唐 洪

(陜西彬長礦業(yè)集團(tuán)有限公司工程研究中心，陜西 咸陽 712000)

0 引言

均勻設(shè)計法是由我國數(shù)學(xué)家方開泰教授和王元教授提出的，它是數(shù)論在多維數(shù)值積分的應(yīng)用原理構(gòu)造一套均勻設(shè)計表，用來進(jìn)行均勻設(shè)計實驗，采用近似偏差對每個設(shè)計表的均勻性進(jìn)行量化，實現(xiàn)實驗點的均勻分布。均勻設(shè)計有其獨特的實驗布點方式：①每個因素的每個水平制作一次實驗；②任2個因素的實驗點在平面格子上，每行每列有且僅有一個實驗點；③任兩列組成的實驗方案一般不等價；④當(dāng)實驗因素增加時，實驗水平數(shù)按水平數(shù)的增加量而增加。

有約束均勻設(shè)計法是在均勻設(shè)計基礎(chǔ)上，對實驗中因素的變化范圍加以限制，在實驗因素有變化范圍限制基礎(chǔ)上，實現(xiàn)實驗點的均勻分布，此法多用于配方均勻設(shè)計中，使代表實驗點能夠覆蓋全面實驗，具體步驟為：①轉(zhuǎn)化實驗約束條件，使實驗研究范圍轉(zhuǎn)變成二維研究區(qū)域；②對二維區(qū)域進(jìn)行均勻設(shè)計；③檢驗均勻設(shè)計中的實驗點是否全部落在實驗研究區(qū)域內(nèi)，保證均勻設(shè)計表中的所有實驗點全部落在實驗研究區(qū)域內(nèi)。

1 有約束均勻?qū)嶒炘O(shè)計

1.1 確定試驗范圍

相似材料的原料為砂、石膏、大白粉和水，制作相似材料時[1-4]，拌合水量過大，石膏溶液會部分溢出，過小，試件不易成型，因此在制作相似材料時應(yīng)控制水量，使相似材料的粘稠度適中，因此試驗只研究不同砂含量x1、石膏含量x2和大白粉含量x3對相似材料抗壓強度的影響，考慮到相似材料配比中骨料的含量比較大，而膠結(jié)物的含量相對很小，同時又能均勻分布試驗點，因此試驗采用有約束均勻設(shè)計法。根據(jù)實際經(jīng)驗確定試驗范圍D如下：砂含量0.85

1.2 確定試驗回歸模型及試驗方案

(1)

試驗點的最小個數(shù)應(yīng)該不小于回歸模型中的參數(shù)個數(shù)，為了減少工作量，縮短試驗時間，試驗點的個數(shù)可確定為10次。因為試驗研究范圍D是三維空間，為了在x1+x2+x3=1的條件下達(dá)到降維的目的，可將實驗范圍轉(zhuǎn)化為二維空間D1，并確定矩形區(qū)域R。

(2)

式中，m為因素的個數(shù)，本實驗為3。

則式(2)可轉(zhuǎn)換為

0.01

0.08

試驗確定的矩形R及試驗區(qū)域D1如圖1所示。

圖1 試驗范圍R和D1

確定的矩形區(qū)域R=[0.01,0.022 5]×[7/15,12/15]，然后選取合適的均勻設(shè)計使矩形R中的點通過變換成為單位正方體中的點，其次通過線性變換使這些點落在試驗研究區(qū)域范圍D1內(nèi)。

線性變換公式為

(3)

單位正方體到矩形R的變換

最后確定的試驗點為

通過上述過程，完成了對矩形區(qū)域R的均勻設(shè)計，但需要檢查每個試驗點是否落在區(qū)域D1內(nèi)，落在區(qū)域D1內(nèi)的點個數(shù)剛好為10的設(shè)計即為滿足設(shè)計要求的組合。因X1+X2+X3=1約束，則只需對X1、X2進(jìn)行試驗點區(qū)域檢驗。設(shè)計試驗點見表1～2。

表1 U11(1110)使用表

表2 采用 U11(1110)設(shè)計試驗點

2 試驗結(jié)果回歸分析

2.1 試驗結(jié)果總體分析

根據(jù)配比計算各材料用量及拌合水量，用雙開模具制作試件，保持試件表面平整，圓柱體試件半徑5 cm，高70 cm，試件制作完成后，常溫下自然干燥7 d，再運用XX-Y2電動無側(cè)限壓力儀進(jìn)行抗壓強度試驗，測定試件的最大抗壓強度，結(jié)果見表3。

表3 均勻設(shè)計試驗點抗壓強度結(jié)果

不同配比相似材料的抗壓強度相差較大，隨砂含量、石膏含量、大白粉含量的不同，抗壓強度變化顯著，在試驗所確定各因素的試驗范圍內(nèi)，相似材料的抗壓強度范圍在0.073～0.31 MPa之間，試驗選取的幾何相似常數(shù)和容重相似常數(shù)分別為αi=100,αr=2.0，則原巖抗壓強度(σ壓)原巖=αi·αr·(σ壓)相似材料=(14.6-62.0)MPa。

分析結(jié)果表明，相似材料的抗壓強度分布范圍較廣，可滿足多種不同性質(zhì)巖層的抗壓強度要求，說明石膏大白粉相似材料是模擬巖層的合適材料，同時根據(jù)試驗的抗壓強度數(shù)據(jù)可為后期的物理相似模擬試驗提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

2.2 經(jīng)驗方程的回歸處理及顯著性檢驗

試驗Scheffe多項式的回歸模型建立三元三次回歸方程為

轉(zhuǎn)化三元三次方程為三元線性方程

y=a1x1+a2x2+a3x3+a12x1x2+a13x1x3+a23x2x3+k12x1x2(x1-x2)+k13x1x3(x1-x3)+k23x2x3(x2-x3)+a123x1x2x3

令x1=X1,x2=X2,x3=X3,x1x2=X4,x1x3=X5,x2x3=X6,x1x2(x1-x2)=X7,x1x3(x1-x3)=X8,x2x3(x2-x3)=X9,x1x2x3=X10

a1=A1,a2=A2,a3=A3,a12=A4,a13=A5,a23=A6,k12=A7,k13=A8,a23=A9,a123=A10

應(yīng)用矩陣的方法擬合方程，回歸結(jié)果為

y壓=1.0×107[-0.001 027x1+3.694 2x2-0.009 8x3-5.892 7x1x2+0.012 8x1x3-4.161 8x2x3+2.250 5x1x2(x1-x2)+0.007 5x1x3(x1-x3)-0.863 2x2x3(x2-x3)+2.379 2x1x2x3]

回歸精度檢驗見表4。

表4 試驗值與回歸值的比較

分析可知，試驗抗壓強度和回歸值相對偏差在0.28%～1.22%之間，說明實驗數(shù)據(jù)與經(jīng)驗方程有很好的擬合，Scheffe三元三次多項式回歸方程的回歸精度很高，并運用F檢驗法分析方程回歸顯著性，結(jié)果見表5。

表5 變量分析

試驗次數(shù)N=10，顯著性水平α=0.05，F(xiàn)=87.07>臨界值F0.05=4.757，回歸方程顯著。

為檢驗回歸方程在整個試驗范圍的可靠性，試驗選取不同配比號的相似材料來進(jìn)行檢驗，試驗結(jié)果見表6，分析結(jié)果可知相對偏差在0～10%內(nèi)，表明抗壓強度的回歸方程是可以接受的。

表6 回歸精度檢驗

2.3 各因素敏感性分析

計算因素F檢驗值：F(X1)=7.368，F(xiàn)(X2)=30.267，F(xiàn)(X3)=12.356，結(jié)合殘差分析可知，石膏含量的敏感性最強，砂含量的敏感性最弱?？箟簭姸入S石膏含量的強度明顯增大，而且在砂含量、石膏含量、大白粉含量同時變化時，相似材料的抗壓強度隨石膏含量的增大而增大，砂含量和大白粉含量的變化對抗壓強度的影響程度弱于石膏含量對抗壓強度的影響。

3 結(jié)論

(1)有約束均勻設(shè)計法極大減少了試驗次數(shù)，在均勻分布試驗點基礎(chǔ)上，分析得出不同配比煤巖相似材料的抗壓強度分布范圍較廣，能夠滿足多種不同性質(zhì)巖層對相似材料抗壓強度的要求，為后期物理相似模擬試驗提供一定的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

(2)相似材料配比中，相似材料的抗壓強度對石膏含量的敏感性最強，對砂含量的敏感性最弱，在約束范圍內(nèi)，煤巖相似材料的抗壓強度隨石膏含量呈明顯增大趨勢。

(3)在有約束均勻設(shè)計法中引入Scheffe多項式回歸模型，簡化了三元三次回歸方程參數(shù)的個數(shù)，回歸出了相似材料抗壓強度的非線性經(jīng)驗公式，用F檢驗法對回歸方程進(jìn)行檢驗，發(fā)現(xiàn)回歸方程顯著，可通過配比得到不同抗壓強度的煤巖相似材料。