朱 偉，王治健，曹文吉

(重慶郵電大學 復雜系統(tǒng)智能分析與決策重慶市高校重點實驗室，重慶 400065)

0 引 言

多智能體系統(tǒng)作為群體智能領域的一類典型系統(tǒng)，近10余年來受到了廣大科研工作者的高度重視，其協(xié)同控制在包括航空航天在內(nèi)的眾多領域中展現(xiàn)出了強大的應用潛力。柴院士[1]指出：多智能體協(xié)同控制系統(tǒng)是實現(xiàn)運載工具未來需求的自動化系統(tǒng)愿景功能的三大系統(tǒng)之一。

編隊控制是多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制的熱點研究問題之一，其通過智能體之間形成的網(wǎng)絡進行局部信息傳輸，調(diào)整智能體之間的相對位置，使智能體系統(tǒng)形成與保持特定的編隊隊形。近年來，學者們針對不同類型的多智能體系統(tǒng)開展編隊控制問題的研究，如一階系統(tǒng)[2],二階系統(tǒng)[3]，一般線性系統(tǒng)[4-5]以及哈密頓系統(tǒng)[6]等。

最近，林志贇教授團隊將復Laplacian引入到多智能體系統(tǒng)編隊控制研究中[7-9]，基于相對位置信息，得出連續(xù)線性分布式控制策略，證明了穩(wěn)定增益矩陣的存在性，得出了編隊形成的幾何條件，即圖是雙根的，從而實現(xiàn)了多智能體系統(tǒng)的完全分布式編隊控制。然而，留意到關(guān)于多智能體系統(tǒng)編隊控制的大部分研究成果中，控制器需要使用鄰居的連續(xù)信息，導致編隊的實現(xiàn)需要消耗大量的通信資源、在線計算信息等，對編隊的實際應用具有巨大的挑戰(zhàn)性?；谑录|發(fā)的通信機制提供了一種能有效節(jié)約多智能體系統(tǒng)資源的新方法，由于其在減少信息交換方面的潛在優(yōu)勢，受到了廣泛關(guān)注。文獻[10]研究了基于實Laplacian的二階多智能體系統(tǒng)環(huán)形編隊的問題，證明了在集中式和分散式的事件觸發(fā)控制協(xié)議下，二階多智能體系統(tǒng)能形成環(huán)形編隊。文獻[11]研究了基于事件觸發(fā)機制的環(huán)形編隊問題，假設所有智能體均在同一圓環(huán)上移動，每個智能體僅能獲取自身與其前后2個相鄰智能體的相對位置信息。文獻[10-11]的研究局限在環(huán)形編隊。文獻[12]研究了連續(xù)和離散系統(tǒng)在事件觸發(fā)控制下基于復矩陣的編隊問題，在滿足圖論的條件下，系統(tǒng)能形成具有3個自由度——平移、旋轉(zhuǎn)、收縮的相似編隊且不存在Zeno現(xiàn)象。文獻[13]研究了存在輸入時延的連續(xù)多智能體系統(tǒng)在事件觸發(fā)控制下基于復矩陣的編隊問題，給出系統(tǒng)能形成相似編隊的充分條件，且排除了Zeno現(xiàn)象。

本文將針對一類由復差分方程描述的多智能體系統(tǒng)的編隊問題開展研究。利用智能體的狀態(tài)信息及指數(shù)衰減函數(shù)構(gòu)造了事件觸發(fā)函數(shù)，進而根據(jù)事件觸發(fā)條件確定事件觸發(fā)序列，并在考慮智能體控制器存在輸入時延的情況下，設計了一類基于事件觸發(fā)機制的控制器，從而獲得了多智能體系統(tǒng)形成任意給定編隊的充分條件,并給出了輸入時延的存在范圍。進一步，排除了事件觸發(fā)序列在離散意義下可能存在的Zeno現(xiàn)象。最后通過數(shù)值仿真例子驗證了本文理論結(jié)果的有效性。

1 基本定義及模型

為了刻畫智能體之間的連接關(guān)系，引入如下的圖論知識。

無向圖G=(ν,ε,A) 表示智能體之間的通信拓撲圖，其中，ν={v1,…,vn}為頂點集合；ε?ν×ν為邊集;A=(aij)n×n為鄰接矩陣，aii=0,aij=aji>0 如果(i,j)∈ε，否則aij=0。Ni表示智能體i的集合，即Ni={j:(i,j)∈ε)}。

復LaplacianL的元素L(i,j)由(1)式確定

(1)

(1)式中，ωij滿足

(2)

(2)式中，ξ=[ξ1,ξ2,…,ξn]T∈n，ξi≠ξj當i≠j， 為任意編隊。

定義1[8]如果ker(L)=c11n+c2ξ，則稱由Lξ=0指定的框架圖(G,ξ)是相似的，其中，c1,c2∈。

定義2[8]對頂點v及非孤立點集u?G，若去掉任意不同于v的頂點后，還存在一條u中的頂點到頂點v的路，則稱頂點v是2可達的。

定義3[8]如果無向圖G中存在2個頂點，使得其他頂點到這2個頂點都是2可達的，則稱無向圖G是雙根的，這2個頂點稱為圖G對應的根。

考慮復平面中的n個智能體，其動力學方程為

zi(t+h)=zi(t)+hui(t),i=1,2,…,n

(3)

(3)式中，zi∈與ui(t)∈分別表示第i個智能體的狀態(tài)與控制輸入。本文在假設系統(tǒng)狀態(tài)可測的基礎上研究控制器存在輸入時延時，系統(tǒng)(1)的基于事件觸發(fā)機制的任意隊形編隊問題，為此控制器設計如下

(4)

(5)

ei(t-τ)-ej(t-τ))

(6)

令Q為(n-2)×n的行正交矩陣，即QQT=In-2，且Q1n=0,Qξ=0。由文獻[9]知，多智能體系統(tǒng)(3)能形成目標編隊ξ等價于y:=Qz→0,z=[z1,z2,…,zn]T。

注意到In-QTQ為向量1n與ξ生成空間上的正交投影矩陣，且1n與ξ在L的零空間中，所以L(I-QTQ)=0 ，即L=LQTQ。

故，由(3)式和(6)式得

y(t+h)=y(t)-hρQΓLQTy(t-τ)-

hρQΓLe(t-τ)

(7)

(7)式中：y(t)=[y1(t),…,yn(t)]T，Γ=diag{γ1,…,γn}；e(t)=[e1(t),…,en(t)]T，

定義4如果對任意初始值zi(0)，都存在正常數(shù)χ>0與0<ζ<1，使得

‖Qz(t)‖=‖y(t)‖≤χζt,t≥0

(8)

則稱多智能體系統(tǒng)(3)能全局指數(shù)收斂到任意隊形ξ的相似編隊。

2 主要結(jié)果

引理1[9]給定雙根圖G及隊形ξ，對滿足條件Lξ=0的LaplacianL，存在矩陣Γ使得ΓL除2個0以外的特征值可以分布在復平面任意位置。

引理2[12]矩陣QΓLQT與矩陣ΓL具有相同的非零特征值。

引理4若σ(In-2-hρQΓLQT)<1，則存在正常數(shù)ψ>0與ζ∈(0,1)使得

‖In-2-hρQΓLQT‖p≤ψζp,

p=0,1,2,…

(9)

證由方程(7)，通過簡單迭代可知

y(t)=(In-2-hρQΓLQT)py(0)-y(sh))-

p-s-1hρQΓLe(sh-τ)

(10)

進而由引理4有

(11)

由事件觸發(fā)條件知

(12)

下面將證明對任意N>1有

‖y(t)‖

(13)

若(13)不成立，則必然存在t*=p*h>0 使得

‖y(t*)‖≥NZηt*

(14)

且

‖y(t)‖

(15)

所以，由(11)—(15)式得

NZηt*≤y(t*)≤

ψζp*‖y(0)‖+hρ‖QΓLQT‖

ψζp*‖y(0)‖+

Nψζp*‖y(0)‖+

(16)

情形1Z=Z1

此時有ψ‖y(0)‖-Z1≤0，則

情形2Z=ψ‖y(0)‖

此時有ψ‖y(0)‖≥Z1，則

NZηt*

NZηt*矛盾。

以上2種情形矛盾顯示，(3)式對任意N>1均成立，令N→1即可得

‖y(t)‖≤Zηt,t≥0

(17)

因此,z(t)全局指數(shù)收斂到c11n+c2ξ，即多智能體系統(tǒng)(3)能全局指數(shù)收斂到任意隊形ξ的相似編隊。

因為z(t)全局指數(shù)收斂到c11n+c2ξ，所以存在正常數(shù)T>0使得

‖zi(t)-(c1+c2ξi)‖≤Zηt,t>T

(18)

‖zi(t)-(c1+c2ξi)‖≤

(19)

由事件觸發(fā)時間的確定知，只有當fi(t)≥0 時事件才會被觸發(fā)，即

(20)

因此，由(19)式和(20)式可得

即

(21)

3 數(shù)值仿真

本部分將利用包含6個智能體的多智能體系統(tǒng)進行數(shù)值仿真，驗證本文所得理論結(jié)果的有效性。假設

ξ=[-1+ι,-2+2ι,-2-2ι,

2-2ι,2+2ι,1+ι]T，

智能體之間的通信拓撲如圖1。

圖1 通信拓撲圖Fig.1 Communication graph

并假設智能體之間有連接，則權(quán)重為1，否則為零。顯然節(jié)點1與2為此圖的2個根。由ξ可知，Laplacian矩陣可以選擇如下

(22)

滿足rank(L)=n-2,Lξ=0。

簡單計算可知，Laplacian矩陣L的特征值為

λ1=-5.9767-0.9778ι；λ2=-1.8096+0.5166ι；λ3=-1.8425-2.3150ι；λ4=-0.3713-2.2239ι；λ5=0,λ6=0。令Γ=diag{-1,-1,-1,-1,-1,-1}，

(23)

則QΓLQT的特征值為λ1=5.976 7+0.977 8ι，λ2=1.809 6-0.516 6ι，λ3=0.371 3+2.223 9ι，λ4=1.842 5+2.315 0ι。因此，根據(jù)定理1，可以選擇α，γ，β1，β2，τ使得多智能體系統(tǒng)隊形ξ的相似編隊。

令z(0)={1+ι,2-ι,3+1ι,4-1ι,5+ι,2-ι}T，h=0.000 1，ψ=1，η=0.36，ζ=0.35，δ1=0.01，δ2=2.2，ρ=1，α=0.37，β1=0.01，β2=2.2，γ=0.35，τ=0.000 1。仿真結(jié)果如圖2，圖3，可見相似編隊達到且事件觸發(fā)時間序列不存在Zeno現(xiàn)象。

圖3 事件觸發(fā)時間序列Fig.3 Event-triggered timesequences

4 結(jié) 論

針對存在輸入時延情況下的多智能體系統(tǒng)編隊問題，本文利用圖論、矩陣理論和穩(wěn)定性理論研究了事件驅(qū)動控制下一類由復差分方程描述的多智能體系統(tǒng)的編隊問題，設計了含輸入時延的事件驅(qū)動控制器，其驅(qū)動時間序列由構(gòu)造的事件觸發(fā)函數(shù)確定。利用事件觸發(fā)控制器，很大程度的減少了控制器的更新次數(shù)，并得到了系統(tǒng)形成任意給定編隊的充分條件也排除了離散意義下的Zeno現(xiàn)象。數(shù)值仿真結(jié)果驗證了理論的有效性。