時(shí)宗洋，趙一宇，渠曉東，馬力超

（1.北京機(jī)械設(shè)備研究所，北京 100854；2.中國(guó)科學(xué)院空天信息創(chuàng)新研究院，北京 100094）

0 引言

典型層狀海洋模型下任意姿態(tài)電性天線電磁場(chǎng)的模擬計(jì)算方法主要應(yīng)用海洋目標(biāo)電磁探測(cè)應(yīng)用領(lǐng)域，如海底石油、水合物等探測(cè)的海洋可控源電磁方法和海水中大型目標(biāo)如沉船等探測(cè)等。

以海洋可控源電磁方法（MCSEM）為例，其通常采用幾百米長(zhǎng)的水平電性天線在海水中（距海底幾十米的位置）輻射峰值電流幾百安培至千安培、基頻在n×10-1Hz至n×10 Hz范圍內(nèi)的矩形波電流，通過(guò)布置在海底或者拖曳在距水平電性天線固定偏移距的電場(chǎng)或磁場(chǎng)傳感器觀測(cè)電場(chǎng)/磁場(chǎng)響應(yīng)信號(hào)[1-2]，然后通過(guò)采用相適應(yīng)的數(shù)據(jù)處理手段對(duì)電磁信號(hào)進(jìn)行處理，運(yùn)用預(yù)先建立的層狀海洋模型正反演算法獲得對(duì)實(shí)測(cè)電磁信號(hào)的定量反演解釋，從而得到海洋中目標(biāo)電阻率信息，圖1給出了海洋可控源電磁法工作示意圖，圖中傳感器陣列rxi(i＝1…N)位于海底沿電性天線軸向布置。

圖1 海洋可控源電磁法(MCSEM)工作示意圖

現(xiàn)有層狀海洋模型電性天線輻射電磁場(chǎng)的模擬計(jì)算方法主要有2種，一種是將有限長(zhǎng)電性天線看作電偶極子天線[3-4]，然后利用層狀海洋模型下電偶極子天線輻射電磁場(chǎng)模擬解釋海洋目標(biāo)及海底電性參數(shù)；另一種方法是將有限長(zhǎng)度電性天線進(jìn)行均勻密集分割，將分割后每一段等效為電偶極子，再對(duì)每個(gè)等效電偶極子天線的電磁響應(yīng)求和得到有限長(zhǎng)電性天線的輻射電磁場(chǎng)。

以上計(jì)算方法存在以下缺點(diǎn)或不足之處，方法一將有限長(zhǎng)電性天線看作電偶極子天線，這種方法認(rèn)為：當(dāng)海洋目標(biāo)（海底或海水目標(biāo)）和觀測(cè)傳感器距離電性天線很遠(yuǎn)（相比于電性天線長(zhǎng)度）時(shí)電性天線可以等效為電偶極子天線。然而，實(shí)際MCSEM中的電性天線長(zhǎng)幾百米（一般100～300 m），距離海底幾十米距離，航行作業(yè)時(shí)，電性天線從靠近海底的傳感器陣列到遠(yuǎn)離傳感器陣列的過(guò)程中，無(wú)法始終保證電性天線距離海底和傳感器的距離遠(yuǎn)大于電性天線的長(zhǎng)度（如5倍電性天線長(zhǎng)度），從而導(dǎo)致該方法在計(jì)算小偏移距的電磁場(chǎng)時(shí)產(chǎn)生較大的計(jì)算誤差。方法二均勻密集分割有限長(zhǎng)度電性天線，然后把分割后的每段等效為電偶極子，并對(duì)每個(gè)等效電偶極子天線的電磁響應(yīng)求和得到有限長(zhǎng)電性天線的輻射電磁場(chǎng)。該方法在保證計(jì)算精度的同時(shí)會(huì)極大地降低計(jì)算效率，不利于工程應(yīng)用中數(shù)據(jù)資料的快速解釋[5]。

本文針對(duì)層狀海洋模型電性天線輻射電磁場(chǎng)的模擬計(jì)算現(xiàn)有方法無(wú)法兼顧計(jì)算精度和計(jì)算效率的不足，提出了一種典型層狀海洋模型中任意姿態(tài)電性天線輻射電磁場(chǎng)的非均勻稀疏分割計(jì)算方法，采用切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為分點(diǎn)，對(duì)原有的均勻分割方案進(jìn)行了以切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)為分點(diǎn)的非均勻稀疏分割方案的改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了有限長(zhǎng)電性天線的精確快速計(jì)算，兼顧了計(jì)算的精度和效率。

本文首先介紹典型層狀海洋模型下電性天線輻射電磁場(chǎng)的工程應(yīng)用及現(xiàn)階段主要計(jì)算方法和存在的不足，引出本文建立的非均勻稀疏分割積分方法及其優(yōu)勢(shì)；然后構(gòu)建了層狀海洋模型電磁天線輻射電磁場(chǎng)模型，并對(duì)電磁場(chǎng)積分計(jì)算式進(jìn)行了理論推導(dǎo)，并且建立基于高斯切比雪夫分點(diǎn)的非均勻稀疏分割積分方法，給出理論計(jì)算式和算法流程；接下來(lái)通過(guò)模擬仿真算例，對(duì)電偶極子等效計(jì)算方法、密集均勻分割積分方法和本文提出的非均勻稀疏分割積分這3種方法在電磁場(chǎng)計(jì)算精度和效率方面進(jìn)行對(duì)比分析，論證了本文提出方法在兼顧計(jì)算精度和效率方面的優(yōu)勢(shì)，能夠?qū)崿F(xiàn)工程應(yīng)用中數(shù)據(jù)解釋的效率和準(zhǔn)確性的提升；最后對(duì)全文進(jìn)行總結(jié)，給出結(jié)論。

1 層狀海洋電性天線輻射電磁場(chǎng)理論

1.1 典型層狀海洋模型

以典型3層海洋模型為例，即空氣層、海水層和海底層。其中，空氣層設(shè)定為半無(wú)限大均勻空間，海底層可以為半無(wú)限大均勻空間或?qū)訝羁臻g，海水層深度為d1，設(shè)定分解面互相平行，水平方向上無(wú)限延伸，空氣、海水和海底（可以為多層海底）的介電參數(shù)分別為σi、εi（i＝0,1,2,…,n,n≥2），其中i＝0表示空氣層，i＝1表示海水層。真空磁導(dǎo)率為μ0，相對(duì)磁導(dǎo)率μr設(shè)置為1。AB表示電性天線首尾，天線長(zhǎng)度為L(zhǎng)，天線電極矩為P＝IL，天線中點(diǎn)位于原點(diǎn)O正下方，目標(biāo)所在深度為H，距離海底深度為h，各層厚度為d i。笛卡爾坐標(biāo)系正z方向垂直水平面向下，o-xyz滿足右手螺旋定則。假設(shè)任意姿態(tài)電性天線在XOY平面內(nèi)的投影與x軸夾角為θ，天線與XOY平面的夾角為?。

層狀海洋模型電性天線模型如圖2所示。層狀海洋模型下電性天線輻射電磁場(chǎng)的推導(dǎo)基于以下假設(shè)[6-8]：

圖2 層狀海洋模型中的電性天線

1）滿足準(zhǔn)靜態(tài)近似條件，頻率小于100 k Hz；

2）準(zhǔn)靜態(tài)近似下忽略海水和海底環(huán)境的位移電流，波數(shù)為k2i＝-iωμ0σi，i＝1,2,…,n。空氣中僅存在位移電流，約定電導(dǎo)率為σ0＝iωε0，波數(shù)為k20＝

3）空氣、海水及同層海底媒介時(shí)各向同性的，參數(shù)與時(shí)間、溫度和壓強(qiáng)無(wú)關(guān)；

4）準(zhǔn)靜態(tài)近似下，認(rèn)為媒介參數(shù)與頻率無(wú)關(guān)，磁導(dǎo)率和介電常數(shù)采用真空中的參數(shù)。

對(duì)于沒(méi)有自由電荷的空間，電性天線在空間中產(chǎn)生的電磁場(chǎng)滿足如下麥克斯韋方程組。

定義電矢量為A，滿足Η＝?×Α。得到電場(chǎng)與電矢位關(guān)系：

式中，U為標(biāo)量位，滿足

1.2 電偶極子天線輻射電磁場(chǎng)

1.2.1 水平電偶極子天線頻域電磁場(chǎng)

層狀海洋模型下水平電偶極子天線如圖3所示，其對(duì)應(yīng)的電磁場(chǎng)具有對(duì)稱性，此時(shí)的電矢量位A僅包含了2個(gè)分量，即沿偶極矩方向的分量A x和沿垂直海水-空氣分解面的分量A z。電矢量位A在笛卡爾坐標(biāo)系下可表示為：

矢量位、電場(chǎng)及磁場(chǎng)滿足的邊界條件為[8-10]：

1）整個(gè)空間中，除發(fā)射源位置外，矢量位A處處為有限值，且在無(wú)窮遠(yuǎn)處，矢量位為零，即Α(r→∞)→0；

2）各層分解面上，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的切向分量連續(xù)。

根據(jù)邊界條件約束，電場(chǎng)E、磁場(chǎng)H與矢量為A和標(biāo)量位U之間的關(guān)系，采用分離變量法可得到各層中矢量位各分量的解。

空氣中電場(chǎng)和磁場(chǎng)各分量頻域計(jì)算式見(jiàn)式(3)和式(4)。

式中，?為觀測(cè)點(diǎn)與電偶極源位置連線在XOY平面投影與x軸的夾角，sin?＝y(tǒng)/r，cos?＝x/r。

海水中電場(chǎng)和磁場(chǎng)各分量頻域計(jì)算式見(jiàn)式(5)和式(6)。

式中，Idl表示電偶極源的電矩，m為積分變量，r＝(x2＋y2)1/2為收發(fā)距，mi＝(m2-k2i)1/2，i＝0,1,2,…,N。積分核中的Ji(mr),i＝0,1代表第i階貝塞爾函數(shù)。參數(shù)Ci、B i、D i和E i為待定系數(shù)，通過(guò)理論推導(dǎo)計(jì)算結(jié)果如下：

式中，N01、N21、P01和P21計(jì)算式如下：

式中，R*2和Q*2的遞推計(jì)算式為：

1.2.2 垂直電偶極子天線頻域電磁場(chǎng)

層狀海洋模型下垂直電偶極子天線示意圖如圖4所示，其電矢位A僅包含沿偶極矩方向的分量A z[11]。此時(shí)的電矢量位A在笛卡爾坐標(biāo)系下表示為：

圖4 層狀海洋模型下垂直電偶極子天線

根據(jù)邊界條件約束，及電場(chǎng)E、磁場(chǎng)H與矢量為A和標(biāo)量位U之間的關(guān)系，采用分離變量法可得到各層中矢量位各分量的解。

空氣中電場(chǎng)和磁場(chǎng)各分量頻域計(jì)算式見(jiàn)式(10)和式(11)。

海水中電場(chǎng)和磁場(chǎng)各分量頻域計(jì)算式見(jiàn)式(12)和式(13)。

式中，參數(shù)Ci和D i為待定系數(shù)，通過(guò)理論推導(dǎo)計(jì)算結(jié)果如下：

式中，P01和P21計(jì)算式如下：

式中，R*2的遞推計(jì)算式如下：

1.2.3 任意姿態(tài)電偶極子天線頻域電磁場(chǎng)

海水中任意姿態(tài)電偶極子天線輻射電磁場(chǎng)計(jì)算時(shí)，將偶極矩分別向x,y和z軸投影，然后分別計(jì)算三分量投影電偶極子Px、Py和Pz的電磁場(chǎng)，最后將各方向電偶極子天線的電磁場(chǎng)求和即可[12-13]。層狀海洋模型下任意姿態(tài)電偶極子天線如圖5所示。

圖5 層狀海洋模型下任意姿態(tài)電偶極子天線

式中，沿y方向的電矩為Py的電偶極子天線產(chǎn)生的電磁場(chǎng)，可以通過(guò)計(jì)算沿x方向的電矩為Py的電偶極子天線的電磁場(chǎng)然后通過(guò)坐標(biāo)變換得到。

1.2.4 電偶極子天線電磁場(chǎng)計(jì)算方法

層狀海洋模型下電偶極子天線輻射電磁場(chǎng)的計(jì)算方法流程如圖6所示。該算法包含了輻射電磁場(chǎng)的頻域和時(shí)域模擬計(jì)算方法，總體思路是首先根據(jù)電偶極子天線輻射電磁場(chǎng)的頻域計(jì)算式通過(guò)快速Hankel變換數(shù)值濾波方法實(shí)現(xiàn)頻域模擬計(jì)算，獲得頻域電磁結(jié)果；然后通過(guò)GS變換數(shù)值濾波方法實(shí)現(xiàn)快速的頻-時(shí)變換，得到時(shí)域電磁計(jì)算結(jié)果[14-15]。

圖6 層狀海洋模型電偶極子天線輻射電磁場(chǎng)計(jì)算流程

1.3 有限長(zhǎng)電性天線輻射電磁場(chǎng)

1.3.1 任意姿態(tài)電性天線輻射電磁場(chǎng)的積分計(jì)算式

理論上，典型海洋模型下任意姿態(tài)有限長(zhǎng)電性天線輻射電磁場(chǎng)的計(jì)算需要通過(guò)對(duì)天線長(zhǎng)度進(jìn)行積分獲得。

假設(shè)電性天線l位置的電偶極子在觀測(cè)位置r處產(chǎn)生的響應(yīng)（電場(chǎng)或磁場(chǎng)）表示為f(p,θ,?,l,r)，其 中f(·)可 以表 示 輻 射 電 磁 場(chǎng)E x、E y、E z、Bx、B y、B z的計(jì)算式，θ和?為已知參數(shù)，p＝Idl，p表示天線l位置處的電偶極子極矩，I為天線中電流強(qiáng)度，dl表示l位置的偶極子單位長(zhǎng)度，l和r分別為電偶極子天線和觀測(cè)點(diǎn)的相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置矢量。因此，有限長(zhǎng)電性天線的電磁場(chǎng)計(jì)算式為：

1.3.2 現(xiàn)有電性天線輻射電磁場(chǎng)的積分計(jì)算方法

現(xiàn)有的電性天線輻射電磁場(chǎng)的積分計(jì)算方法主要采用電偶極子天線等效方法和均勻密集分割積分方法。對(duì)于電偶極子天線等效方法，是將有限長(zhǎng)電性天線看作電偶極子天線，此時(shí)積分式(18)變?yōu)椋?/p>

式中，l p表示有限長(zhǎng)電性天線中心位置的位置矢量。

對(duì)于均勻密集分割積分方法是將積分式(18)均勻離散化為眾多的電偶極子天線響應(yīng)之和的形式。

式中，N為均勻分割的分點(diǎn)數(shù)，一般為保證計(jì)算精度，對(duì)于長(zhǎng)度100 m以上的天線，N取值不小100。

2 層狀海洋電性天線輻射電磁場(chǎng)的非均勻稀疏分割計(jì)算方法

為解決現(xiàn)有方案在計(jì)算效率和精度無(wú)法兼顧的不足，本節(jié)將基于切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)建立適于加速計(jì)算電性天線輻射電磁場(chǎng)的非均勻稀疏分點(diǎn)的高斯-切比雪夫積分方法，以保證了計(jì)算精度的同時(shí)極大的減小了積分節(jié)點(diǎn)數(shù)，提升了計(jì)算效率。

2.1 基于高斯—切比雪夫積分的非均勻稀疏分割計(jì)算方法

在高斯勒讓德數(shù)值積分方法在地面有限長(zhǎng)電性天線輻射電磁場(chǎng)加速計(jì)算方面的應(yīng)用發(fā)展基礎(chǔ)上[9,16]，本論文提出基于高斯—切比雪夫積分的非均勻稀疏分割方法，利用具備帶權(quán)正交性的切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為高斯積分點(diǎn)，采用帶權(quán)值的拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算積分系數(shù)，并通過(guò)對(duì)積分核函數(shù)的構(gòu)造實(shí)現(xiàn)快速精確的計(jì)算。下面給出基于高斯-切比雪夫積分的非均勻稀疏分割計(jì)算方法的流程。

1）求n＋1次切比雪夫多項(xiàng)式的n＋1個(gè)零點(diǎn)，用于后續(xù)產(chǎn)生積分節(jié)點(diǎn)。

由于切比雪夫多項(xiàng)式在區(qū)間[-1,1]內(nèi)帶權(quán)值ρ(x)＝(1-x2)-1/2,x∈[-1,1]正交性，n＋1次切比雪夫多項(xiàng)式的n＋1個(gè)零點(diǎn)也是高斯點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的高斯-切比雪夫積分的代數(shù)精度是2n＋1次的。切比雪夫多項(xiàng)式滿足下面的遞推關(guān)系式：

其對(duì)應(yīng)的n＋1個(gè)零點(diǎn)為：

2）計(jì)算各節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的帶權(quán)值ρ(x)＝(1-x2)-1/2,x∈[-1,1]的拉格朗日插值基函數(shù)l k(x)，用于計(jì)算各積分節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的積分系數(shù)。x k對(duì)應(yīng)的拉格朗日插值基函數(shù)l k(x)為：

3）求各積分節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的積分系數(shù)A k，計(jì)算式為：

4）積分區(qū)間變換，調(diào)整積分區(qū)間與有限長(zhǎng)電性天線長(zhǎng)度范圍匹配。

積分節(jié)點(diǎn)x k及其對(duì)應(yīng)積分系數(shù)A k與積分區(qū)間無(wú)關(guān)，僅與分點(diǎn)數(shù)（積分階數(shù)）有關(guān)。因此，算法實(shí)現(xiàn)時(shí)可以將常用階數(shù)的積分節(jié)點(diǎn)和積分系數(shù)存儲(chǔ)以備隨時(shí)調(diào)用，以此獲得額外的加速計(jì)算效率。積分區(qū)間變換式如下：

式中，a和b分別為電性天線長(zhǎng)度范圍對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)。

當(dāng)計(jì)算天線的X軸分量時(shí)，b＝L x/2，a＝-L x/2，計(jì)算得到的為天線X軸分量各分點(diǎn)坐標(biāo)l xk；

當(dāng)計(jì)算天線的Y軸分量時(shí)，b＝L y/2，a＝-L y/2，計(jì)算得到的為天線Y軸分量各分點(diǎn)坐標(biāo)l yk；

當(dāng)計(jì)算天線的Z軸分量時(shí)，b＝L z/2，a＝-L z/2，計(jì)算得到的為天線的Z軸分量各分點(diǎn)坐標(biāo)l zk。求解過(guò)程中的x k保持不變。L x、L y和L z通過(guò)投影變化得到：

5）代入式（25）中計(jì)算任意姿態(tài)有限長(zhǎng)電性天線的輻射電磁場(chǎng)。

本文建立的基于高斯-切比雪夫積分方法進(jìn)行典型層狀海洋模型任意姿態(tài)有限長(zhǎng)電性天線電磁場(chǎng)的快速計(jì)算方法，是以n＋1次切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為積分節(jié)點(diǎn)構(gòu)建代數(shù)精度為2n＋1次的積分求解方法，實(shí)現(xiàn)了非均勻稀疏分割積分方法，以保證計(jì)算效率和精度。

2.2 模擬計(jì)算結(jié)果與性能分析

為驗(yàn)證本文提出方法的效果，表1給出下列模擬仿真計(jì)算案例，以對(duì)比本文提出方法相比現(xiàn)有計(jì)算方法的性能提升。

表1 模擬仿真案例參數(shù)列表

圖7 —14給出了海底沿x軸和y軸方向0～1 km范圍內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度總場(chǎng)、各分量及電場(chǎng)總場(chǎng)和各分量的幅度和相位分布曲線。從幅度分布曲線的計(jì)算結(jié)果可知，電偶極子天線近似計(jì)算結(jié)果誤差最大，甚至短偏移距時(shí)的分布曲線形態(tài)已無(wú)法反應(yīng)真實(shí)分布曲線形態(tài)，如圖8和圖12給出的電場(chǎng)總場(chǎng)及各分量幅度分布曲線；從相位分布曲線計(jì)算結(jié)果可知，電偶極子天線近似計(jì)算結(jié)果的相位分布在短偏移距時(shí)存在較大誤差，如圖10和圖14所示。對(duì)比均勻密集分割頻域計(jì)算結(jié)果與本論文提出方法的頻域計(jì)算結(jié)果可知，本文方法的計(jì)算結(jié)果與均勻密集分割計(jì)算結(jié)果精度相當(dāng)，幅度和相位分布曲線具有很好的一致性。

圖7 海底x方向0～1 km范圍內(nèi)磁感應(yīng)總場(chǎng)及各分量的幅度分布曲線

圖8 海底x方向0～1 km范圍內(nèi)電場(chǎng)總場(chǎng)及各分量的幅度分布曲線

圖10 海底x方向0～1 km范圍內(nèi)電場(chǎng)各分量的相位分布曲線

圖12 海底y方向0～1 km范圍內(nèi)電場(chǎng)總場(chǎng)及各分量的幅度分布曲線

圖14 海底y方向0～1 km范圍內(nèi)電場(chǎng)各分量的相位分布曲線

圖15和圖16出了海底（0,500 m）位置的磁感應(yīng)總場(chǎng)、各磁場(chǎng)分量、電場(chǎng)總場(chǎng)和各電場(chǎng)分量的負(fù)階躍響應(yīng)曲線。其中，實(shí)線為電偶極子天線近似結(jié)果，劃線為均勻精細(xì)分割計(jì)算結(jié)果，點(diǎn)線為本文提出的基于高斯-切比雪夫積分方法的非均勻稀疏分割積分計(jì)算結(jié)果。

圖9 海底x方向0～1 km范圍內(nèi)各磁感應(yīng)強(qiáng)度分量的相位分布曲線

圖15 海底(0,500 m)位置的磁感應(yīng)總場(chǎng)及各分量的負(fù)階躍響應(yīng)

圖16 海底(0,500 m)位置的電場(chǎng)總場(chǎng)及各分量的負(fù)階躍響應(yīng)

在計(jì)算機(jī)配置為Win7系統(tǒng)，六核Intel i5-8400，主頻2.80 GHz，8 GB RAM條件下，仿真軟件采用MatlabR2018a-64位版本，模擬計(jì)算單頻點(diǎn)，200個(gè)觀測(cè)點(diǎn)6個(gè)分量的仿真計(jì)算耗時(shí)間如表2所示。推薦使用的非均勻稀疏分割計(jì)算參數(shù)為積分節(jié)點(diǎn)數(shù)7～13，誤差限1e-8～1e-12。

表2 計(jì)算耗時(shí)統(tǒng)計(jì) s

圖11 海底y方向0～1 km范圍內(nèi)磁感應(yīng)總場(chǎng)及各分量的幅度分布曲線

對(duì)比本文方法與電偶極子天線近似計(jì)算方法、均勻密集分割計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果精度和計(jì)算效率可知，在保證計(jì)算精度的情況下，本文提出的方法對(duì)層狀海洋有限長(zhǎng)電性天線輻射電磁場(chǎng)的時(shí)域和頻域計(jì)算效率的提升達(dá)10倍以上。

圖13 海底y方向0～1 km范圍內(nèi)各磁感應(yīng)強(qiáng)度分量的相位分布曲線

3 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)當(dāng)前層狀海洋下電性天線輻射電磁場(chǎng)時(shí)頻域計(jì)算精度和效率無(wú)法兼顧的問(wèn)題，基于高斯-切比雪夫積分方法，構(gòu)建了適用于層狀海洋模型電性天線輻射電磁場(chǎng)的非均勻稀疏分割快速計(jì)算方法，通過(guò)采用n＋1次切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為分點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)將原有的密集均勻分割點(diǎn)數(shù)極大地減小到以切比雪夫多項(xiàng)式的n＋1個(gè)零點(diǎn)為分點(diǎn)的非均勻稀疏分割計(jì)算方案，在保證計(jì)算精度的前提下，實(shí)現(xiàn)了有限長(zhǎng)電性天線輻射電磁場(chǎng)的快速計(jì)算，兼顧了計(jì)算的精度和效率。這種非均勻稀疏分割積分方法能夠?qū)崿F(xiàn)工程應(yīng)用中數(shù)據(jù)解釋的效率和準(zhǔn)確性的提升?！?/p>