林樂科，趙振維，張鑫

（中國電波傳播研究所，山東 青島 266107）

Mie理論對于無損介質中均勻球的散射問題給 出了一個精確的解答[1-2]。它廣泛應用于氣體分子、氣溶膠、云霧水滴、小雨滴等近球形粒子的X射線、可見光、紅外、微波、毫米波的電磁散射、輻射氣象、醫(yī)學、遙感、通信、雷達等多個領域[3-15]。Mie理論的準確計算有著重要的現(xiàn)實意義，例如球形水滴的散射是云霧和降雨衰減計算的基礎等，但其系數(shù)中包含復雜的函數(shù)形式（球貝塞爾函數(shù)及其導數(shù)），計算復雜，難以精確求解。為此提出了幾種遞推的方法[16-18]，便于計算。文獻[18]對于趙遞推和正向遞推方法的收斂性進行了比較，但是沒有比較倒遞推方法，也沒有比較不同遞推方法對于截斷項數(shù)的收斂特性。為此，文中比較了這幾種遞推方法的收斂性能、截斷項數(shù)的魯棒性等，發(fā)現(xiàn)如正確選擇參數(shù)，趙遞推公式最準確、適用范圍最廣。

1 Mie理論數(shù)值計算

假定介質球的折射指數(shù)為m，半徑為r，其周圍介質為自由空間，自由空間波長為λ0，則Mie理論系數(shù)的計算公式為[16-17,19]：

其中：

式中：ψn(ρ)、ξn(ρ)為黎卡提-貝塞爾（Riccati-Bessel）函數(shù)，jn(ρ)與hn(1)(ρ)分別為球貝塞爾函數(shù)與第一類球漢克爾函數(shù)。黎卡提-貝塞爾函數(shù)具有以下性質及遞推關系：

令：

由(6)、(8)、(13)可推得：

則有：

利用Mie系數(shù)計算歸一化散射截面、消光截面、后向散射截面的公式為：

2 計算Dn的遞推公式

從以上公式可以看出，影響Mie系數(shù)精度的關鍵是Dn的計算，其他參數(shù)都給了恰當?shù)某踔蹬c遞推公式。當球為理想導體球時，Dn=i。對于介質球，目前計算Dn的主要遞推方法有以下幾種。

1）倒遞推公式，即直接利用式(14)，計算散射、消光截面時取其前K項，K值可取為[17]：

式中：INT[]表示取整函數(shù)。倒遞推起始點為：

由此向下一直遞推到D1。

2）正向遞推公式[16,20]。由式(14)可推出：

對無耗介質球：

對有耗介質球，m=mr－imi：

式中，sh和ch函數(shù)是無界的。當x很大時，會導致較大的計算誤差和計算機溢出，趙振維將其重寫為[18,21]：

此時無論x如何增大，也不會出現(xiàn)計算機溢出。

3）x很大時（通常指x＞30）的正向遞推公式為[18,21]：

以下將其稱之為趙遞推公式。對于趙遞推公式，當x≤30時，文中采用正向遞推。

3 遞推公式的比較與分析

利用Mie系數(shù)計算介質球的歸一化消光截面、散射截面、后向散射截面對遞推公式進行比較。由于正向遞推公式中并未給出截斷項，計算中采用與后向遞推公式相同的截斷項K。對于趙遞推公式，當x＞30時，采用式(27)進行遞推，否則采用正向遞推公式。為全面比較，選取與文獻[5]相同的折射率，分別為n=1.29?j1.47、n=1.29?j0.47、n=1.29?j0.047的強、中、弱吸收球，利用3種遞推公式進行計算。其對n=1.29?j1.47的計算結果如圖1—3所示，對其他2種介質球也有類似結果?？梢钥闯?，當x較小時，正向遞推公式與倒遞推公式結果一致。當x增大到一定值（本例中約為80）時，正向遞推公式變得不穩(wěn)定，計算后向散射截面時尤為顯著。此時趙遞推公式與倒遞推公式都是連續(xù)穩(wěn)定的，并趨于一致，趙遞推從邏輯上是正向的，相對容易理解。

圖1 歸一化消光截面隨x的變化Fig.1 Variation of normalized extinction cross section with x

圖2 歸一化散射截面隨x的變化Fig.2 Variation of normalized scattering cross section with x

圖3 歸一化后向散射截面隨x的變化Fig.3 Variation of normalized backscatter cross section with x

另外，由于前面的計算都采用了相同的截斷項，下面分析截斷項增大的情況。假設截斷項數(shù)比式(22)增加200，則計算得到的倒遞推公式和趙遞推公式的后項散射截面如圖4所示?？梢钥吹?，這時倒遞推僅在x＞6時有值，而趙遞推公式此時計算結果仍然是正常的。當然，隨著截斷項數(shù)的持續(xù)增加，趙遞推公式也會出現(xiàn)不收斂的情況，但是顯然其對截斷項數(shù)的魯棒性更強。綜合上述分析，可以認為趙遞推公式最準確、適用范圍最廣。

圖4 歸一化后向散射截面隨x的變化（截斷項加200）Fig.4 Normalized backscatter cross-section changes with x(truncation plus 200): a) backward inverse recursion; b) Zhao recursion

4 結語

文中對Mie系數(shù)計算中幾種主要的遞推公式作了分析比較，結果顯示，趙遞推公式是目前計算Mie系數(shù)比較理想的公式，倒遞推計算結果與趙遞推相似，但是在截斷項數(shù)上趙遞推有更好的魯棒性。正向遞推公式有一定的適用范圍，超過適用范圍，計算結果會發(fā)散。因此，通常情況下，建議采用趙遞推公式。當然，盡管是準確的解析解，也需要實驗測試來進行驗證，因為公式中都采用了近似。Mie理論的實驗測試存在較多困難，這是未來需要進一步研究的內容。