姜 文 呂傳漢

(貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 550025)

1 問題提出

進(jìn)入21世紀(jì)，隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》的相繼發(fā)布，“模型思想”和“數(shù)學(xué)建?！闭竭M(jìn)入我國基礎(chǔ)教育.2010年后，我國啟動的新一輪基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂從核心素養(yǎng)的角度賦予了模型思想和數(shù)學(xué)建模新的涵義，模型思想和數(shù)學(xué)建模再次作為核心內(nèi)容進(jìn)入中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).[1]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出了數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力、……、模型思想等十大數(shù)學(xué)核心概念，并指出：模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.[2]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模是其中之一.[3]由此可見，我國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程重視學(xué)生模型思想和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

“縱觀世界各國的數(shù)學(xué)課程改革，通過數(shù)學(xué)建模來建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系成為共同關(guān)注的焦點”.“數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)發(fā)展到今天其在自身的舞臺上最精彩的表演”.今日之?dāng)?shù)學(xué)已突破了傳統(tǒng)的應(yīng)用范圍向人類幾乎所有的知識領(lǐng)域滲透，而各門學(xué)科向著“數(shù)學(xué)化”發(fā)展，也成為當(dāng)今科技發(fā)展的一個重要趨勢.[4]

當(dāng)今世界各國的競爭，歸根到底是科技的競爭、人才的競爭.而人才的培養(yǎng)，歸根于教育特別是基礎(chǔ)教育. 2018年9月10日，習(xí)近平總書記在全國教育大會上指出：培養(yǎng)一代又一代擁護(hù)中國共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)和我國社會主義制度、立志為中國特色社會主義奮斗終身的有用人才，要在增長知識見識上下功夫，教育引導(dǎo)學(xué)生珍惜學(xué)習(xí)時光，心無旁騖求知問學(xué)，增長見識，豐富學(xué)識，沿著求真理、悟道理、明事理的方向前進(jìn).

作為中國新時代教育的要求，可以將 “長見識、悟道理”作為課堂教學(xué)的重要目標(biāo)，作為對學(xué)生核心素養(yǎng)培育的切入點，借以促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的培育.

2 “長見識、悟道理”是課堂學(xué)習(xí)的目標(biāo)

“見識”是知識積累與實踐的產(chǎn)物， “見識”比“知識”重要，涉獵廣泛、視野開闊，是一個人對某件事的洞察能力和對知識面涉獵廣泛的程度.它是人能明智地認(rèn)識事物和正確地做出判斷的能力，是一個人對事物的看法和態(tài)度；見識是智慧的展現(xiàn)，主要是來自于個人的豐富經(jīng)驗以及知識的淬煉.

“道理”是指事情或論點的是非得失的根據(jù)、理由、情理.(1)中國社會科學(xué)院語言研究所詞典編輯室編.現(xiàn)代漢語詞典(第6版)[M].北京：商務(wù)印書館，2012： 269.道理需要去“悟”，“悟”的意思是理解、明白、感悟、覺醒；“悟”就是指體會到了某件事的意義.悟道理，就是認(rèn)識和把握事物的客觀規(guī)律.

學(xué)習(xí)不僅僅是學(xué)習(xí)知識，更多地是領(lǐng)悟和感受見識. 學(xué)習(xí)上悟道理，就是領(lǐng)悟、理解了某篇文章、故事、情境、原理、定理或結(jié)構(gòu)中所包含的哲理.因此，將“長見識、悟道理”作為課堂學(xué)習(xí)目標(biāo)培育學(xué)生核心素養(yǎng)是恰當(dāng)?shù)?

3 在數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)中“長見識、悟道理”

已有研究[5]～[14]顯示，我國學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力和水平并不理想，數(shù)學(xué)建模課程的實施也并不如意.一方面，數(shù)學(xué)建模能力是數(shù)學(xué)綜合能力的體現(xiàn)， 它需要學(xué)生有識別問題、提煉數(shù)學(xué)信息、構(gòu)建數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題以及分析與檢驗解答過程等能力，是一個綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決問題的過程.因此數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)是一個較長期的累積性學(xué)習(xí)過程.[9]另一方面，數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計存在一些缺陷[5][8]，師資的配置也跟不上.總體來說，導(dǎo)致我國學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平不高的因素是多方面的.好在新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》均突出了“數(shù)學(xué)建模”的重要性，相信今后這種局面將會得到大大改善.

在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型、特別是了解數(shù)學(xué)模型的形成過程是非常重要的.[15]就數(shù)學(xué)建模的課程和教學(xué)來說，如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中有所收獲、受到啟迪？我們認(rèn)為，從“長見識、悟道理”的角度出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考將是一條有效的途徑.下面舉例加以說明.

3.1 案例分析

案例[9]：(削菠蘿)四月剛好是菠蘿收獲的季節(jié)， 為使我們能品嘗到新鮮的菠蘿，水果店都有專人幫助我們削菠蘿皮，這是一個藝術(shù)性的刨削過程，削完后，菠蘿上留下的是一條條螺線.請你從數(shù)學(xué)角度來思考，人們?yōu)槭裁催@樣削菠蘿?

圖1

對于這樣一個實際問題，第一步要理解情境，厘清關(guān)系，弄清問題.情境中要求學(xué)生“從數(shù)學(xué)的角度思考為什么要這樣削菠蘿”，需要從兩方面考慮，一方面是從水果店的角度來看，他們總是希望削的時間越短越好；另一方面，從消費(fèi)者的角度來看，通常來講，消費(fèi)者往往希望削完菠蘿之后剩下的菠蘿肉越多越好.

第二步，考慮了這兩方面的因素之后，提什么樣的問題才是合理的呢？也即是說在削菠蘿的時候怎樣才能做到既快速又能剩下盡可能多的菠蘿肉呢？此時，需要將“剩下盡可能多的菠蘿肉”這一說法做一個等價的轉(zhuǎn)述，即削菠蘿的時候，盡可能少地削除可食用的菠蘿肉就可以了.從數(shù)學(xué)的角度來看，就是要使削菠蘿的刀在菠蘿上走的路程盡可能短才行.

第三步，明確問題之后，需考慮建立與之相關(guān)的數(shù)學(xué)模型.一個普遍而比較合理的認(rèn)識就是，可以把菠蘿近似地看成為圓柱體，菠蘿表面上的菠蘿籽按行或列來排列，每一行或列上有相同數(shù)量的菠蘿籽，這些菠蘿籽交錯排列著，它們可以用螺旋線連接起來，如圖2所示.

圖2

進(jìn)一步觀察， 菠蘿上被削出的螺線有這樣的結(jié)構(gòu)，即上一行的菠蘿籽與下一行的相鄰的菠蘿籽可以連接起來成為一條“斜線”. 按照立體圖形的平面展開圖，可將圓柱體展開成平面矩形，這些螺旋線即變?yōu)橹本€，如果把菠蘿籽看成點，那么這些直線上就規(guī)律地排列著“點” ，與橫向直線和縱向直線比較，這些“斜線”以最短的距離將所有點連接起來，如圖3所示. 接下來就要從數(shù)學(xué)的角度來論證這個推測.

圖3

第五步，根據(jù)實際檢驗結(jié)果.一方面，按螺線的方法削菠蘿是最有效的，而且也是最快的；另外一方面，按照這種方法削菠蘿可以多保留近30%的菠蘿肉. 因而該方法兼顧了商家和消費(fèi)者的需求，削菠蘿的時候不僅節(jié)省時間，而且讓購買者獲得盡可能多的菠蘿肉，是最佳方法.

3.2 討論

上述問題學(xué)生經(jīng)歷了從實際問題中提出問題、建立模型、求解檢驗等過程，每經(jīng)歷一個環(huán)節(jié)都是一次質(zhì)的飛躍.那么，從“實際情境”到“提出問題”、“建立模型”、“求解模型”以及“檢驗結(jié)果”的每一個環(huán)節(jié)，要讓學(xué)生“長什么見識、悟出什么道理”呢？

首先，如何確定研究的問題？學(xué)生遇到實際生活中的一個問題，這個問題是常見的，但是很多情況下學(xué)生并不在意，也不去深究為什么要這樣削菠蘿，更不會有意識地從數(shù)學(xué)的角度來探究這個問題.現(xiàn)在問題擺出來了，而且要求學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來“看”這個現(xiàn)象.無疑，這個過程讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)，從情感、態(tài)度上重新認(rèn)識數(shù)學(xué)(即使有的同學(xué)根本不知道如何用數(shù)學(xué)的知識和方法來解決該問題).接下來就應(yīng)該思考這個實際現(xiàn)象和數(shù)學(xué)的什么問題聯(lián)系起來？怎樣聯(lián)系？從哪些方面考慮二者之間的關(guān)聯(lián)？等等.一個基本的常識就是，作為消費(fèi)者，總是希望菠蘿削皮之后剩下盡可能多的菠蘿肉，對于商家，總是希望削菠蘿的時間越短越好.于是猜想，有可能這樣削皮剩下的菠蘿肉最多而且速度最快！那么，怎么從數(shù)學(xué)的角度來說明這個事情呢？如果有幾種削皮的方案的話，那么就應(yīng)該尋找損失菠蘿肉最少且削的速度最快的一種.也就是說，使削刀盡量短的時間內(nèi)在菠蘿上走的路程也盡可能短“應(yīng)該”就可以達(dá)到目的了.因此，需要研究的問題就提出來了：用線將菠蘿籽連起來，怎樣連才能使得總長度最小(而且削皮的速度盡可能地快)？在這一過程中，學(xué)生長什么知識、悟出什么道理呢？我們認(rèn)為至少有兩點：一是數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián).數(shù)學(xué)是有用的，有可能曾經(jīng)認(rèn)為數(shù)學(xué)無用武之地的一些學(xué)生會因此而改變自己對數(shù)學(xué)的態(tài)度，開始對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣；二是如何從實際情境中提出數(shù)學(xué)問題.這一環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生明白提出數(shù)學(xué)問題的道理是珍貴的！

其次，建立什么樣的模型來求解問題？要尋求一種將菠蘿籽連起來長度最短的線，需要找到一個具體的模型.通過觀察菠蘿的形狀，可以考慮用圓柱體來近似代替菠蘿，菠蘿籽用圓柱體表面規(guī)律排列的一些點代替.在這一過程中，學(xué)生明白用數(shù)學(xué)來研究生活中的問題，不可能像研究數(shù)學(xué)本身那樣是精確的，近似計算往往是處理問題的一種手段.而近似的追求目標(biāo)是使得結(jié)果盡可能接近真實的問題，因而如何選擇模型進(jìn)行研究就是關(guān)鍵的.

再次，怎樣確定參數(shù)和求解參數(shù)？當(dāng)問題、模型都確定了，接下來就是尋找什么參數(shù)進(jìn)行計算了.要確定研究的參數(shù)，需結(jié)合問題和目標(biāo).一個事實是，兩點之間的連線，線段最短.本問題的最終目標(biāo)是尋找線段連線之和最小，故而參數(shù)可以考慮圖形的邊長.在假設(shè)的條件下，橫豎相鄰兩個菠蘿籽的距離相等，因此可以設(shè)這個距離的長度為x，然后用它來計算斜線的點連線之和，并分別與橫線或者縱線上的點的連線之和作比較，探尋哪種連線之和最短(這與實際中不是豎著削，也不是橫著削，而是斜著削的情況類似).這一過程能讓學(xué)生明白，在確定了研究的問題之后，如何抓關(guān)鍵——準(zhǔn)確確定參數(shù).找準(zhǔn)參數(shù)是求解結(jié)果和應(yīng)用結(jié)果的關(guān)鍵一步，參數(shù)不合理、不準(zhǔn)確，求解過程可能很繁雜，結(jié)果與實際情境也可能會相差較大，沒有說服力.當(dāng)然，遇到這種與實際情況相差較大的，還可以重新修改方案，再次求解，畢竟，數(shù)學(xué)建模往往不能一次成功，而是一個不斷改進(jìn)模型求解參數(shù)并檢驗結(jié)果的循環(huán)過程.但是，這不是我們希望遇到的，我們期望的是盡可能少的次數(shù)就能完成任務(wù).

最后，如何檢驗和應(yīng)用結(jié)果？當(dāng)完成了以上各個步驟之后，就是檢驗數(shù)學(xué)計算的結(jié)果與實際情境是否吻合了.這一過程能讓學(xué)生明白準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果如何近似地解釋實際問題.因為我們得到的是實際問題的一個近似值，這個值的可信度有多大？能不能接受？是否需要修改？等等，需要從多個角度來考慮.

在整個數(shù)學(xué)建模過程中，或許只有極少數(shù)學(xué)生能夠完成全部過程的每個環(huán)節(jié)和階段，利用數(shù)學(xué)的知識和方法解決該實際問題，而大部分學(xué)生只能完成其中的一個或兩個步驟.盡管如此，即使對于只能完成其中一個步驟的學(xué)生，這樣的過程也有助于提高他們數(shù)學(xué)建模的信心，積淀建模的核心素養(yǎng).例如，通過觀察，發(fā)現(xiàn)相鄰的四個菠蘿籽可以構(gòu)成正方形的四個頂點，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為研究圖形的關(guān)系.這一過程或許使學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光看待外部世界，樹立良好的數(shù)學(xué)情感和態(tài)度.

4 結(jié)束語

總的來說，數(shù)學(xué)建模的整個過程，讓學(xué)生體會運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實際問題的方法，長了“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界”的見識，領(lǐng)悟到“數(shù)學(xué)與人類生活和社會發(fā)展緊密關(guān)聯(lián)”的道理.

盡管中學(xué)數(shù)學(xué)建模目前的狀況并不理想，絕大部分學(xué)生的建模能力都比較低.然而，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)中“長見識、悟道理”應(yīng)該是我們追求的一種課堂教學(xué)價值取向，將“長見識、悟道理”作為課堂學(xué)習(xí)目標(biāo)之一來培育學(xué)生核心素養(yǎng).“長見識、悟道理”需要通過學(xué)生的主動學(xué)習(xí)來實現(xiàn)，探索、嘗試、實驗和實施有利于學(xué)生主動學(xué)習(xí)的教學(xué)形態(tài)，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)值得關(guān)注的問題.理解和把握與“長見識”“悟道理”相關(guān)的教學(xué)之道，是數(shù)學(xué)教學(xué)深入改革的方向.