí)中尋找新的解決方法——樹狀圖法.
三、學(xué)以致用,深入理解
師:請(qǐng)同學(xué)們看導(dǎo)學(xué)案中的“探究二”.
課件演示:甲、乙、丙三個(gè)盒子中分別裝有大小、形狀相同的卡片若干.甲盒中裝有兩張卡片,分別寫有字母A、B;乙盒中裝有三張卡片,分別寫有字母C、D、E;丙盒中裝有兩張卡片,分別寫有字母H、I.要從三個(gè)盒子中各隨機(jī)取出一張卡片,求:(1)取出的三張卡片中恰好有一個(gè),兩個(gè),三個(gè)寫有元音字母的概率各是多少?(2)取出的三張卡片全是輔音字母的概率是多少?
生思考交流,師巡堂指導(dǎo).
師:下面請(qǐng)小組來(lái)展示你們的學(xué)習(xí)成果.
生:二十六個(gè)英文字母中,元音字母有a、e、i、o、u,其余都是輔音字母.由題目可知,有甲、乙、丙三個(gè)盒子,也就是三個(gè)因素,可以用樹狀圖解決問題.甲盒中的兩張卡片分別寫著字母A、B,乙盒中的三張卡片分別寫著C、D、E,那么就有六種情況;丙盒中有兩張卡片,有可能抽到H,也有可能抽到I,加起來(lái)共有12種可能的結(jié)果.其中帶有一個(gè)元音字母的有ACH,ADH,BCI,BDI,BEH,所以,取出帶有一個(gè)元音字母的概率是[5/12];依此類推,帶有兩個(gè)元音字母的概率是[4/12],化簡(jiǎn)后是[1/3];取出的卡片中有三個(gè)元音字母的概率是[1/12](如圖2).
生:(補(bǔ)充)三張卡片上全是輔音字母的有BCH、BDH兩種,全是輔音字母的概率是[2/12],化簡(jiǎn)后是[1/6].
師:這個(gè)小組在展示說明時(shí)思路清晰,語(yǔ)言流暢.同學(xué)們想一想,列表法和樹狀圖法的優(yōu)點(diǎn)分別是什么?
生:用樹狀圖法或列表法計(jì)算概率,可以清晰地表示出某個(gè)事件發(fā)生的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,能夠比較方便地求出事件發(fā)生的概率,這是最直觀最常用的計(jì)算方法.
師:它們的區(qū)別又是什么呢?
生:當(dāng)實(shí)驗(yàn)包含兩個(gè)因素時(shí),兩種方法都可以用,當(dāng)實(shí)驗(yàn)中涉及三個(gè)或三個(gè)以上因素時(shí),用樹狀圖法比較方便.
【評(píng)析】抽卡片是學(xué)生熟悉的游戲,教師引導(dǎo)學(xué)生用樹狀圖法解決問題,能夠幫助學(xué)生更好地理解和掌握用樹狀圖求概率的方法.教師適時(shí)的追問,有利于學(xué)生明確這兩種求概率方法的優(yōu)劣,在解決實(shí)際問題時(shí)選擇合適的方法.
四、鞏固提升,解決問題
師:學(xué)校要舉行元旦晚會(huì).為了活躍氣氛,組織者設(shè)計(jì)了一個(gè)轉(zhuǎn)盤游戲,游戲中的兩個(gè)圓盤分別被等分成三個(gè)扇形和四個(gè)扇形(如圖3).小明和小亮玩轉(zhuǎn)盤游戲,他們同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)圓盤,指針停止后指向區(qū)域得到兩個(gè)數(shù)字.若兩個(gè)數(shù)的乘積為奇數(shù),則小明勝;若兩個(gè)數(shù)的乘積為偶數(shù),則小亮勝.你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎?請(qǐng)說明理由.
生1:這個(gè)游戲不公平。第一個(gè)轉(zhuǎn)盤有三個(gè)因素,第二個(gè)圓盤有四個(gè)因素,可以求出共有12種可能的結(jié)果,計(jì)算它們的乘積,兩數(shù)乘積為奇數(shù)一共有1,3,3,9四種可能,概率是[4/12],化簡(jiǎn)后是[1/3],而兩數(shù)乘積為偶數(shù)一共有八種可能,概率是[8/12],化簡(jiǎn)后是[2/3],所以,小亮獲勝的概率大于小明(如圖4).
生2:我用列表法計(jì)算。根據(jù)題意,先把第一個(gè)轉(zhuǎn)盤的三個(gè)因素寫成一列1,2,3,第二個(gè)轉(zhuǎn)盤的四個(gè)因素寫成一行1,2,3,4,然后羅列出12種可能的結(jié)果(如圖5).后面的做法和前面的同學(xué)一樣,小亮獲勝的概率大于小明.
師:這個(gè)小組做到了一題多解.游戲是否公平,關(guān)鍵要看什么?
生:看概率是否相等,如果概率相等,游戲是公平的,反之則不公平.
【評(píng)析】通過分析轉(zhuǎn)盤游戲公平與否的問題,學(xué)生想到了一題多解,無(wú)形中鞏固了列表法和樹狀圖法的知識(shí),明確游戲是否公平與概率有關(guān).
師:既然這個(gè)游戲不公平,你能為他們?cè)O(shè)計(jì)一款公平的游戲嗎?
生獨(dú)立思考后交流.
生1:若兩數(shù)之和為奇數(shù),則小明勝;若兩數(shù)之和為偶數(shù),則小亮勝.我用列表法展示給大家看.第一行分別是2,3,4,5,第二行分別是3,4,5,6,第三行分別是4,5,6,7,這些結(jié)果每一種出現(xiàn)的可能性都相等,所有的可能結(jié)果一共有12種,兩數(shù)之和為奇數(shù)的情況共有6種,所以,兩數(shù)之和為奇數(shù)的概率是[1/2].同理,兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率也是[1/2],二者的概率相等.因此,這樣設(shè)計(jì)游戲是公平的.
生2:若兩數(shù)乘積大于4,則小亮勝;若兩數(shù)乘積小于4,則小明勝.我用樹狀圖法解決這個(gè)問題(如圖6).先求出每一種結(jié)果的兩數(shù)乘積,可以看出乘積大于4的有5種情況,概率為[5/12],乘積小于4的概率也是[5/12],所以,兩數(shù)乘積大于4和小于4的概率相等,因此,游戲是公平的.
生3:我還有一個(gè)方案,把第一個(gè)圓盤的數(shù)字看成十位數(shù),把第二個(gè)圓盤上的數(shù)字看成個(gè)位數(shù),由此組成兩位數(shù),如果是奇數(shù),則小明勝;如果是偶數(shù),則小亮勝.把這些所有的可能列在一個(gè)表格當(dāng)中,這些數(shù)分別是11,21,31,12,22,32,13,23,33,14,24,34,共有12種可能的結(jié)果.組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率為[6/12],即[1/2],組成的兩位數(shù)為偶數(shù)的概率為[6/12],化簡(jiǎn)后是[1/2],二者的概率相等,按照規(guī)則,游戲是公平的.
師:同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了多種不同的方案,想法非常好!老師發(fā)現(xiàn)還有同學(xué)設(shè)計(jì)了不同的方案,因?yàn)闀r(shí)間有限,所以不能逐一展示,課后同學(xué)們可以相互交流你們的方案.
【評(píng)析】請(qǐng)學(xué)生設(shè)計(jì)游戲方案,為學(xué)生提供問題解決的平臺(tái),這是教學(xué)的亮點(diǎn).教師這樣做,有利于學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí),開闊思路,體現(xiàn)了課堂教學(xué)的深度與廣度.
五、梳理反思,感悟收獲
師:我們來(lái)小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容,說一說你有什么收獲?你會(huì)提出什么建議?你還有哪些困惑?
生1:列表法、樹狀圖法都適用于涉及兩個(gè)因素的試驗(yàn),但是實(shí)驗(yàn)中涉及三個(gè)或三個(gè)以上因素時(shí),用列表法不太方便,為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用樹狀圖法.
生2:我學(xué)會(huì)了分類和數(shù)形結(jié)合的方法.
生3:我知道如何判斷游戲是否公平.
生4:如果實(shí)驗(yàn)中的因素再多幾個(gè),還能用樹狀圖法計(jì)算概率嗎?有沒有其他方法求概率?
師:求概率的方法有很多,上了高中還要學(xué)習(xí),同學(xué)們有興趣的話繼續(xù)探究.
【評(píng)析】教師引導(dǎo)學(xué)生回顧和梳理學(xué)習(xí)內(nèi)容,談收獲,有利于學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí),掌握學(xué)習(xí)方法,將課內(nèi)學(xué)習(xí)延伸至課外.
【總評(píng)】這是一節(jié)有梯度、有深度、有寬度的課,體現(xiàn)在三個(gè)方面:首先,教師從學(xué)生熟悉的紅綠燈、摸卡片、玩轉(zhuǎn)盤等情景切入教學(xué),使學(xué)生積極投入學(xué)習(xí)活動(dòng)當(dāng)中,并在輕松愉悅的氛圍中暢所欲言,培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性.其次,學(xué)生自主探究、合作交流,大膽展示學(xué)習(xí)成果,分享自己的想法和感悟,教師及時(shí)反饋回應(yīng),適當(dāng)引導(dǎo),適時(shí)鼓勵(lì),為學(xué)生順利完成探究任務(wù)注入了“潤(rùn)滑劑”,課堂教學(xué)高潮迭起,精彩紛呈.最后,學(xué)生經(jīng)歷了探究、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程,體現(xiàn)了知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程,觸及數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),體會(huì)到了數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的思想方法,是一節(jié)指向?qū)W科素養(yǎng)發(fā)展的課.
(本文所用課例獲2019年賀州市“一師一優(yōu)課,一課一名師”活動(dòng)優(yōu)課一等獎(jiǎng))
(責(zé)編 歐孔群)