方長(zhǎng)林

(上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué) 200434)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》實(shí)施建議中指出：數(shù)學(xué)教學(xué)要從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)、教學(xué)內(nèi)容把握、教學(xué)方法選擇、信息技術(shù)運(yùn)用五個(gè)方面提出了培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)建議.落實(shí)建議的關(guān)鍵是教師需轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，從一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)或一個(gè)個(gè)課時(shí)的教學(xué)中跳出來，整體把握教學(xué)內(nèi)容，居高臨下，實(shí)施主題、單元教學(xué).所謂“單元教學(xué)”，是教師基于對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)化思考，從提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，以重要的數(shù)學(xué)概念或核心知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)或數(shù)學(xué)核心能力等為主線組織教學(xué).在單元教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)，將教學(xué)內(nèi)容置于整體中去把控，更多地關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)及其蘊(yùn)含的思想，有利于素養(yǎng)教學(xué)的實(shí)施.章建躍博士在《〈普通高中教科書·數(shù)學(xué)(人教A版)〉單元-課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)體例與要求》中說：“在單元教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上再給出課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)，以充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性，切實(shí)防止碎片化教學(xué)，通過有效的‘四基’‘四能’教學(xué)，使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)真正落實(shí)于數(shù)學(xué)課堂.”[1]

對(duì)于單元-課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)的具體實(shí)施過程，章建躍博士給出的樣例包括內(nèi)容和內(nèi)容解析、目標(biāo)和目標(biāo)解析、教學(xué)問題診斷分析、教學(xué)支持條件分析和課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)五個(gè)主要環(huán)節(jié).[1]呂世虎、楊婷、吳振英等在“數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵、特征以及基本操作步驟”中提出：?jiǎn)卧虒W(xué)設(shè)計(jì)的步驟流程為：確定單元教學(xué)內(nèi)容、分析教學(xué)要素、編制單元教學(xué)目標(biāo)、設(shè)計(jì)單元教學(xué)流程以及評(píng)價(jià)反思與修改.[2]黃華、方耀華等在《高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)指南》中指出：?jiǎn)卧虒W(xué)設(shè)計(jì)的流程為：研讀文本(數(shù)學(xué)課標(biāo)與數(shù)學(xué)教材)、構(gòu)建單元(確定單元類型與確定單元內(nèi)容與結(jié)構(gòu))、設(shè)計(jì)方案(確定單元教學(xué)目標(biāo)與單元教學(xué)流程)等環(huán)節(jié).[3]從中可以看出，無論哪種模式或流程，單元-課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)的共同特征體現(xiàn)在：(1)整體性：基于整體思維的教學(xué)設(shè)計(jì)方式，縱覽全局，有利于學(xué)生從宏觀上形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，從整體上掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，從結(jié)構(gòu)上更好地把握數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性.(2)層次性與有序性：強(qiáng)調(diào)從“單元”到“課時(shí)”，先進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)本單元內(nèi)容及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法、著重培養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)等做出全面分析，再將本單元內(nèi)容按知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程、學(xué)生的認(rèn)知過程分解到課時(shí).(3)系統(tǒng)性：同一單元的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相對(duì)完整，能構(gòu)成一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)系統(tǒng)和邏輯關(guān)系.系統(tǒng)性保證了結(jié)構(gòu)化的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施，有助于學(xué)生的系統(tǒng)思維和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

對(duì)于教師而言，單元-課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)，可使教師從整體與結(jié)構(gòu)上把握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、感受數(shù)學(xué)思想方法，從而站在高位上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng).但是在具體實(shí)施的過程中，教師往往會(huì)有一些困惑：對(duì)單元教學(xué)內(nèi)容從哪些角度進(jìn)行分析？單元教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)是如何從總體知識(shí)中進(jìn)行提煉與概括？學(xué)生學(xué)習(xí)能力如何界定(學(xué)情分析)？單元學(xué)習(xí)活動(dòng)(情境創(chuàng)設(shè)、知識(shí)構(gòu)建、問題探究、合作交流等)如何設(shè)計(jì)？如何做到將單元教學(xué)要素逐步分解、細(xì)化到課時(shí)教學(xué)過程？等等.本文以“一元二次函數(shù)、方程和不等式”單元為例，探討一下基于培育數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的單元-課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì).

1 理解數(shù)學(xué)，分析單元教學(xué)內(nèi)容，是設(shè)計(jì)單元-課時(shí)教學(xué)的基礎(chǔ)

單元教學(xué)內(nèi)容分析要以“四基”為基礎(chǔ)，以明確學(xué)科核心素養(yǎng)為指向.其主線是揭示單元知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)、挖掘內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、明確知識(shí)的上下位關(guān)系、說明單元內(nèi)容在數(shù)學(xué)體系中的地位和作用，提煉單元學(xué)習(xí)在提升能力和培育學(xué)科核心素養(yǎng)的具體作用.

1.1 單元內(nèi)容與知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

本單元包含：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)；基本不等式；二次函數(shù)與一元二次方程、不等式三節(jié)內(nèi)容，可分7個(gè)課時(shí)學(xué)習(xí).首先通過具體實(shí)例理解不等式，認(rèn)識(shí)不等關(guān)系與不等式的意義與價(jià)值；然后在梳理等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過類比，研究不等式的性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)研究一類重要的不等式——基本不等式；接著通過從實(shí)際情境中抽象一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義，理解一元二次不等式的概念，并像利用一次函數(shù)、方程和不等式的關(guān)系解決一元一次不等式的問題那樣，利用二次函數(shù)、方程和不等式的關(guān)系解決一元二次不等式的有關(guān)問題.

單元知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如下：

1.2 單元內(nèi)容解析

(1)單元內(nèi)容的本質(zhì)

不等式是式與式之間的一種關(guān)系，是實(shí)數(shù)的序關(guān)系的一般化.實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是解決等式、不等式問題的邏輯基礎(chǔ).不等式的基本性質(zhì)(1)、(2)的自反性(a>b?bb，b>c?a>c)是實(shí)數(shù)序關(guān)系的特性，其余性質(zhì)是刻畫不等式在運(yùn)算中的不變性與規(guī)律性.基本不等式就是不等式運(yùn)算所產(chǎn)生的非常奇妙的變化，它的本質(zhì)其實(shí)就是“實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)”，這是實(shí)數(shù)一個(gè)非常深刻的、帶有本源性的性質(zhì)，已成為實(shí)數(shù)大小關(guān)系的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)，同時(shí)基本不等式也蘊(yùn)含著豐富的幾何意義，如“圓的半徑不短于半弦”.二次函數(shù)、一元二次方程和不等式的內(nèi)容本質(zhì)就是利用一般性的函數(shù)方法解決不等式的求解問題，也是一種程序思想方法，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并且適用的范圍更廣，同時(shí)，函數(shù)、方程與不等式之間關(guān)系也體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)與靜止的辯證關(guān)系.

(2)單元知識(shí)的上下位關(guān)系

初中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù)與方程、不等式，還學(xué)過二次函數(shù)與一元二次方程，知道方程(組)、不等式之間具有的內(nèi)在聯(lián)系，可以用函數(shù)的觀點(diǎn)把它們統(tǒng)一起來，這是數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性與整體性的體現(xiàn).實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是不等式性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，類比等式的性質(zhì)，研究不等式的性質(zhì)；不等式的基本性質(zhì)是不等式運(yùn)算(變形)的理論依據(jù)，而基本不等式就是不等式運(yùn)算的一個(gè)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、關(guān)系深刻的變形式；類比初中用一次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次方程、一元一次不等式，得到了以二次函數(shù)為紐帶，把一元二次方程、一元二次不等式聯(lián)系起來的思想方法，并得到一種利用函數(shù)的零點(diǎn)求解一元二次不等式解集的簡(jiǎn)捷方法.這一單元的知識(shí)作為高中數(shù)學(xué)的一塊預(yù)備知識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的概念與性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性等)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等內(nèi)容奠定基礎(chǔ).

(3)單元蘊(yùn)含的思想和方法

“類比是偉大的引路人(波利亞語)”.根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與特點(diǎn)，類比學(xué)習(xí)的方法貫穿本單元全過程.從等式的性質(zhì)類比到不等式的性質(zhì)；從“三個(gè)一次”的關(guān)系類比到“三個(gè)二次”的關(guān)系.同時(shí)，等式和不等式的性質(zhì)蘊(yùn)含著運(yùn)算的不變性與規(guī)律性；不等式性質(zhì)的證明滲透了歸納推理、演繹推理、比較法、反證法的思想方法；基本不等式及其證明、應(yīng)用蘊(yùn)含了比較法(作差、作商比較法)、綜合法(由因?qū)Ч?、分析法(執(zhí)果索因)、幾何證明法(幾何意義)等數(shù)學(xué)方法；二次函數(shù)與一元二次方程、不等式中蘊(yùn)含了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步揭示可以用函數(shù)觀念統(tǒng)一方程和不等式的數(shù)學(xué)思想方法，這也是數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性與整體性的體現(xiàn).

(4)單元重點(diǎn)提升的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(育人價(jià)值)

數(shù)學(xué)知識(shí)是載體，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)通往數(shù)學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)的“橋梁”，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)思想方法里的“DNA”，是數(shù)學(xué)學(xué)科育人的價(jià)值所在.本單元中，從生活中的一些不等關(guān)系提煉出不等式、抽象出不等式的概念，正是用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)；代數(shù)學(xué)的根源在于運(yùn)算，“運(yùn)算中的不變性、規(guī)律性”是發(fā)現(xiàn)“代數(shù)性質(zhì)”的“引路人”,[1]這也是不等式基本性質(zhì)培育數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)；基本不等式及其證明、應(yīng)用更是聚焦于數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和直觀想象核心素養(yǎng)的培育；“三個(gè)二次”中重點(diǎn)提升直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).因此，本單元的教學(xué)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的良好素材.

2 理解學(xué)生，設(shè)置單元-課時(shí)教學(xué)目標(biāo)，是設(shè)計(jì)單元-課時(shí)教學(xué)的靈魂

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)設(shè)計(jì)的“核心”.具體的教學(xué)過程設(shè)計(jì)圍繞教學(xué)目標(biāo)展開，教學(xué)評(píng)價(jià)也是以教學(xué)目標(biāo)為依據(jù).[4]單元教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)是在單元規(guī)劃和單元教材教法分析的基礎(chǔ)上，綜合考慮單元內(nèi)知識(shí)與技能的學(xué)習(xí)要求，知識(shí)之間的邏輯順序和關(guān)系結(jié)構(gòu)，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、認(rèn)知規(guī)律和心理發(fā)展特點(diǎn)，指向培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)設(shè)計(jì).它具有整體性原則、順序性原則、適切性原則.[3]同時(shí)，要注意單元教學(xué)目標(biāo)和課時(shí)教學(xué)目標(biāo)保持內(nèi)在的一致性，課時(shí)目標(biāo)的積累就成為單元目標(biāo)的達(dá)成.

2.1 學(xué)情分析是單元-課時(shí)教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)的前提

學(xué)情分析，就是要找出學(xué)生已有的認(rèn)知與學(xué)習(xí)需要之間的差距.一方面要分析學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，另一方面就要結(jié)合本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，分析學(xué)生需要具備的認(rèn)知基礎(chǔ)與經(jīng)驗(yàn)，兩者之間的差距，也就是學(xué)生學(xué)習(xí)本單元內(nèi)容可能遇到的困難.[4]

2.1.1 學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)習(xí)本單元之前，學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)與方程、不等式，還學(xué)過二次函數(shù)與一元二次方程，熟悉等式的基本性質(zhì)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖像與某些性質(zhì)，會(huì)解一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式(組)，會(huì)用代數(shù)方法，先對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，把一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，通過求解一元一次不等式組，得到一元二次不等式的解集.學(xué)生已經(jīng)具備一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算基礎(chǔ)和數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.這些都是學(xué)生學(xué)習(xí)本單元的良好基礎(chǔ).

2.1.2 學(xué)生可能遇到的困難

學(xué)生雖然具備本單元學(xué)習(xí)的一定基礎(chǔ)，但對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)大多還停留在知識(shí)的記憶和技能的訓(xùn)練階段，缺乏對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體思考、系統(tǒng)理解和對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

(2)從等式的性質(zhì)類比遷移不等式等式性質(zhì)，可能會(huì)出現(xiàn)“負(fù)遷移”.如：a=b?ac=bc類比到a>b?ac>bc、a=b,c=d?ac=bd類比到a>b,c>d?ac>bd等都是錯(cuò)誤的.

(3)學(xué)生的邏輯推理能力的不足、數(shù)學(xué)證明方法的欠缺，因此在不等式基本性質(zhì)的證明、基本不等式的證明方法與思路上會(huì)有障礙；對(duì)基本不等式的條件、等號(hào)成立的條件、幾何意義理解上存在困難，導(dǎo)致利用基本不等式求最值可能出現(xiàn)的許多錯(cuò)誤(一正、二定、三相等).

(4)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想在初中滲透不夠，因此用函數(shù)的觀點(diǎn)把方程、不等式統(tǒng)一起來有一些困難，學(xué)生很容易帶著初中求解一元二次不等式代數(shù)方法的思維定勢(shì)來學(xué)習(xí)求解一元二次不等式的通性通法(函數(shù)方法)；學(xué)生對(duì)“三個(gè)二次”之間聯(lián)系的豐富內(nèi)涵理解上不夠深刻，所以利用一元二次不等式解決方程的有關(guān)問題會(huì)存在困難，如根的分布等.

2.2 單元-課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

(1)會(huì)從一些生活情境、科學(xué)情境、數(shù)學(xué)情境中的不等關(guān)系經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”(即“去情境化”)的過程，提煉不等式，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)；

(2)掌握不等式的基本性質(zhì)及其推導(dǎo)證明過程；

(3)通過類比等式性質(zhì)，猜想和證明不等式基本性質(zhì)；在合作討論中，尋求規(guī)律，探究新知；經(jīng)歷自主探索的過程，在比較中研究不等式性質(zhì)證明的多種方法(比較法、分析法、綜合法等).

(4)在探究不等式性質(zhì)的教學(xué)活動(dòng)中，形成和發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；在品味數(shù)學(xué)美的過程中，提升學(xué)科學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力.

(5)能在具體的情境中(生活的、物理的、幾何的、代數(shù)的等)，通過抽象概括及邏輯推理獲得基本不等式；

(6)通過基本不等式的證明過程，掌握不等式證明的多種證法(比較法、綜合法、分析法等)；理解基本不等式的幾何意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法；會(huì)用基本不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式；

(7)掌握基本不等式成立的條件和等號(hào)成立的條件，會(huì)運(yùn)用基本不等式求某些函數(shù)的最值，能用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；

(8)通過基本不等式的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的參與意識(shí)，培養(yǎng)探究學(xué)習(xí)的習(xí)慣，感悟邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象核心素養(yǎng)；

(9)通過類比“三個(gè)一次”，溝通“三個(gè)二次”之間內(nèi)在的聯(lián)系，感悟運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)統(tǒng)一方程和不等式的數(shù)學(xué)思想方法；

(10)掌握借助一元二次函數(shù)圖像的直觀，利用一元二次方程的零點(diǎn)，求解一元二次不等式的通性通法(函數(shù)法)，滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想，提升直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.3 單元教學(xué)目標(biāo)分解

具體的教學(xué)過程是以課時(shí)為單位進(jìn)行設(shè)計(jì)的，所以需要將單元教學(xué)目標(biāo)分解到課時(shí)教學(xué)目標(biāo).本單元建議劃分為7個(gè)課時(shí)，等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)(2課時(shí))、基本不等式(2課時(shí))、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(2課時(shí))、單元小結(jié)(1課時(shí)).如2.2中的(1)、(2)、(3)、(4)對(duì)應(yīng)的是第一節(jié)2課時(shí)的目標(biāo)；(5)、(6)、(7)、(8)對(duì)應(yīng)的是第二節(jié)2課時(shí)的目標(biāo)；(9)、(10)對(duì)應(yīng)的是第三節(jié)2課時(shí)的目標(biāo).

3 理解教學(xué)，預(yù)設(shè)單元-課時(shí)教學(xué)過程，是實(shí)施單元-課時(shí)教學(xué)的關(guān)鍵

從單元到課時(shí)、從整體到局部，有邏輯有順序有步驟地設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)過程，充分體現(xiàn)了單元教學(xué)設(shè)計(jì)的整體性和有序性，是單元教學(xué)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的重要保障.[4]教學(xué)過程的設(shè)計(jì)要突出兩條線索：一條明線是，以“問題串”方式呈現(xiàn)教學(xué)過程；一條暗線是，數(shù)學(xué)概念和思想方法的發(fā)生發(fā)展過程與學(xué)生數(shù)學(xué)思維過程兩方面的融合所構(gòu)建的內(nèi)在邏輯線索.

課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)： 課題內(nèi)容 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)(第2課時(shí))

3.1 課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

(1)通過兩實(shí)數(shù)大小的基本約定，類比等式性質(zhì)，猜想和證明不等式性質(zhì).

(2)經(jīng)歷不等式性質(zhì)的探究過程，了解不等式性質(zhì)證明的多種方法，形成和發(fā)展邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(3)理解并掌握不等式基本性質(zhì)，弄清不等式性質(zhì)之間的邏輯推理關(guān)系.

(4)體會(huì)不等式性質(zhì)的應(yīng)用，積累研究數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)和方法，鍛煉運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和交流能力.

3.2 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

(1)教學(xué)重點(diǎn)：梳理等式性質(zhì)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，探究不等式基本性質(zhì).

(2)教學(xué)難點(diǎn)：不等式基本性質(zhì)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)、結(jié)構(gòu)和應(yīng)用.

3.3 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

(1)開宗明義，闡述學(xué)法

導(dǎo)入語：相等關(guān)系與不等關(guān)系是現(xiàn)實(shí)世界中兩種重要的數(shù)量關(guān)系，常用“等式”與“不等式”表示.解方程要用等式性質(zhì)，那么解不等式也要用不等式性質(zhì).究竟不等式有哪些性質(zhì)呢？怎樣探究究不等式性質(zhì)？等式和不等式的共同點(diǎn)：都是刻畫大小關(guān)系.等式運(yùn)算的規(guī)律性與不變性正是不等式性質(zhì)研究的“引路人”(類比法).我們可以通過梳理等式的性質(zhì)，挖掘等式性質(zhì)中蘊(yùn)含的思想方法，獲得啟示，從而探究不等式性質(zhì)(引題).

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)以單元教學(xué)理念為指導(dǎo)，著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，喚醒學(xué)生與所研究?jī)?nèi)容相關(guān)的認(rèn)知基礎(chǔ)，明確學(xué)習(xí)內(nèi)容與研究方法，為后續(xù)環(huán)節(jié)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)鋪墊基礎(chǔ).

(2)問題引領(lǐng)，類比探究

問題1：請(qǐng)同學(xué)們回憶并梳理出等式有哪些性質(zhì)？

活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、回答、合作交流、相互補(bǔ)充，小結(jié)梳理.

性質(zhì)1: 如果a=b，那么b=a；

性質(zhì)2: 如果a=b,b=c，那么a=c；

性質(zhì)3: 如果a=b，那么a±c=b±c；

性質(zhì)4: 如果a=b，那么ac=bc；

問題2：請(qǐng)同學(xué)們觀察這些性質(zhì)的共性，你能歸納一下發(fā)現(xiàn)等式性質(zhì)蘊(yùn)含的思想方法嗎？

活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立觀察、思考、回答；教師啟發(fā)、引導(dǎo).

結(jié)論：性質(zhì)1、2反映了相等關(guān)系自身的特性，對(duì)稱性與傳遞性；性質(zhì)3、4、5是從運(yùn)算的角度提出的，反映了等式在運(yùn)算中保持的不變性，可加性、可減性、可乘性與可除性.運(yùn)算中的不變性就是性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖通過問題串，引領(lǐng)學(xué)生思考，梳理等式性質(zhì)，探究并發(fā)現(xiàn)等式性質(zhì)蘊(yùn)含的思想方法，提高學(xué)生從思想方法角度認(rèn)識(shí)問題的意識(shí)，為不等式性質(zhì)的探究奠基.

問題3：同學(xué)們能類比等式的性質(zhì)，猜想不等式的性質(zhì)嗎？

等式基本性質(zhì)不等式基本性質(zhì)如果a=b,那么b=a如果a=b,b=c,那么a=c如果a=b,那么a±c=b±c如果a=b,那么ac=bc如果a=b,c≠0,那么ac=bc

問題4：回顧不等式證明的邏輯基礎(chǔ)(實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)).

問題5：同學(xué)們能證明以上四條不等式基本性質(zhì)嗎？

活動(dòng)：合理類比、大膽猜想，自主填表；獨(dú)立思考、嚴(yán)格論證、交流方法.

設(shè)計(jì)意圖這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，一方面學(xué)生經(jīng)歷了類比(合情推理)的探究過程；另一方面，學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)證明的邏輯性與嚴(yán)謹(jǐn)性，感受到“猜想的結(jié)論要證明，證明要有依據(jù)”，養(yǎng)成言必有據(jù)、思維縝密的數(shù)學(xué)表達(dá)習(xí)慣.

問題6：請(qǐng)同學(xué)們觀察下表中給出等式的性質(zhì)，類比猜想不等式基本性質(zhì).

等式的性質(zhì)不等式基本性質(zhì)如果a=b,c=d,那么a+c=b+d如果a=b,c=d,那么ac=bd如果a=b,那么an=bn(n∈N,n≥2)

問題7：請(qǐng)同學(xué)們判斷類比猜想出不等式性質(zhì)的命題真假與否？若為真命題，請(qǐng)給出證明；若為假命題.請(qǐng)舉出反例，并在原有條件的基礎(chǔ)上增加適當(dāng)?shù)臈l件，使其成為真命題，并給出證明.

活動(dòng)：小組討論、合作交流；師生共同評(píng)價(jià)、完善、形成結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—證明—修正猜想—再證明—得出性質(zhì)—理解”研究數(shù)學(xué)問題的方法，加深對(duì)類比學(xué)習(xí)的理解；進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到“運(yùn)算中的不變性、規(guī)律性”在研究不等式性質(zhì)中“引路人”的作用；在不等式性質(zhì)的證明過程中，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).

(3)小試牛刀，學(xué)以致用

活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生分析例題中不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，尋找證題思路，學(xué)生獨(dú)立完成例題的證明，交流不同的證明方法，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng).變式練習(xí)安排學(xué)生板演與展示.

設(shè)計(jì)意圖本題是不等式基本性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.強(qiáng)化分析法的證題思路——執(zhí)果索因和綜合法的表述方式——由因?qū)Ч?，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí).

(4)課堂總結(jié)，凝練升華

問題8：這節(jié)課學(xué)習(xí)了不等式哪些基本性質(zhì)？(知識(shí)總結(jié)—授之以魚)

對(duì)稱性、傳遞性、可加性、可乘性、加法法則、乘法法則、乘方法則.

問題9：不等式性質(zhì)是如何探究的？性質(zhì)證明運(yùn)用了哪些方法？(方法提煉—授之以漁)

類比學(xué)習(xí)法、歸納—猜想—論證；比較法、分析法、綜合法等.

問題10：你能從不等式基本性質(zhì)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特點(diǎn)中發(fā)現(xiàn)其蘊(yùn)含著哪些思想方法？(思想滲透—授之以道)

不等式基本性質(zhì)(1)、(2)是序關(guān)系的特性(自反性、傳遞性)；不等式基本性質(zhì)(3～7)是不等式在運(yùn)算中的不變性、規(guī)律性.

活動(dòng)：學(xué)生共同交流、評(píng)價(jià)和質(zhì)疑，提煉和升華學(xué)習(xí)成果.

設(shè)計(jì)意圖從知識(shí)、方法、思想三個(gè)角度進(jìn)行課堂小結(jié)，納入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而發(fā)展“四基”、提高“四能”、培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(5)復(fù)習(xí)鞏固，目標(biāo)檢測(cè)

作業(yè)設(shè)計(jì)：

基礎(chǔ)練習(xí)題

1.判斷下列命題的真假，并說明理由.

(1)如果ac2>bc2，那么a>b；

(4)如果a

2.已知2

拓廣探索題

設(shè)計(jì)意圖考查學(xué)生對(duì)不等式基本性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用能力和靈活應(yīng)用能力，既能夯實(shí)基礎(chǔ)，又有拓展提高.

結(jié)語基于理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，進(jìn)行有效的單元-課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)，可以促進(jìn)課堂教學(xué)效率的提升，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.主題、單元教學(xué)是新課程改革強(qiáng)調(diào)的一個(gè)重點(diǎn)，如何聚焦核心素養(yǎng)，更好地設(shè)計(jì)單元-課時(shí)教學(xué)，發(fā)展“四基”，提高“四能”，培育“三會(huì)”，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值，是我們每位數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)真思考、深入研究、積極嘗試、大膽創(chuàng)新、努力實(shí)踐的現(xiàn)實(shí)課題.