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中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院,北京 100083

“滲”這個(gè)字意味著液相或氣相在固相的空隙中發(fā)生空間移動(dòng),尤其是多孔介質(zhì)中,固相并非連續(xù)分布,不同尺度的孔裂隙互相交錯(cuò)并連通,為流相的滲透提供了幾何空間。滲透、滲流和突滲是流相發(fā)生轉(zhuǎn)移的不同層次,對(duì)應(yīng)著安全和災(zāi)害的轉(zhuǎn)換過(guò)程。自然界中滲透現(xiàn)象廣泛存在,但當(dāng)科學(xué)家開(kāi)始研究其規(guī)律和內(nèi)在本質(zhì)時(shí)才發(fā)現(xiàn),問(wèn)題的層次性依然存在。如規(guī)律性的實(shí)驗(yàn)展示了在層流特定條件下,某些物理量之間存在著可基于類似Darcy 定律描述的線性關(guān)系。但是當(dāng)滲透向滲流甚至突滲行為轉(zhuǎn)變時(shí),非線性帶來(lái)的挑戰(zhàn)困難得多,如Navier-Stokes 方程的理論求解成為歷史難題;突變時(shí)的臨界特征和臨界力學(xué)理論仍處于建立之中。這些難點(diǎn)的解決需要觀察視角的轉(zhuǎn)換?！皾B”意味著一種相互作用,液相在固相的空隙空間中發(fā)生轉(zhuǎn)移,若在幾何模型上將固相剔除,可獲得空隙幾何結(jié)構(gòu),理論上將空隙結(jié)構(gòu)作為邊界條件?；贜avier-Stokes 方程建立流體力學(xué)模型即可獲得流動(dòng)規(guī)律的求解,這種觀察視角是不考慮固體力的相互作用,而是僅僅從幾何約束的條件下考慮的?？梢?jiàn),相互作用尤其是力的相互作用在固相-液相間的描述常常是被忽略,而從幾何約束的角度來(lái)體現(xiàn)相互作用,本質(zhì)上是一種幾何約束。

多孔介質(zhì)的空隙結(jié)構(gòu)幾何復(fù)雜性遠(yuǎn)超人們想象,從幾何角度來(lái)破解理論難題是科學(xué)家關(guān)注的焦點(diǎn);而工程師往往關(guān)注的是宏觀滲流規(guī)律,對(duì)于滲透、滲流和突滲行為轉(zhuǎn)換過(guò)程中的強(qiáng)非線性只能依賴幾何角度求解,裂隙網(wǎng)絡(luò)幾何復(fù)雜且在應(yīng)力作用下會(huì)發(fā)生連通,形成新的幾何網(wǎng)絡(luò),問(wèn)題變得更加復(fù)雜。迂曲度是描述裂隙網(wǎng)絡(luò)彎折效應(yīng)的一個(gè)結(jié)構(gòu)變量,其并不直接描述裂隙幾何,而是描述其復(fù)雜性。彎折性反映了流體通過(guò)固相路程的難易程度,如在土壤中發(fā)生滲透遠(yuǎn)比巖石中容易[1],相應(yīng)的迂曲度也要小很多。在深地煤炭開(kāi)采工程[2-3]、地下鹽穴儲(chǔ)氣庫(kù)工程[4]及花崗巖封存高放核廢料工程[5]中滲透性等評(píng)價(jià)也是工程重中之重。

在裂隙網(wǎng)絡(luò)幾何描述問(wèn)題解決之前,力學(xué)建模和試驗(yàn)也是重要的研究手段。例如,基于分?jǐn)?shù)階理論建立滲流模型用以描述非飽和滲流問(wèn)題[6];模擬煤樣在三軸加載過(guò)程中的流固耦合[7];揭示巖石破碎后的非線性滲流行為[8]。這些模型的建立的依據(jù)和試驗(yàn)過(guò)程的準(zhǔn)確解析都需要對(duì)裂隙幾何進(jìn)行精準(zhǔn)描述。但事實(shí)是,精準(zhǔn)測(cè)量低滲巖體內(nèi)部的空隙結(jié)構(gòu)是十分困難的,設(shè)備精度和視野總是存在不可協(xié)調(diào)的矛盾,高精度設(shè)備無(wú)法測(cè)量大尺度樣品;大尺度樣品又難以探測(cè)各種尺度的裂隙[9-10]。若結(jié)構(gòu)不明或不準(zhǔn)確,在定量計(jì)算迂曲度時(shí)就無(wú)法直接依賴試驗(yàn)所測(cè)的裂隙幾何數(shù)據(jù),因此迂曲度的理論計(jì)算仍存在著巨大挑戰(zhàn)。通過(guò)試驗(yàn)也可間接得知迂曲度的一些特性,根據(jù)Carman-Kozeny 經(jīng)驗(yàn)公式,多孔介質(zhì)滲透率與毛細(xì)管迂曲度近似呈反比關(guān)系[11];孔隙度迂曲度存在正向關(guān)系[12-16]。因此,采用滲透率相關(guān)原理間接測(cè)試迂曲度也是主要方法,即采用理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)合的方法可有效避免直接采用幾何測(cè)量方法的誤差。Purcell 較早提出用汞開(kāi)展毛管壓力與滲透率測(cè)試[17],但其忽略了迂曲度的影響,導(dǎo)致滲透率誤差較大[18-20];Boundreau 對(duì)有限顆粒構(gòu)成的迂曲度開(kāi)展了建模研究[21];Sen 等認(rèn)為孔隙結(jié)構(gòu)空間分布具有自相似性,即迂曲度可利用分形理論來(lái)研究[22]。

對(duì)于流體,迂曲度和渦流等現(xiàn)象的關(guān)聯(lián)也是研究熱點(diǎn)[23-24],但迂曲度的定義來(lái)源及演化十分復(fù)雜。早期對(duì)迂曲度的認(rèn)識(shí)僅是對(duì)滲透率的誤差修正,隨著認(rèn)識(shí)的深入,賦予了迂曲度明確的物理意義,即反映孔隙結(jié)構(gòu)流程的彎曲程度,才稟賦了其內(nèi)在物理意義[25],國(guó)內(nèi)也有文獻(xiàn)提出直接用孔隙度計(jì)算迂曲度[26],認(rèn)為迂曲度曲線具有分維特征[27],提出了分形毛細(xì)管力模型[28]。

筆者基于毛細(xì)管模型,根據(jù)Hagen-Poiseuille 公式與達(dá)西定律建立普適的迂曲度表達(dá)式,并針對(duì)低滲介質(zhì)提出了一種適用于毛細(xì)管力特征明顯的迂曲度表達(dá)式,建立了迂曲度分形維數(shù)。針對(duì)分叉現(xiàn)象,在滿足質(zhì)量守恒前提下,分析了分叉孔道母孔子孔幾何關(guān)系,并指出分叉現(xiàn)象的產(chǎn)生并非完全隨機(jī),而是在滿足優(yōu)化能量前提下的理想分配,驗(yàn)證了Murray 定律,也適用于巖石孔裂紋系統(tǒng)。本文以鹽巖為案例,驗(yàn)證了表達(dá)式的適用性與可靠性。研究結(jié)果可為求解多孔介質(zhì)材料迂曲度提供理論與實(shí)驗(yàn)參考。

1 迂曲度建模及分形維數(shù)計(jì)算

孔隙通道包括非有效連通部分(盲孔)及有效連通部分。連通性描述是揭示流體流通的重要基礎(chǔ)。通道方向分布具有不確定性,截面形狀與尺寸大小位置分布具有隨機(jī)性,在水力、溫度等外界因素影響下還可能存在著開(kāi)閉狀態(tài)的轉(zhuǎn)換,這些復(fù)雜因素都給認(rèn)識(shí)孔隙結(jié)構(gòu)空間分布帶來(lái)挑戰(zhàn),因此從統(tǒng)計(jì)理論上分析更具有現(xiàn)實(shí)意義。基于此,本文將孔隙通道假設(shè)為毛細(xì)管模型[25](圖1)。

圖1 毛細(xì)管模型Fig.1 Capillary model

如圖1所示,假設(shè)毛細(xì)管道在截面xz上均勻分布,毛細(xì)管孔道形狀相同,孔道中流體單相、飽和,其運(yùn)動(dòng)規(guī)律符合達(dá)西定律。微元體截面xz面積為A,單位面積分布毛細(xì)管根數(shù)為n,每根毛細(xì)管彎曲度為τ,孔道截面形狀為圓形,半徑為r,單根孔道體積為V,單位橫截面密度為N。迂曲度定義較多[29-31],Le表示流動(dòng)路徑長(zhǎng)度,定義迂曲度[29]

一種方法是根據(jù)Hagen-Poiseuille 公式[32],則通道流量q為

式中,Δp為壓差;μ為黏滯系數(shù)。

根據(jù)達(dá)西定律:

式中,K為滲透率。

定義孔隙度[33]

聯(lián)立式(2)、式(3)與式(4)得

引入水力學(xué)半徑平均值Rh,則

式中,S為流體流過(guò)總截面積;Z為總濕潤(rùn)周長(zhǎng)。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)[34],存在如下關(guān)系:

式中,Dp為粒子平均半徑。

結(jié)合式(5)、式(6)與式(7),得迂曲度

假設(shè)系統(tǒng)由N個(gè)球形毛細(xì)管粒子構(gòu)成,則

對(duì)應(yīng)的,迂曲度可定義為

另一種方法是利用毛細(xì)管壓力公式[25],較大孔徑孔隙通道并不存在典型毛細(xì)現(xiàn)象,其適用范圍需要界定,則單根毛管壓力[31]

式中,σ為界面張力;θ為接觸角。

結(jié)合式(2)得

聯(lián)立達(dá)式(3)得

考慮飽和度s,則式(13)可改為

則迂曲度重新定義為

假設(shè)所有毛細(xì)管壓力p相同,則

利用式(15)和式(16)即可測(cè)定迂曲度。Wheatcraft 和Tyler 建立了多孔介質(zhì)迂曲流管特性的分形標(biāo)度關(guān)系[34]:

則

式中,λmin為毛細(xì)管孔徑的最小值;DT為迂曲度分形維數(shù)。

對(duì)于線性孔道滲流,1≤DT≤2。

聯(lián)立式(15)與式(18)得

式(19)說(shuō)明利用壓汞實(shí)驗(yàn)可以確定迂曲孔道分形維數(shù)。定義分形影響系數(shù):

當(dāng)迂曲度分形維數(shù)DT確定時(shí)[圖2(a)],即毛細(xì)管道彎折程度一定時(shí),分形影響系數(shù)與長(zhǎng)徑比近似成線性關(guān)系。如圖2(b)所示,當(dāng)毛細(xì)管孔道長(zhǎng)徑比確定時(shí),分形影響系數(shù)與迂曲度分形維數(shù)呈非線性關(guān)系,DT與L/r越大影響越明顯。如當(dāng)L/r≤5 時(shí),變化不大,此時(shí)可以忽略DT的影響,由此可知當(dāng)考慮DT對(duì)的影響時(shí),需要考慮DT是否在長(zhǎng)流程環(huán)境下,當(dāng)L/r≤5 的短流程環(huán)境時(shí),孔道長(zhǎng)度和直徑在一個(gè)數(shù)量級(jí)上,孔道彎折性不顯著,彎折性對(duì)流體的阻滯作用不明顯;另一方面說(shuō)明,粗糙性特征至少精度上要高于流程定義,并且應(yīng)考慮粗糙在流程上的非線性積分。

圖2 長(zhǎng)徑比和迂曲度分維與分形影響系數(shù)的關(guān)系Fig.2 Fractal coefficient influenced by the aspect ratio and fractal dimension of tortuosity

2 分叉孔道迂曲度特征分析

通常在描述孔、裂隙通道時(shí)會(huì)隱含假設(shè),即通道始終是1 條,不存在1 條通道連接2 條孔道甚至更多。分叉現(xiàn)象總是被刻意忽略或者簡(jiǎn)單地統(tǒng)計(jì)長(zhǎng)度。這是因?yàn)榉植鏁?huì)引起更多的非線性特征,如分流現(xiàn)象;分叉孔道給分維的計(jì)算帶來(lái)挑戰(zhàn)。

裂紋分叉是普遍存在的,應(yīng)引起足夠的重視。自然界中材料分布與裂紋生長(zhǎng)過(guò)程并非完全隨機(jī)現(xiàn)象,最優(yōu)化能量的分配與傳播控制著裂紋生長(zhǎng)[35-36]。合理的能量分配最終導(dǎo)致裂紋的半徑與長(zhǎng)度生長(zhǎng)相互影響,形成具有規(guī)律性的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。天然生成的孔道具有同樣的規(guī)律,雖然能量形式釋放機(jī)制迥異,但都遵循最小化能量的原理。

利用科林斯定義僅統(tǒng)計(jì)分叉毛細(xì)管長(zhǎng)度意義不大,有較多的局限性,首先無(wú)法表征長(zhǎng)程單條孔道粗糙度及迂曲度的特征,其次忽略了迂曲度對(duì)孔道滲透特性的界定?；谟厍榷x,為了更好地反映滲透特征,有必要建立考慮分叉孔道特性的迂曲度模型。

母孔設(shè)為分叉前的單一孔道,子孔為由母孔分叉而來(lái)的多條孔道?？紤]最簡(jiǎn)單分叉(1 分2)(圖3),考慮流體從總孔道(標(biāo)號(hào)為0,下同)分叉分別流向叉道1 與叉道2?？偪椎篱L(zhǎng)度為L(zhǎng)0,迂曲度為τ0,等效半徑為r0,流量q0,對(duì)應(yīng)的分叉1 物理意義:L1、τ1、r1與q1;分叉2 物理意義:L2、τ2、r2與q2。

圖3 分叉示意圖Fig.3 Bifurcate path of capillary

根據(jù)式(2)可得流體持續(xù)流動(dòng)所需要的能量:

孔道表面粗糙性引起的流體能量耗散:

式中,η為表面粗糙性系數(shù)。

總的能量:

根據(jù)最小能量原理,對(duì)式(23)求微分,得

式中,ξ為表面粗糙性系數(shù)。

可見(jiàn),流量與孔徑的立方成正比,這與平行板立方體定律相似。平行板定律是由實(shí)驗(yàn)總結(jié)的,而式(24)是基于Hagen-Poiseuille 公式理論推導(dǎo)的結(jié)果。

根據(jù)質(zhì)量守恒q0=q1+q2,對(duì)母孔0、子孔1、2同時(shí)使用式(24)得

母孔孔徑的立方等于子孔孔徑的立方和,即Murray 定律[37-39],說(shuō)明Murray 定律適用于巖石孔裂隙系統(tǒng)。

定義流阻:

母孔與子孔串聯(lián),兩子孔并聯(lián),則總流阻為

考慮分叉結(jié)構(gòu)的體積,即流量的總體積:

定義Lagrangian 函數(shù):

分別對(duì)r0、r1與r2求極值:

式(30)化簡(jiǎn)后同式(25)。再次驗(yàn)證了巖石裂紋分叉孔道滿足Murray 定律。

將分叉孔道整體考慮,則總能量:

等效迂曲度:

忽略粗糙性,則

3 低滲鹽巖毛細(xì)孔道迂曲度計(jì)算

鹽巖是天然氣儲(chǔ)藏、核廢料等有害物質(zhì)封存的理想地下場(chǎng)所,低滲現(xiàn)象是其致密的孔隙結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的。樣品源于湖北應(yīng)城鹽礦,主要成分為石鹽,含少量石英。加工成幾何尺寸為直徑25 mm、高30 mm 試樣,進(jìn)行高壓壓汞實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)前利用工業(yè)CT 對(duì)孔隙掃描,精度為30 μm,難見(jiàn)孔隙分布,可見(jiàn)鹽巖孔隙尺寸十分微小(圖4)。設(shè)計(jì)壓力范圍0.1～226 MPa,對(duì)應(yīng)孔隙尺寸為7.5 μm～3.2 nm,連續(xù)加壓,進(jìn)汞速度控制7 MPa/min,設(shè)備精度為0.01%。

圖4 鹽巖取樣、加工及CT 掃描Fig.4 Drilling and processed sample for CT scanning

圖5 為所得到的毛細(xì)管壓力曲線,初始?jí)汗瘡?.008 MPa 開(kāi)始,迅速增長(zhǎng)至30 MPa,此時(shí)對(duì)應(yīng)的汞飽和度從0% 到接近10% ;然后壓汞曲線變得平緩,壓力從30 MPa 到最大值200 MPa,對(duì)應(yīng)汞飽和度從10% 到70%。本樣品30 MPa 是汞飽和度出現(xiàn)急速變化的拐點(diǎn),將壓汞曲線分為兩個(gè)部分。30 MPa 之前,汞進(jìn)入的都是大孔隙,但這種空隙結(jié)構(gòu)并不多對(duì)應(yīng)的汞飽和度不高。30 MPa 之后,壓力突破了拐點(diǎn),毛細(xì)管孔開(kāi)始連通,汞飽和度迅速增長(zhǎng),但高壓下鹽巖可能會(huì)出現(xiàn)損傷,所測(cè)飽和度并非原始狀態(tài)的孔隙特征。之后從200 MPa 開(kāi)始急速回汞到40 MPa,但汞飽和度維持在70% 幾乎沒(méi)有變化;之后回汞到0.015 MPa 對(duì)應(yīng)的汞飽和度下降至45%。可見(jiàn),在不同的壓力下孔道的有效連通對(duì)汞飽和度影響較大。側(cè)面驗(yàn)證了鹽巖結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和致密性。根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)定本樣品鹽巖孔隙度φ=6.5%,滲透率K=0.001md,取汞的界面張力σ=0.48 N/m,接觸角θ=140°,利用式(15)結(jié)合圖5 數(shù)據(jù)積分,可計(jì)算得到鹽巖迂曲度τ=58.32。常規(guī)計(jì)算方法得到的迂曲度普遍小于5,本方法測(cè)定的迂曲度是其十幾倍,更符合真實(shí)情況。鹽巖迂曲度較大,說(shuō)明復(fù)雜分布孔道形成的滲透路徑曲折,最終造成流體通過(guò)困難,即鹽巖低滲的主要原因是低孔隙度和高迂曲度。

圖5 毛細(xì)管壓力曲線Fig.5 Curve of capillary pressure

4 結(jié)論

低滲孔隙介質(zhì)如鹽巖內(nèi)部的空隙結(jié)構(gòu)幾何和拓?fù)渚珳?zhǔn)表征在數(shù)學(xué)上是很大的挑戰(zhàn),多數(shù)工作關(guān)注了幾何信息,而忽略了拓?fù)溥B通等核心變量。用于描述空隙結(jié)構(gòu)的幾何變量較多,但普適性的關(guān)鍵幾何或拓?fù)渥兞坎⑽醋罱K確定。滲透的本質(zhì)是連通,連通性描述的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是拓?fù)鋷缀卫碚?因此,有必要在傳統(tǒng)迂曲度幾何定義的基礎(chǔ)上開(kāi)展拓?fù)鋷缀蚊枋鲅芯俊１疚膰L試從最簡(jiǎn)單的分叉模型推導(dǎo)出迂曲度的理論表達(dá)式,但與圓形毛細(xì)管模型等相比,表達(dá)式仍差異較大?？梢?jiàn),迂曲度的理論推導(dǎo)實(shí)現(xiàn)普適性應(yīng)用仍任重道遠(yuǎn)。

(1)考慮流通孔道的分形特性,引入迂曲度分維,并推導(dǎo)了迂曲度分維確定的實(shí)驗(yàn)公式,這是一種基于壓汞實(shí)驗(yàn)求解分維的新方法。定義了分形影響系數(shù),當(dāng)迂曲度分形維數(shù)DT確定時(shí),分形影響系數(shù)ˉλ與長(zhǎng)徑比近似成線性關(guān)系。當(dāng)長(zhǎng)徑比確定時(shí),分形影響系數(shù)ˉλ與迂曲度分形維數(shù)DT呈非線性關(guān)系。

(2)針對(duì)分叉孔道,流量與孔徑立方成正比關(guān)系,在滿足質(zhì)量守恒前提下,分叉孔道母孔孔徑的立方等于子孔孔徑的立方和,從兩個(gè)方面驗(yàn)證了巖石裂紋分叉孔道滿足Murray 定律,推導(dǎo)了分叉孔道等效迂曲度數(shù)學(xué)表達(dá)式。以鹽巖滲透為案例,低孔隙度、高迂曲度是鹽巖低滲的主要原因。