潘有維，黃德文

(長(zhǎng)江大學(xué)城市建設(shè)學(xué)院，湖北 荊州市 434023)

0 引言

巖石大多為兩種或以上的礦物集合體，廣泛地分布于大自然，是一種非均質(zhì)非連續(xù)各項(xiàng)異性的材料，其內(nèi)部含有大量的孔隙、裂隙、節(jié)理等缺陷。由于其破壞時(shí)具有復(fù)雜的力學(xué)特征，廣大學(xué)者都對(duì)巖石開(kāi)展了大量的三軸試驗(yàn)研究[1?2]，合理構(gòu)建反映巖石破壞全過(guò)程的巖石本構(gòu)模型是研究的熱點(diǎn)，受到人們的廣泛關(guān)注。

巖石的本構(gòu)主要指的是軸向應(yīng)力和軸向應(yīng)變的關(guān)系。早期的研究主要是基于經(jīng)典斷裂力學(xué)，假定巖石為連續(xù)介質(zhì)，但巖石屬于強(qiáng)烈的非線性材料，這類研究已不能滿足實(shí)際需要。巖石的破壞實(shí)質(zhì)上是細(xì)觀裂隙逐漸發(fā)展直至貫通的過(guò)程。目前的研究主要是基于連續(xù)損傷理論，由lemaitre[3]于1985年提出的用有效應(yīng)力替換常規(guī)本構(gòu)關(guān)系中應(yīng)力的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。近幾年來(lái)，巖石本構(gòu)的研究已經(jīng)取得了不錯(cuò)的成果，文獻(xiàn)[4]在巖石變形力學(xué)特征的基礎(chǔ)上，考慮到已有模型難以較好反映初始損傷和峰后變形特征，提出了考慮初始損傷的巖石幾何本構(gòu)模型，在這個(gè)基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)weibull 分布參數(shù)的確定，提出了修正的巖石應(yīng)變軟化類本構(gòu)模型。文獻(xiàn)[5]從空隙對(duì)巖石的影響入手，考慮到圍壓對(duì)彈性模量的影響，基于損傷理論建立了反映彈性模量隨圍壓的變化而變化的本構(gòu)模型。文獻(xiàn)[6]針對(duì)現(xiàn)有的模型不能反映巖石破壞后的殘余強(qiáng)度特征這一問(wèn)題，將巖石假設(shè)為損傷和未損傷兩部分，其中損傷部分承受殘余強(qiáng)度，建立了巖石全過(guò)程的損傷本構(gòu)模型。文獻(xiàn)[7]將巖石抽象為空隙和骨架，提出空隙應(yīng)變比的新概念，利用巖石三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)和損傷力學(xué)理論建立了能夠較好反映巖石屈服后的非線性特征的巖石本構(gòu)模型。文獻(xiàn)[8?9]基于巖石損傷本構(gòu)模型分別采用Drucker-Prager 和Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則，使巖石微元強(qiáng)度服從某一種統(tǒng)計(jì)分布，建立了巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型。文獻(xiàn)[10?11]考慮巖石的應(yīng)變軟化和硬化特性相互轉(zhuǎn)化的問(wèn)題，引入損傷力學(xué)理論建立巖石本構(gòu)模型。文獻(xiàn)[12]考慮了巖石破壞時(shí)孔隙水壓力的影響，引入Terzaghi 有效應(yīng)力原理，構(gòu)建了考慮孔隙水壓力的巖石本構(gòu)模型。

縱觀前人對(duì)巖石的本構(gòu)模型研究，有的研究了巖石裂隙壓密過(guò)程的影響，建立了考慮初始損傷或者損傷閥值的巖石本構(gòu)模型[13?14]，有的研究了殘余強(qiáng)度修正值對(duì)巖石破壞的影響[15]，而同時(shí)考慮壓密過(guò)程和殘余強(qiáng)度的研究卻鮮有人研究。巖石在破壞初始過(guò)程會(huì)有裂隙壓密機(jī)理存在，這一階段巖石的彈性模量E和泊松比v并不是一成不變的，在以往的研究中大都把E和v看成了恒定值，這樣往往會(huì)導(dǎo)致最后的研究結(jié)果產(chǎn)生誤差，不符合實(shí)際。實(shí)際上隨著圍壓的不斷增加，彈性模量E會(huì)不斷增大，最后趨于穩(wěn)定值，而泊松比v則會(huì)不斷減小，最后趨于定值[16]，這都是由巖石本身的復(fù)雜力學(xué)性質(zhì)引起的，尤其是各向異性。文章基于文獻(xiàn)[16?17]的理論擬合，對(duì)彈性模量E和泊松比v采用隨圍壓變化的修正值，巖石微元強(qiáng)度嘗試采用更符合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的Hoek-Brown 準(zhǔn)則，在已有的巖石損傷力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，采用對(duì)數(shù)正態(tài)分布，建立了綜合考慮壓密過(guò)程和殘余強(qiáng)度的巖石損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型。

1 巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型

1.1 巖石損傷本構(gòu)模型

目前對(duì)于損傷力學(xué)的研究方法主要分為宏觀和細(xì)觀損傷力學(xué)兩種，細(xì)觀損傷力學(xué)主要涉及巖石內(nèi)部微裂隙的擴(kuò)張，并逐漸發(fā)展成主裂縫的過(guò)程。宏觀損傷力學(xué)則是將巖石內(nèi)部隨機(jī)分布的節(jié)理、裂隙考慮成初始損傷，定義損傷變量D為損傷面積與總面積之比[4]，其表達(dá)式如下：

式中，Ad為巖石損傷面積；A為巖石完整面積。

現(xiàn)有很多基于lemaitre 應(yīng)變等價(jià)性假說(shuō)建立的巖石本構(gòu)模型[3]，即：

式中，D為損傷變量；為有效應(yīng)力；σ為表觀應(yīng)力。這種模型在反應(yīng)巖石殘余強(qiáng)度特征的時(shí)候存在誤差。文獻(xiàn)[5]將作用于外力下的巖石假定為損傷和未損傷兩部分，提出了能反映巖石殘余強(qiáng)度特征的本構(gòu)模型，即：

式中，σb為巖石的殘余強(qiáng)度。該模型相對(duì)式（2）的優(yōu)點(diǎn)明顯，式（2）D為0 的時(shí)候，巖石未發(fā)生損傷，D在0 到1 之間的時(shí)候，說(shuō)明巖石一開(kāi)始就發(fā)生了損傷，考慮了初始損傷，D為1 的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)巖石已經(jīng)沒(méi)有了承載力，不符合實(shí)際研究結(jié)果，式（3）既體現(xiàn)了巖石破壞的損傷過(guò)程，又體現(xiàn)了巖石的殘余強(qiáng)度特征，更符合巖石的實(shí)際。

對(duì)于未損傷部分為線彈性材料，符合廣義虎克定律，即：

式中，E，ν分別為巖石的彈性模量和泊松比；為未損部分的細(xì)觀應(yīng)變。

對(duì)于巖石的破壞，假定只在軸向發(fā)生，側(cè)向不發(fā)生，巖石表觀應(yīng)變與細(xì)觀應(yīng)變等價(jià)[8]，將式（4）代入式（3），得：

式（5）即為改進(jìn)的新型巖石損傷本構(gòu)模型。

1.2 巖石微元強(qiáng)度的確定

目前應(yīng)用的強(qiáng)度準(zhǔn)則大都是Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則和Drucker-Prager 準(zhǔn)則，兩者都能很好地度量巖石損傷，但前者不能描述高低應(yīng)力區(qū)以及低應(yīng)力區(qū)的強(qiáng)度特性，而后者結(jié)果稍偏于保守。文章嘗試采用Hoek-Brown 經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)度準(zhǔn)則來(lái)描述巖石的力學(xué)特征。H-B 強(qiáng)度準(zhǔn)則相較于M-C 和D-P 準(zhǔn)則可以考慮到巖石的結(jié)構(gòu)、節(jié)理等多方面的因素。

H-B 強(qiáng)度準(zhǔn)則由E.Hoek 和E.T.Brown 首次提出，能夠反映巖石極限主應(yīng)力間的非線性關(guān)系，表達(dá)式如下：

式中，σ1為最大主應(yīng)力；σ3為最小主應(yīng)力；σc為巖石單軸抗壓強(qiáng)度；m為巖石的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，反映巖石的軟硬程度，取值范圍為0.001～25；s為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，反映巖石的破碎程度，取值范圍為0～1。m和s的取值一般根據(jù)巖石的材料和分類確定。

巖石的強(qiáng)度常用下式來(lái)表示，即用巖石的破壞準(zhǔn)則表示，表達(dá)式如下：

式中，K為一個(gè)隨荷載變化的常數(shù)，度量巖石的峰值破壞，式f（σi）-K＞0 則表示了巖石已經(jīng)超過(guò)峰值強(qiáng)度開(kāi)始破壞，令巖石服從霍克—布朗強(qiáng)度準(zhǔn)則，用F表示巖石微元強(qiáng)度，即：

1.3 巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型

對(duì)于統(tǒng)計(jì)損傷模型的建立方法，首先是合理的定義損傷變量，然后采用某種巖石破壞強(qiáng)度準(zhǔn)則度量巖石微元強(qiáng)度，最后采用適宜的統(tǒng)計(jì)分布可得到演化方程。在過(guò)去已有的模型當(dāng)中，采用較多的有weilbull 分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、正態(tài)分布、冪函數(shù)分布等等，假定巖石微元強(qiáng)度服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，可得巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型，即：

式中，F(xiàn)0、S0為對(duì)數(shù)正太分布參數(shù)，假定巖石微元強(qiáng)度符合概率密度函數(shù)，定義損傷區(qū)域D，即有：

式（12）通過(guò)對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)正太分布可得，

將式（9）和式（13）代入式（5）即得到新型反映初始?jí)好苓^(guò)程和殘余強(qiáng)度的巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型。

2 模型參數(shù)的確定

對(duì)于E和ν采用修正擬合隨圍壓變化的E′和ν′[14?15]：

E（σ3=0）為初始彈性模量，由式（15）、式（16）可知，彈性模量和泊松比都隨著圍壓的變化而變化，對(duì)比兩者是恒定值的情況更加符合巖石破壞的實(shí)際情況。

對(duì)數(shù)正態(tài)分布參數(shù)的求解，一般是聯(lián)立式（5）和式（13），利用式（5）解出D的數(shù)學(xué)表達(dá)式可得：

將式（17）進(jìn)行變形，可得：

對(duì)于一組1σ、3σ、1ε、bσ的試驗(yàn)值，可以確立一個(gè)值，由標(biāo)準(zhǔn)的正太分布查表可得對(duì)應(yīng)的值，令y=lnF，則。y值由式（9）得到，采用曲線擬合方法，多組數(shù)據(jù)求解F0和S0。

3 實(shí)例驗(yàn)證

為驗(yàn)證文章提出的巖石損傷本構(gòu)模型的合理性，擬采用文獻(xiàn)[8]的資料，巖石材料為粉砂質(zhì)泥巖，巖石單軸抗壓強(qiáng)度cσ為11.96 MPa，通過(guò)常規(guī)的試驗(yàn)處理數(shù)據(jù)方法得到力學(xué)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 粉砂質(zhì)泥巖力學(xué)參數(shù)

對(duì)于E和v采用式（15）和式（16）得到修正值。通過(guò)查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，同時(shí)利用多組圍壓數(shù)據(jù)代入式（18），即可得到參數(shù)S0和F0的值。對(duì)于H-B 強(qiáng)度準(zhǔn)則中的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)取值，將式（7）變形得到式（19），利用多組圍壓數(shù)據(jù)以及參數(shù)S0和F0的值，通過(guò)解多組方程，即可求得參數(shù)m和s的值[18]。

利用4 組數(shù)據(jù)和文獻(xiàn)[8]進(jìn)行曲線擬合，結(jié)果如圖1 所示。

圖1 不同圍壓下的巖石應(yīng)力應(yīng)變曲線

4 結(jié)果與討論

典型的巖石全應(yīng)力應(yīng)變曲線主要分為5 個(gè)階段，如圖2 所示，在OA段，曲線向外凹陷，斜率逐漸增大，此時(shí)巖石內(nèi)部的微裂隙逐漸壓密，卸去荷載，巖石變形逐漸恢復(fù)，為彈性階段。AB段曲線接近直線，應(yīng)力應(yīng)變?yōu)榫€彈性階段。BC段曲線向外凸起，斜率逐漸變小，巖石開(kāi)始屈服，裂紋開(kāi)始快速成長(zhǎng)，C為峰值點(diǎn)，巖石到達(dá)極限承載強(qiáng)度。CD段巖石承載能力快速下降，此時(shí)巖石內(nèi)部的裂隙開(kāi)始貫通，表現(xiàn)為應(yīng)變軟化，D點(diǎn)以后，隨著應(yīng)力的增加，巖石強(qiáng)度不再降低，表現(xiàn)為巖石的殘余強(qiáng)度。

圖2 巖石全應(yīng)力應(yīng)變曲線

文章建立的本構(gòu)模型從整體上與文獻(xiàn)[8]吻合良好，圖1 和圖2 也基本相符，特別是在反映巖石破壞后的殘余強(qiáng)度方面，這說(shuō)明考慮了修正后的彈性模量和泊松比的巖石本構(gòu)模型能夠更好地符合實(shí)際，但本文也有很多值得深究的方面。

（1）曲線擬合的對(duì)象只有一個(gè)，相對(duì)來(lái)說(shuō)比較單一，這是由于資料受限以及一些其他客觀因素造成的。在驗(yàn)算模型的時(shí)候需要的參數(shù)比較全面，因而計(jì)算過(guò)程相對(duì)合理，使得本文更有說(shuō)服力。

（2）在考慮了彈性模量和泊松比的修正后所得到的模型在應(yīng)變軟化階段相對(duì)沒(méi)有吻合良好，究其主觀因素主要是由于式（18）對(duì)于參數(shù)m和s求解的誤差。對(duì)于m和s更科學(xué)的求解方法，由于沒(méi)有實(shí)驗(yàn)條件測(cè)得相應(yīng)的數(shù)值，因而采用式（18）的求解方法。

（3）采用的Hoek-Brown 強(qiáng)度準(zhǔn)則，雖能夠反映巖石高低應(yīng)力區(qū)和拉應(yīng)力區(qū)的強(qiáng)度特征，但是它忽略了巖石中主應(yīng)力的影響，這也是需要改進(jìn)的地方，希望有改進(jìn)的Hoek-Brown 強(qiáng)度準(zhǔn)則以便更好地模擬巖石的破壞全過(guò)程。

5 結(jié)論

在已有的巖石損傷本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上，針對(duì)已有模型未能考慮彈性模量和泊松比隨圍壓變化而變化的情況，基于霍克-布朗強(qiáng)度準(zhǔn)則，采用對(duì)數(shù)正態(tài)分布所建立的巖石損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型，可以得到如下結(jié)論：

（1）從曲線擬合情況來(lái)看，能夠很好地反映峰前的變形特征和巖石的殘余強(qiáng)度，同時(shí)也能夠反映巖石破壞的全過(guò)程。本文旨在為同類研究提供一個(gè)新的方向，即根據(jù)彈性模量和泊松比隨圍壓的變化情況來(lái)建立巖石的本構(gòu)模型。

（2）統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型采用的是Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則，相較于M-C 和D-P 準(zhǔn)則來(lái)說(shuō)，考慮了巖石的結(jié)構(gòu)、節(jié)理等因素，且能夠反映巖石高低應(yīng)力區(qū)及拉應(yīng)力區(qū)的強(qiáng)度特征，有一定的優(yōu)勢(shì)。

（3）建立的模型考慮了隨圍壓變化而變化的彈性模量和泊松比，相比于采用定值的彈性模量和泊松比，更加符合巖石加載破壞的實(shí)際情況，因而本模型有更好的適用性，且參數(shù)較少，求解簡(jiǎn)便，在同類研究中，可以提供很好的參考。