孫文勝，馬天然

(杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

大規(guī)模多入多出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)系統(tǒng)通過配備大數(shù)量級(jí)天線以提高多路復(fù)用的能效，具有可靠性高、無線系統(tǒng)容量大等特點(diǎn)，是5G發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù)之一[1]。正確的信道狀態(tài)信息(Channel State Information，CSI)是充分發(fā)揮大規(guī)模MIMO優(yōu)勢的前提條件。在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，由多個(gè)天線引起的多載波信號(hào)疊加特性使得信道估計(jì)變得困難，并且下行鏈路信道的CSI只能通過接收器來估計(jì)[2]。在實(shí)際MIMO正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)系統(tǒng)中，信道狀態(tài)信息的獲取需要通過信道估計(jì)技術(shù)來完成，傳統(tǒng)的信道估計(jì)方法主要分為盲信道估計(jì)、半盲信道估計(jì)以及基于導(dǎo)頻的信道估計(jì)方法[3]，基于導(dǎo)頻的信道估計(jì)易實(shí)現(xiàn)，應(yīng)用廣泛。

近年來，用戶信道矩陣在多小區(qū)多用戶MIMO系統(tǒng)中具有隱藏稀疏特性[4]，故引入壓縮感知(Compressed Sensing，CS)技術(shù)進(jìn)行信道估計(jì)。稀疏信號(hào)從高維“壓縮”到低維變成測量向量，根據(jù)篩選條件選擇出較好的觀測向量從而恢復(fù)原信號(hào)[5]。經(jīng)典的貪婪重構(gòu)恢復(fù)算法有正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法[6]、正則化正交匹配(Regularized OMP，ROMP)算法[7]以及廣義正交匹配追蹤(Generalized OMP，GOMP)算法[8]，這幾種算法恢復(fù)信號(hào)時(shí)都需要借助于信號(hào)的稀疏度信息。但在實(shí)際應(yīng)用中，信道的稀疏度是一個(gè)不確定信息，對(duì)算法的重構(gòu)精度有所影響。文獻(xiàn)[9]提出一種分段正交匹配追蹤(Stagewise Orthogonal Matching Pursuit，StOMP)算法，無需確定信號(hào)稀疏度既可較為準(zhǔn)確地恢復(fù)信號(hào)，但是算法的閾值選擇具有人為性，降低了不同場景下的重構(gòu)效率。通過對(duì)壓縮感知重構(gòu)算法深入研究發(fā)現(xiàn)，原子挑選閾值和迭代停止條件對(duì)信號(hào)重構(gòu)效率有直接影響。文獻(xiàn)[10]提出一種改進(jìn)GOMP算法，根據(jù)每次迭代隨機(jī)生成的概率值與設(shè)定概率值的對(duì)比結(jié)果來決定原子挑選的方式。文獻(xiàn)[11]采用二次篩選和變步長選擇方式進(jìn)行原子的挑選。文獻(xiàn)[12]在每次迭代時(shí)選取或刪除合適數(shù)量的原子。文獻(xiàn)[13]改進(jìn)了壓縮采樣匹配追蹤(CompressiveSampling MP，CoSaMP)算法中衡量向量系數(shù)相關(guān)性的判定方式，提高了估計(jì)精度。文獻(xiàn)[14]將相鄰迭代感知矩陣和殘差之間的相關(guān)度變化量作為迭代停止條件，提高了算法的效率。StOMP算法運(yùn)用在不同場景時(shí)其閾值需要多次訓(xùn)練，同時(shí)在低信噪比信號(hào)下重構(gòu)精度較差，為此，本文基于StOMP算法，通過改進(jìn)算法的閾值設(shè)置，進(jìn)而提出一種自適應(yīng)雙閾值的比例積分微分-分段正交匹配追蹤(Proportion Integral Derivative-StOMP, PID-StOMP)算法。

1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型

1.1 壓縮感知理論

壓縮感知技術(shù)就是運(yùn)用信號(hào)的稀疏性質(zhì)或在某個(gè)變換域上可壓縮的特點(diǎn)，用信息采樣代替信號(hào)采樣并從隨機(jī)映射的觀測值中獲取有效信號(hào)的過程。其數(shù)學(xué)模型表示如下：

y=Ψx

(1)

式中，y∈RM×1是觀測向量，表示對(duì)M個(gè)觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行觀測；x∈RN×1是原信號(hào)(M?N)；Ψ∈RM×N是測量矩陣。壓縮感知要求信號(hào)為稀疏的，因此需要將無線傳輸?shù)男诺佬盘?hào)通過一個(gè)矩陣映射到稀疏空間，即通過傅里葉變換到頻域空間上進(jìn)行壓縮，其稀疏表達(dá)式如下：

x=Φθ

(2)

式中，Φ∈RM×N是變換矩陣，θ∈RN×1是原信號(hào)x在變換域的表達(dá)，若其中非零元素的個(gè)數(shù)K遠(yuǎn)小于原始信號(hào)長度N，則稱其為K稀疏信號(hào)。而θ中所有非零元素構(gòu)成的列集合即為支撐集，記作supp(θ)。這樣，信號(hào)x就經(jīng)過正交基矩陣變換為在Φ域內(nèi)稀疏的信號(hào)。

根據(jù)式(1)和式(2)，重構(gòu)信號(hào)模型描述為：

y=ΨΦθ

(3)

1.2 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)信道模型

圖1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型

本文采用的系統(tǒng)模型是多小區(qū)大規(guī)模MIMO-OFDM系統(tǒng)模型，共設(shè)置L個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)設(shè)置中心基站并配有M根均勻排列的發(fā)射天線，服務(wù)于小區(qū)中K個(gè)同時(shí)通信的移動(dòng)用戶，即信號(hào)的稀疏度為K，其系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1所示的系統(tǒng)模型下，第i(i=1,2,…,L)個(gè)小區(qū)中第j個(gè)(j=1,2,…,K)用戶接收到的信號(hào)yij∈RM×i表示為：

yij=Hijxj+ni

(4)

式中，Hij∈RM×K表示第i個(gè)小區(qū)中第j個(gè)用戶接收到的信道矩陣，一般由無線信道的衰落情況來決定；xj∈RK×1是用戶發(fā)射的訓(xùn)練序列；ni∈RM×1是小區(qū)內(nèi)用戶接收到的高斯白噪聲，其均值為0，方差為σ2。

用矩陣形式來表示第i個(gè)小區(qū)接收的信號(hào)：

Y=HiXi+Ni

(5)

式中，Hi=[H1iH2i…HKi]是I個(gè)小區(qū)中所有的用戶信道組成的信道矩陣；Xi=[X1X2…XI]T是這I個(gè)小區(qū)發(fā)送的訓(xùn)練信號(hào)矩陣。

由于信號(hào)在傳播過程中的衰落特性，使得信道矩陣在頻域空間中表現(xiàn)出稀疏特性，因此可以通過壓縮感知的方式來估計(jì)信道。

2 自適應(yīng)雙閾值比例積分微分-分段正交匹配追蹤算法

分段正交匹配追蹤算法StOMP是基于OMP算法改進(jìn)的一種自下而上的貪婪算法，先預(yù)設(shè)1個(gè)可能解，再通過迭代來逼近全局最優(yōu)解。在每次迭代時(shí)，首先計(jì)算傳感矩陣與上次迭代殘差的內(nèi)積，從中篩選出符合設(shè)置門限的多個(gè)原子，更新候選原子集合；然后求解最小二乘解的同時(shí)記錄當(dāng)前殘差。與普通的OMP算法相比，迭代時(shí)，StOMP算法一次性選擇多個(gè)原子，減少了迭代次數(shù)，加快了計(jì)算速度。但是，由于其閾值參數(shù)和迭代次數(shù)的設(shè)置都是憑人為經(jīng)驗(yàn)設(shè)置的，每次迭代重構(gòu)出的信號(hào)可能與原信號(hào)有一定誤差，降低了重構(gòu)精度[15]。針對(duì)這個(gè)問題，本文改進(jìn)了分段正交匹配追蹤算法，提出一種自適應(yīng)雙閾值的比例積分微分-分段正交匹配追蹤算法PID-StOMP。

首先，改進(jìn)原子的挑選閾值。引入比例-積分-微分(Proportion-Integral-Derivative，PID)思想，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的參數(shù)無法有效確定時(shí)，PID算法將計(jì)算值與預(yù)設(shè)值進(jìn)行比較，對(duì)所得誤差進(jìn)行比例、微分、積分運(yùn)算，再反饋到輸入值重新調(diào)整參數(shù)，直到誤差符合預(yù)設(shè)誤差的范圍[16]。

常規(guī)的PID連續(xù)控制微分方程用比例系數(shù)Kp、積分時(shí)間常數(shù)Ti和微分時(shí)間常數(shù)Td表示：

(6)

式(6)中，微分單元和積分單元都要求輸入誤差是連續(xù)值，根據(jù)多小區(qū)多用戶的系統(tǒng)模型可知，所得重構(gòu)信號(hào)的誤差值一般為離散的，則離散化表示迭代的門限閾值u：

(7)

由于此時(shí)的誤差調(diào)整需要遍歷之前所有的誤差狀態(tài)，對(duì)系統(tǒng)的存儲(chǔ)容量和計(jì)算能力提出較高的要求，因此，引入增量型計(jì)算誤差值，使得當(dāng)前迭代閾值無需累加，從而提高了算法的可行性。增量化表示如下：

Δut=ut-ut-1=KpΔet+Kiet+Kd[Δet-Δet-1]

(8)

式中，Δet=et-et-1，應(yīng)用于PID-StOMP算法中的動(dòng)態(tài)變化閾值參數(shù)表達(dá)為：

ut=Kp(et-et-1)+Kd(et+et-2-2et-1)+Kiet

(9)

然后，改進(jìn)迭代停止條件。迭代終止次數(shù)的設(shè)置需要以信噪比作為先驗(yàn)知識(shí)。實(shí)際環(huán)境中，信噪比是未知的，應(yīng)用范圍受限。PID-StOMP算法通過引入殘差能量的閾值判決來提高重構(gòu)精度，但是，因?yàn)闅埐钅芰恐杏幸徊糠帜芰繉儆谠肼暷芰浚谳^低信噪比情況下，噪聲能量占據(jù)殘差能量的絕大部分，因此考慮在低信噪比條件下，對(duì)式(4)進(jìn)行如下修改：

(10)

(11)

(12)

當(dāng)?shù)螖?shù)不斷累加，殘差能量的變化主要由隨機(jī)噪聲能量引起。為了消除信號(hào)帶寬外的隨機(jī)噪聲分量對(duì)迭代狀態(tài)的影響，將式(12)和式(13)相減，得到如下迭代終止判決條件：

(13)

圖2 PID-StOMP算法流程圖

本文重構(gòu)信號(hào)的誤差采用歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error, NMSE)作為算法的誤差判斷方式，其表達(dá)式如下：

(14)

PID-StOMP算法的流程如圖2所示。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

為了驗(yàn)證本文提出的PID-StOMP算法在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中用于信道估計(jì)的有效性，在MATLAB 2015b平臺(tái)上仿真模擬TDD工作模式下的下行信道。

仿真采用5個(gè)相鄰的宏蜂窩小區(qū)系統(tǒng)，單個(gè)小區(qū)半徑為1 km，基站位于小區(qū)中心并均勻排列著128根天線。PID-StOMP算法參數(shù)設(shè)置如表1所示。實(shí)驗(yàn)中，為了真實(shí)反映重構(gòu)精度的提升并非閾值選擇范圍擴(kuò)大或減小所致，所有算法的閾值搜索范圍均設(shè)置為[2.0,3.0]。

表1 PID-StOMP算法參數(shù)說明

圖3 PID-StOMP算法搜索得到的最佳閾值

根據(jù)小區(qū)內(nèi)不同的用戶數(shù)量，采用PID-StOMP算法重構(gòu)信號(hào)，在誤差最小的情況下，運(yùn)用PID-StOMP算法搜索出的最佳挑選原子閾值不盡相同，結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出，當(dāng)小區(qū)用戶數(shù)發(fā)生變化時(shí)，挑選原子的最佳閾值并不是固定的，若采用固定閾值則無法使得恢復(fù)信號(hào)與原始信號(hào)間的誤差最小，從而降低了估計(jì)精度。

圖4 小區(qū)用戶數(shù)為5時(shí)，不同算法的估計(jì)性能

當(dāng)單個(gè)小區(qū)用戶數(shù)為5時(shí)，分別采用OMP算法、StOMP算法(其固定閾值為2.5)及PID-StOMP算法進(jìn)行信道估計(jì)，得到3種算法的估計(jì)性能結(jié)果如圖4所示。從圖4可以看出，在0～5 dB低信噪比情況下，NMSE相同時(shí)，比較3種算法的訓(xùn)練序列信噪比性能，StOMP算法比OMP算法大約提升了1.0～2.0 dB；PID-StOMP算法比StOMP算法大約提升了0.2～0.8 dB。以同樣的方式觀察，當(dāng)信噪比為6～20 dB時(shí)，PID-StOMP算法和StOMP算法的估計(jì)性能近似重合，這是因?yàn)楫?dāng)小區(qū)用戶數(shù)為5時(shí)，由圖3得到的PID-StOMP算法的最佳原子挑選閾值為2.5，與StOMP算法的固定閾值一致。在低信噪比下，PID-StOMP算法的估計(jì)誤差低于StOMP算法，體現(xiàn)了PID-StOMP算法在迭代停止判決階段的閾值優(yōu)勢。

圖5 小區(qū)用戶數(shù)為8時(shí)，不同算法的性能

當(dāng)單個(gè)小區(qū)用戶數(shù)為8時(shí)，分別采用OMP算法、StOMP算法(其固定閾值為2.5)及PID-StOMP算法估計(jì)信道狀態(tài)信息，得到3種算法的信道估計(jì)性能結(jié)果如圖5所示。和圖4相比，3種算法的估計(jì)誤差均有所增大，因?yàn)殡S著小區(qū)用戶數(shù)的增多，信道矩陣維度增大，導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜性增高，降低了估計(jì)精度。在0～5 dB低信噪比下，相比StOMP算法，PID-StOMP算法的訓(xùn)練序列信噪比性能提升了0.6～0.8 dB；相比OMP算法，PID-StOMP算法的訓(xùn)練序列信噪比性能提升更為明顯。圖3中，當(dāng)小區(qū)用戶數(shù)為8時(shí)，PID-StOMP算法的最佳原子挑選閾值為2.4，與StOMP算法固定的閾值2.5不一致，說明PID-StOMP算法能夠根據(jù)當(dāng)前的小區(qū)用戶數(shù)尋找最佳閾值，從而降低了估計(jì)誤差，體現(xiàn)了PID-StOMP算法的自適應(yīng)優(yōu)勢。

結(jié)合圖4和圖5可以看出，在未知小區(qū)用戶數(shù)即稀疏度不確定的情況下，本文提出的改進(jìn)型自適應(yīng)PID-StOMP算法依然可以根據(jù)當(dāng)前無線信道狀態(tài)搜索出最佳閾值，并用該小區(qū)用戶數(shù)量相匹配的最佳閾值來換取信號(hào)重構(gòu)精度的提升。

壓縮感知貪婪算法的復(fù)雜度計(jì)算一般由3部分組成。PID-StOMP算法的復(fù)雜度計(jì)算如下。

(1)初始化部分：對(duì)當(dāng)前殘差進(jìn)行匹配濾波即對(duì)矩陣AT進(jìn)行操作，復(fù)雜度為O(MN)；用軟閾值進(jìn)行原子集合的獲取和更新,復(fù)雜度最大為O(2N)；

(2)主循環(huán)部分：用共軛梯度求投影的最小二乘解，假設(shè)共軛迭代次數(shù)為v，與M，N不相關(guān)，為常量，復(fù)雜度為O(MNv)；

(3)輸出部分：更新殘差并計(jì)算當(dāng)前殘差能量是否符合迭代停止條件，復(fù)雜度為O(2MN)。

表2 不同算法復(fù)雜度對(duì)比

分別計(jì)算OMP算法、StOMP算法及PID-StOMP算法的復(fù)雜度，結(jié)果如表2所示。迭代時(shí)，StOMP算法和PID-StOMP算法可一次性挑選多個(gè)原子，而OMP算法在每次迭代時(shí)只可挑選1個(gè)原子，初始化時(shí)需要多次計(jì)算Cholesky因子分解，其復(fù)雜度更高。從表2可以看出，PID-StOMP算法和StOMP算法在極限條件下復(fù)雜度相近，但PID-StOMP算法憑借其自適應(yīng)雙閾值的特性可達(dá)到更高的重構(gòu)精度。同時(shí)，相較于傳統(tǒng)OMP算法，PID-StOMP算法更適用于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)實(shí)際場景。

4 結(jié)束語

本文主要研究大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，運(yùn)用無線信道稀疏可壓縮等特性，提出一種自適應(yīng)雙閾值的比例積分微分-分段正交匹配追蹤算法，改善了低信噪比情況下信號(hào)重構(gòu)精度較差的現(xiàn)象。下一步將構(gòu)建虛擬角域信道模型，重點(diǎn)研究天線分組以及空間相關(guān)性對(duì)信道估計(jì)性能的影響，并根據(jù)具體場景下信道稀疏的表現(xiàn)，進(jìn)一步優(yōu)化算法的閾值選取方式。