牟從義

（西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川成都，610031）

0 引言

量子熱機(jī)概念是由Scovil和Schultz-Dubois[1]在1959年提出來的，之后量子熱機(jī)在很多領(lǐng)域中都得到了很好的發(fā)展。研究者們利用量子熱機(jī)不同工作物質(zhì)獨(dú)特的屬性，構(gòu)造了許多具有量子特性的量子熱機(jī)。量子熱機(jī)研究最重要的意義在于，有的量子熱機(jī)打破了經(jīng)典熱力學(xué)極限[2][3][4]，超越經(jīng)典卡諾熱機(jī)的效率[5]。Szilard熱機(jī)(Szilard Engine,SZE)是一個(gè)典型的例子也是本文要討論的量子熱機(jī)。

1929年，Leo Szilard對(duì)麥克斯韋妖(Maxwell demon，MD)[6]進(jìn)行研究，將MD的智慧歸結(jié)于信息的作用，提出了一個(gè)單分子理想熱機(jī)模型—SZE，首次將信息的作用明確地包含在熱力學(xué)過程中[7]。隨著量子熱力學(xué)的發(fā)展，經(jīng)典Szilard熱機(jī)向量子力學(xué)領(lǐng)域擴(kuò)展。1984年，Zurek[8]提出單分子量子Szilard熱機(jī) (QSZE)，對(duì)測(cè)量與做功過程作了詳細(xì)分析指出系統(tǒng)與測(cè)量裝置之間的互信息與系統(tǒng)提取功有關(guān)。之后QSZE得到了廣泛的研究，包括純量子信息驅(qū)動(dòng)的QSZ[9]、多粒子QSZE[10]、沒有MD的QSZE[11]也被相繼討論。

對(duì)于QSZE的熱力學(xué)循環(huán)過程，MD對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)量，通過測(cè)量得到的信息來控制系統(tǒng)從外界提取功，最后擦除MD的信息，系統(tǒng)回到初始狀態(tài)。在一個(gè)測(cè)量、反饋和擦除的循環(huán)中，測(cè)量獲取系統(tǒng)狀態(tài)信息會(huì)使系統(tǒng)的熵減小，而根據(jù)朗道爾原理，擦除信息過程是熵增的，整個(gè)過程原則上是完全可逆的。若存在測(cè)量誤差，測(cè)量誤差會(huì)減少所獲得的信息，使系統(tǒng)的熵減小，但擦除過程的熵增量不變，導(dǎo)致整個(gè)過程是不可逆的。另一方面，測(cè)量誤差會(huì)影響反饋過程進(jìn)一步增加熵的產(chǎn)生。我們主要研究測(cè)量誤差對(duì)QSZE熱力學(xué)循環(huán)中功和效率的影響。論文組織如下，第二章主要介紹量子力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。第三章介紹了QSZE物理模型以及熱機(jī)循環(huán)的四個(gè)過程。第四章介紹測(cè)量誤差對(duì)效率的影響以及溫度T→0或者T→∞時(shí)效率的變化。

1 量子力學(xué)理論知識(shí)

熱力學(xué)中一個(gè)封閉系統(tǒng)，熱力學(xué)第一定律的微分形式為

熱力學(xué)第一定律可推廣到量子力學(xué)領(lǐng)域中，若以多能級(jí)系統(tǒng)為工作物質(zhì)，系統(tǒng)的哈密頓量為：

系統(tǒng)的第n能級(jí)的能量本征值和本征態(tài)分別為En和|ψn〉，系統(tǒng)的密度算符可表示為：，配分函數(shù)為玻爾茲曼常數(shù)。系

其中概率分布 滿足條件統(tǒng)的內(nèi)能可表示為：

上式的微分形式為：

由（5）式可得，量子力學(xué)系統(tǒng)的功和熱被定義為：

由此可得出結(jié)論，量子系統(tǒng)能級(jí)En發(fā)生變化會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的功發(fā)生變化。同理，量子系統(tǒng)pn的變化會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的熱量發(fā)生變化。

2 量子Szilard熱機(jī)

2.1 物理模型

QSZE的物理模型可以由質(zhì)量為m單粒子束縛在寬度為L(zhǎng)的一維無限深勢(shì)阱中的模型來描述，稱為系統(tǒng)S。在盒子l處插入薄板的過程可看為在一維無限深方勢(shì)阱l處加入一個(gè)持續(xù)增加的δ勢(shì)壘，此時(shí)系統(tǒng)S的內(nèi)能可表示為：

通過解薛定諤方程的知識(shí)和波函數(shù)的邊界條件和δ勢(shì)壘的躍變條件相結(jié)合得到，當(dāng)μ=1/2時(shí)，即在盒子正中間插板，此時(shí)系統(tǒng)的能量為：

不等式的左右兩項(xiàng)分別代表λ→0 和λ→∞時(shí)的取值[12]。上述結(jié)論可以得到，加入勢(shì)壘后，勢(shì)阱的邊界條件發(fā)生變化，導(dǎo)致勢(shì)阱中能級(jí)結(jié)構(gòu)分布會(huì)發(fā)生改變，勢(shì)壘不斷升高，方勢(shì)阱中的能級(jí)會(huì)往上移動(dòng)。當(dāng)λ→∞時(shí)，即板插入完成，此時(shí)偶數(shù)能級(jí)不變，奇數(shù)能級(jí)移動(dòng)到相鄰的偶數(shù)能級(jí)處。影響能級(jí)的參量為λ和μ，即插入勢(shì)壘的強(qiáng)度和插入勢(shì)壘的相對(duì)位置。

QSZE的熱力學(xué)循環(huán)過程如圖1所示，包括(A)、(B)、(C)、(D)四個(gè)過程，即等溫插入、絕熱測(cè)量、等溫膨脹、等溫移除。系統(tǒng)初始狀態(tài)，系統(tǒng)S與溫度為T的高溫?zé)嵩幢３纸佑|，達(dá)到熱平衡，系統(tǒng)S的密度算符、內(nèi)能和Von-Neumann熵分別為：

圖1 QSZE工作原理圖

2.2 等溫插入

在這個(gè)過程中，過程系統(tǒng)S始終與溫度為T的高溫?zé)嵩幢３纸佑|，在盒子的中間插入一個(gè)厚度可以忽略不計(jì)的壁，即系統(tǒng)S被分為左右兩部分。若插板過程足夠緩慢，系統(tǒng)S與熱源處于熱平衡，插板之后系統(tǒng)S的分布函數(shù)為：

2.3 絕熱測(cè)量

朗道擦除原理[14]指出，擦除1比特信息至少需要消耗能量k BTln2。MD作為Szilard熱機(jī)的一部分，我們把它視為測(cè)量系統(tǒng)D，為了便于分析假設(shè)其為一個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)，能量本征態(tài)為|g〉和|e〉且能級(jí)差為 Δ=E e-Eg，與溫度為TD的熱源接觸。Zurek指出系統(tǒng)與測(cè)量裝置(或存儲(chǔ)裝置)之間的互信息I與系統(tǒng)的提取工作有關(guān)。若存在測(cè)量誤差，那就說明系統(tǒng)狀態(tài)與測(cè)量系統(tǒng)的相關(guān)性不完善，即兩者之間的互信息小于測(cè)量設(shè)備邏輯狀態(tài)的完整信息[8]。

系統(tǒng)S的狀態(tài)x在板左側(cè)或右側(cè)可用0或1表示，即x∈ (0,1)，其對(duì)應(yīng)的概率分布為p(x)。系統(tǒng)D的測(cè)量結(jié)果可記錄為y，且y∈ (0,1)，在x已知的情況下條件概率定義為：

存在測(cè)量誤差的情況下，假設(shè)測(cè)量成功的概率p≥1/2，上式可表示為：

由上式能級(jí)差可表示為：

當(dāng)TD→0時(shí)不存在測(cè)量誤差，當(dāng)TD=T時(shí)，系統(tǒng)D得初始能級(jí)為：

系統(tǒng)D與系統(tǒng)S接觸進(jìn)行測(cè)量，系統(tǒng)D的能級(jí)變?yōu)椋?/p>

測(cè)量之后系統(tǒng)S與D要分開，分開過程的功為：

p對(duì)Wmrs的影響如圖2所示。測(cè)量之后系統(tǒng)的內(nèi)能為整個(gè)過程吸收的熱量

圖2 測(cè)量過程的功Wmrs(單位為k BT)與測(cè)量成功的概率p之間的關(guān)系

2.4 等溫膨脹

膨脹過程足夠緩慢為準(zhǔn)靜態(tài)過程，系統(tǒng)和熱源處于熱平衡狀態(tài)。系統(tǒng)D得到粒子位置信息并根據(jù)信息控制系統(tǒng)S提取功，粒子在左側(cè)，板慢慢地從的中間向另右邊移動(dòng)，粒子在右側(cè)同理，系統(tǒng)膨脹之后內(nèi)能為膨脹過程的功和熱分別為：

2.5 等溫移除

膨脹結(jié)束后，板到達(dá)平衡位置處，為使系統(tǒng)S回到初始狀態(tài)，需要將板移除。膨脹過后薄板位于勢(shì)阱的邊界處，移除板對(duì)系統(tǒng)的能級(jí)以及概率分布沒有影響，所以這個(gè)過沒有功和的熱的變化，即

3 量子Szilard熱機(jī)的效率

QSZE的效率定義為，系統(tǒng)對(duì)外做的有用功與從熱源吸的總熱量之比，表示為：

當(dāng)測(cè)量過程沒有誤差是QSZE的效率為：

對(duì)比上述兩個(gè)效率我們可發(fā)現(xiàn)η＜η′，p與效率的關(guān)系如圖3所示。

圖3 QSZE效率η(單位為lnZ (L )/ Z ( L /2))與測(cè)量成功概率p的關(guān)系

接下來考慮當(dāng)溫度T取高溫極限（T→∞）或低溫極限（T→0）時(shí)QSZE的效率。T→∞時(shí)，系統(tǒng)的配分函數(shù)可表示為：

此時(shí)系統(tǒng)的總功為：

故溫度取高溫極限時(shí)QSZE變?yōu)榻?jīng)典SZE。溫度取低溫極限時(shí)可簡(jiǎn)化為此時(shí)量子效應(yīng)更明顯。

4 總結(jié)

總之，我們考慮了在MD輔助下的QSZE的熱力學(xué)循環(huán)，并仔細(xì)分析了絕熱測(cè)量過程。得到結(jié)論存在測(cè)量誤差時(shí)，測(cè)量誤差對(duì)測(cè)量過程的功和整個(gè)熱機(jī)的效率都有影響，通過繪制出的圖2和圖3表示出來他們之間的關(guān)系。除此之外還討論了，熱源溫度取高溫極限時(shí)，QSZE趨于經(jīng)典SZE總的功反之熱源溫度取低溫極限時(shí)整個(gè)循環(huán)過程的量子效應(yīng)更加明顯。