陳志強(qiáng)，劉戰(zhàn)合，苗楠，馮偉

1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 航空工程學(xué)院，鄭州 450046 2.河南工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，鄭州 450046

在飛機(jī)氣動(dòng)彈性設(shè)計(jì)和分析中，需研究結(jié)構(gòu)力、氣動(dòng)力和慣性力的耦合，以確定飛行包線。由于流固相互作用對(duì)安全與效率的要求有著至關(guān)重要的影響，因此可靠、準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)氣動(dòng)力顯得尤為重要?？紤]到工業(yè)應(yīng)用，非定常氣動(dòng)力的建模主要采用高效的勢(shì)流方法。然而，在跨聲速飛行情況下，氣動(dòng)力非線性現(xiàn)象表現(xiàn)明顯，經(jīng)典方法在保真度上受到限制。使用現(xiàn)代計(jì)算流體力學(xué)(Computational Fluid Dynamics，CFD)方法可以提高精度和保真度，然而由于影響參數(shù)(結(jié)構(gòu)特征模態(tài)、馬赫數(shù)、迎角和頻率)的廣泛變化，數(shù)值計(jì)算耗時(shí)大大增加。目前漫長(zhǎng)的計(jì)算周期仍然限制了CFD方法在多學(xué)科計(jì)算方面的廣泛應(yīng)用。

自20世紀(jì)90年代以來(lái)，研究者們提出了各種基于CFD仿真數(shù)據(jù)的氣動(dòng)力降階模型[1-4](Reduced Order Modeling，ROM)。ROM是指采用線性或非線性模型來(lái)表達(dá)復(fù)雜氣動(dòng)力系統(tǒng)中輸入與輸出間的映射關(guān)系。非定常氣動(dòng)力ROM和結(jié)構(gòu)模型可方便地進(jìn)行耦合，進(jìn)而得到整個(gè)氣動(dòng)彈性系統(tǒng)ROM，可大幅提高跨聲速氣動(dòng)彈性問(wèn)題的數(shù)值仿真效率。根據(jù)數(shù)學(xué)方法、模型構(gòu)造和數(shù)據(jù)源的不同，降階方法大致可分為兩類(lèi)[3]：一類(lèi)是基于投影方法提取流場(chǎng)的主要特征，例如本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition，POD)方法[5-6]、動(dòng)態(tài)模態(tài)分解[7]、稀疏識(shí)別理論[8]、Koopman理論[9]等，另一類(lèi)是基于系統(tǒng)識(shí)別方法反映流場(chǎng)非定常氣動(dòng)力的輸入輸出特性，例如特征實(shí)現(xiàn)算法[10]、諧波平衡法[11]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[12-14]、支持向量機(jī)[15-16]以及代理模型[17]等。

目前，已有多種ROM應(yīng)用于跨聲速氣動(dòng)彈性數(shù)值模擬[18-21]，能夠大幅提高計(jì)算效率，然而大多數(shù)ROM技術(shù)對(duì)飛行參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)缺乏魯棒性。在每次物理或建模參數(shù)變化時(shí)需要重新構(gòu)建相應(yīng)的ROM，但是在許多情況下，重建ROM需要從一組新的高保真度數(shù)值仿真獲得新系統(tǒng)的響應(yīng)，對(duì)于追求高效率的目標(biāo)來(lái)說(shuō)，這種做法是不可行的。對(duì)于跨聲速流動(dòng)，其穩(wěn)定性對(duì)迎角、馬赫數(shù)甚至雷諾數(shù)等都很敏感，故跨聲速氣動(dòng)彈性特性易受這些參數(shù)的影響，導(dǎo)致有時(shí)會(huì)存在較大的分散度和不確定性[22]。因此構(gòu)建精度高、效率高的跨聲速非定常氣動(dòng)力參數(shù)化降階模型對(duì)跨聲速氣動(dòng)彈性分析和氣動(dòng)彈性主動(dòng)控制研究尤為重要。針對(duì)兩類(lèi)降階方法，近些年國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)ROM存在魯棒性差問(wèn)題進(jìn)行了研究。

特征提取方法是利用復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的密集數(shù)據(jù)提取特征模態(tài)，通過(guò)特征模態(tài)上的低階動(dòng)力學(xué)行為來(lái)近似復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為。對(duì)于流場(chǎng)特征結(jié)構(gòu)模型, 需要發(fā)展具有自適應(yīng)性和魯棒性的 ROM構(gòu)造方法, 并通過(guò)并行化來(lái)提高計(jì)算效率。為了解決傳統(tǒng)氣動(dòng)力降階方法缺乏自適應(yīng)性和魯棒性的問(wèn)題，Amsallem等[23-24]提出了一種基于微分幾何概念和結(jié)論的ROM，其能較好適應(yīng)于物理或建模參數(shù)的變化，并且該方法適用于任何需要重構(gòu)基向量的ROM。該方法在全機(jī)的氣動(dòng)彈性分析中，考察了其對(duì)自由流馬赫數(shù)變化的適應(yīng)性。與直接重建的降階模型、高保真非線性和線性仿真結(jié)果比較具有良好的一致性，證明了該方法具有較低的復(fù)雜度和較好的魯棒性。Chen等[25]提出了一種基于自適應(yīng)POD和最小二乘支持向量回歸(Least Squares Support Vector Regression, LS-SVR)相結(jié)合的非定常氣動(dòng)參數(shù)ROM方法。在給定的參數(shù)空間中，利用對(duì)Grassmann流形在切空間內(nèi)的插值方法，生成了任意樣本點(diǎn)的模態(tài)矩陣。再通過(guò)LS-SVR得到激勵(lì)信號(hào)與相應(yīng)POD系數(shù)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。與直接CFD模擬相比，該參數(shù)化ROM能夠有效地預(yù)測(cè)氣動(dòng)力響應(yīng)、顫振邊界和極限周期振蕩。

系統(tǒng)識(shí)別方法是利用流體系統(tǒng)的輸入和輸出關(guān)系來(lái)建立系統(tǒng)的一個(gè)低階傳遞函數(shù)或狀態(tài)空間模型代替原始的滿(mǎn)階模型，為高效、高精度模擬飛行器跨聲速氣動(dòng)彈性力學(xué)與控制問(wèn)題提供了解決途徑。基于系統(tǒng)辨識(shí)的ROM只需利用給定狀態(tài)下非定常CFD程序求解流場(chǎng)的輸入輸出特性進(jìn)行構(gòu)造，而無(wú)需對(duì)程序進(jìn)行大的改動(dòng)，方便研究者使用。傳統(tǒng)的系統(tǒng)識(shí)別方法在處理較強(qiáng)非線性和狀態(tài)參數(shù)變化等問(wèn)題時(shí)通常顯得無(wú)能為力，因此近些年來(lái)針對(duì)上述問(wèn)題，一些學(xué)者開(kāi)始了相關(guān)研究[26-30]。Winter和Breitsamber[31]提出了一種基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的非線性系統(tǒng)辨識(shí)方法，從而構(gòu)建非定常氣動(dòng)參數(shù)化ROM。其用局部線性模型樹(shù)算法訓(xùn)練了一個(gè)三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使其適用于較寬?cǎi)R赫數(shù)范圍，并分析了AGARD445.6機(jī)翼從亞聲速到高超聲速的顫振邊界，但該邊界不涉及極限環(huán)振蕩(Limit Cycle Oscillation, LCO)行為。Li等[32]提出了一種基于深度學(xué)習(xí)理論中長(zhǎng)短期記憶(Long Short-Term Memory, LSTM)網(wǎng)絡(luò)的大訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和空間樣本的非定常空氣動(dòng)力學(xué)模型。LSTM網(wǎng)絡(luò)在建模時(shí)間序列數(shù)據(jù)方面具有很大的潛力，非常適合捕捉非定?？諝鈩?dòng)力學(xué)的時(shí)滯效應(yīng)。與傳統(tǒng)的降階模型不同，基于LSTM網(wǎng)絡(luò)的模型不需要選擇延遲階數(shù)。計(jì)算結(jié)果表明，該模型能夠準(zhǔn)確地描述氣動(dòng)和氣動(dòng)彈性系統(tǒng)在變流和變結(jié)構(gòu)參數(shù)下的動(dòng)態(tài)特性。

根據(jù)以上討論，本文提出了基于最小二乘支持向量回歸算法的跨聲速非定常氣動(dòng)力參數(shù)化降階模型，建立結(jié)構(gòu)激勵(lì)、飛行參數(shù)和相應(yīng)的非定常氣動(dòng)力之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。為了提高模型的準(zhǔn)確度，定義系統(tǒng)輸入包含當(dāng)前激勵(lì)信號(hào)、適當(dāng)?shù)难舆t激勵(lì)信號(hào)和響應(yīng)反饋。為了解決模型構(gòu)建時(shí)精度不足或需拓寬參數(shù)范圍的問(wèn)題，采用了一種增量學(xué)習(xí)算法，算法執(zhí)行中新增樣本后的矩陣求逆采用了迭代方法，不用對(duì)整個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集重新訓(xùn)練，進(jìn)而很大地提高了建模效率。為了驗(yàn)證該方法的有效性和精確度，將該方法應(yīng)用于預(yù)測(cè)NACA64A010翼型的跨聲速非定常氣動(dòng)力響應(yīng)和氣動(dòng)彈性響應(yīng)來(lái)評(píng)估其性能。

1 參數(shù)化降階建模方法

非定常氣動(dòng)力模型可以看作一個(gè)多輸入多輸出的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，表示為

(1)

式中：k表示當(dāng)前離散時(shí)間步；狀態(tài)函數(shù)f(k+1)表示當(dāng)前狀態(tài)x(k)和輸入向量u(k)與新?tīng)顟B(tài)x(k+1)的關(guān)系；輸出函數(shù)g(k+1)表示新?tīng)顟B(tài)x(k+1)與系統(tǒng)輸出y(k+1)的關(guān)系；輸入向量u(t)可包含系統(tǒng)的參數(shù)、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)等信息；輸出向量y(t)表示時(shí)域氣動(dòng)力；狀態(tài)向量x(t)通常為流場(chǎng)信息，比如密度、速度、壓強(qiáng)等?；贑FD求解器的計(jì)算，x(k)的維數(shù)與流場(chǎng)網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)成正比，通?？蛇_(dá)到數(shù)十萬(wàn)以上。式(1)表明全階CFD系統(tǒng)的計(jì)算量巨大，在此可由降階方法代替以達(dá)到高效且精確獲得氣動(dòng)力的目的。

從線性系統(tǒng)識(shí)別理論可知，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸出可以近似為當(dāng)前激勵(lì)輸入、一定數(shù)量的延遲輸入和延遲系統(tǒng)響應(yīng)的函數(shù)。對(duì)于降階模型，式(1)中的輸入和輸出關(guān)系可等價(jià)為非線性系統(tǒng)，表示為

yi(k)=Φi(u(k),u(k-1),…,u(k-m),

(2)

1.1 最小二乘法支持向量回歸

最小二乘支持向量回歸是在標(biāo)準(zhǔn)SVR基礎(chǔ)上進(jìn)行了簡(jiǎn)化求解過(guò)程的改進(jìn)，把標(biāo)準(zhǔn)SVR中的不等式約束條件變?yōu)榈仁郊s束條件，將優(yōu)化問(wèn)題的求解變?yōu)榫€性方程組的求解，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算復(fù)雜性，適用于函數(shù)擬合和系統(tǒng)建模。

數(shù)據(jù)集通常具有非線性，利用非線性影射φ將輸入空間映射到高維特征空間, 使非線性函數(shù)擬合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為高維特征空間的線性函數(shù)擬合問(wèn)題。回歸函數(shù)具有如下形式：

(3)

式中：w為特征空間的向量；b為偏置項(xiàng)。

回歸問(wèn)題可表示為有約束條件的優(yōu)化問(wèn)題：

(4)

式中：優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)J的兩項(xiàng)分別為模型的復(fù)雜度和誤差的范圍;ei是訓(xùn)練數(shù)據(jù)誤差；C是懲罰因子，表示誤差項(xiàng)的懲罰程度大小。相應(yīng)的Lagrange函數(shù)表示為

(5)

根據(jù)Karush-Kuhn-Tucker’s(KKT’s)最優(yōu)條件：

(6)

得到如下線性方程：

(7)

(8)

LS-SVR的回歸模型表達(dá)式為

(9)

根據(jù)泛函的有關(guān)理論，任意滿(mǎn)足 Mercer條件的對(duì)稱(chēng)函數(shù)可作為核函數(shù)，本文選擇高斯徑向基函數(shù)作為核函數(shù)。

1.2 增量學(xué)習(xí)算法

對(duì)于增量學(xué)習(xí)(Incremental Learning，IL)，隨著樣本集的增加，最小二乘法支持向量回歸中的核函數(shù)矩陣H、Lagrange乘子α和常值偏置項(xiàng)b都會(huì)發(fā)生變化。由式(8)可知，增量學(xué)習(xí)中關(guān)鍵問(wèn)題是得到核函數(shù)矩陣H的逆H-1。由于非常氣動(dòng)力數(shù)據(jù)量巨大，矩陣H的階數(shù)較高，所以求逆矩陣的計(jì)算量將很大。在此將利用分塊矩陣求逆的方法，利用原核函數(shù)矩陣的逆，快速得到需要的逆矩陣，進(jìn)而快速完成增量學(xué)習(xí)。

設(shè)原訓(xùn)練集中有M1個(gè)樣本，對(duì)應(yīng)核函數(shù)矩陣H1，其階數(shù)為Nsp1，新增M2個(gè)樣本，對(duì)應(yīng)核函數(shù)矩陣H2，其階數(shù)為Nsp2，可表示為

(10)

(11)

根據(jù)文獻(xiàn)[33]定理可知H1和H2可逆，則

(12)

實(shí)際上增量學(xué)習(xí)算法可采用離線學(xué)習(xí)的方式，在每次迭代過(guò)程中增加一個(gè)樣本數(shù)據(jù), 直至包括所有的樣本數(shù)據(jù)，這樣可以充分利用前一次迭代的運(yùn)算結(jié)果，減少離線學(xué)習(xí)的計(jì)算復(fù)雜性。

1.3 基于增量學(xué)習(xí)的降階建模

為了得到準(zhǔn)確的降階模型，需要獲得充分的輸入輸出數(shù)據(jù)用于模型訓(xùn)練。需要強(qiáng)調(diào)的是，只有由訓(xùn)練數(shù)據(jù)激發(fā)的結(jié)構(gòu)振幅和頻率范圍可以被ROM充分地復(fù)制。本文選擇濾波高斯白噪聲(Filtered White Gaussian Noise, FWGN)作為對(duì)氣動(dòng)力系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)，可通過(guò)選擇合適的時(shí)間步長(zhǎng)、信號(hào)長(zhǎng)度和幅值范圍，將氣動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)特性激發(fā)出來(lái)。進(jìn)行每個(gè)飛行工況下的非定常氣動(dòng)力CFD計(jì)算，F(xiàn)WGN信號(hào)可同時(shí)激勵(lì)各個(gè)結(jié)構(gòu)自由度，快速生成訓(xùn)練數(shù)據(jù)。

基于上述最小二乘法支持向量回歸的增量學(xué)習(xí)算法，構(gòu)建降階模型以高效獲取不同飛行參數(shù)和振動(dòng)狀態(tài)下的非定常氣動(dòng)力。建模步驟可分為：① 在定義的飛行參數(shù)空間內(nèi)選擇一定數(shù)量的樣本點(diǎn)，在設(shè)定的FWGN信號(hào)激勵(lì)下獲得CFD計(jì)算的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)；② 確定參數(shù)m和n的值，收集所有樣本點(diǎn)處的輸入和輸出數(shù)據(jù)，根據(jù)要求整理得到訓(xùn)練數(shù)據(jù)集；③ 基于訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，通過(guò)最小二乘法支持向量回歸算法訓(xùn)練得到降階模型SVR-ROM；④ 拓展參數(shù)范圍，增加樣本點(diǎn)，根據(jù)第 ①② 步方法得到新訓(xùn)練數(shù)據(jù)集；⑤基于新增訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，通過(guò)增量學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練得到新的降階模型IL-ROM；⑥ 測(cè)試得到的降階模型在定義的參數(shù)空間內(nèi)的可靠性和精度。

為了說(shuō)明該降階方法的精度，下面定義一個(gè)相對(duì)誤差指標(biāo)：

(13)

式中：yROM是降階模型的預(yù)測(cè)值；yCFD是由CFD仿真得到的結(jié)果。

2 算例分析

2.1 模型描述

圖1 兩自由度二元翼型NACA64A010模型

α(t)=α0+αAsin(ωα·t)

(14)

式中：α0為平均迎角；αA為俯仰運(yùn)動(dòng)幅值。俯仰運(yùn)動(dòng)的頻率ωα由減縮頻率kr確定，其中減縮頻率kr與頻率ωα之間的關(guān)系為

(15)

式中：U∞為無(wú)窮遠(yuǎn)來(lái)流的速度。

本文所用到訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)均由CFD計(jì)算得到，使用的求解器為NASA Langley研究中心開(kāi)發(fā)的開(kāi)源計(jì)算工具CFL3D。CFL3D代碼使用單元中心格式的隱式有限體積算法來(lái)求解依賴(lài)時(shí)間的雷諾數(shù)平均Navier-Stokes方程。該算法基于單元中心格式，采用基于通量矢量分裂或通量差分裂的迎風(fēng)格式差分方法，能夠快速捕獲激波。NACA64A010翼型流場(chǎng)采用2×257×129 C型結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，如圖2所示。

圖2 NACA64A010翼型流場(chǎng)網(wǎng)格

對(duì)于二元翼段，其氣動(dòng)彈性方程為

(16)

(17)

其中：ρ∞為無(wú)窮遠(yuǎn)處來(lái)流密度；V∞為無(wú)窮遠(yuǎn)處來(lái)流速度；cR為平均氣動(dòng)力弦長(zhǎng)。

(18)

2.2 構(gòu)建參數(shù)化降階模型

為了檢驗(yàn)參數(shù)化降階模型隨參數(shù)變化時(shí)的精度和可靠性，選擇在馬赫數(shù)Ma=0.8～0.9、平均迎角α0=0°～3°范圍內(nèi)預(yù)測(cè)氣動(dòng)力響應(yīng)。為了從氣動(dòng)力系統(tǒng)中獲得所關(guān)注的幅值和頻率范圍的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，取無(wú)量綱流場(chǎng)時(shí)間步長(zhǎng)為0.2，F(xiàn)WGN信號(hào)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為2 000，減縮頻率范圍為0.01～0.3，俯仰振幅限制在4°以?xún)?nèi)，沉浮振幅限制在無(wú)量綱長(zhǎng)度0.1以?xún)?nèi)。圖3為選定的兩個(gè)自由度上的FWGN信號(hào)。在飛行參數(shù)范圍內(nèi)選擇24個(gè)樣本點(diǎn)，如圖4所示，并在各樣點(diǎn)處進(jìn)行CFD計(jì)算獲得激勵(lì)信號(hào)下的氣動(dòng)力響應(yīng)?；跇颖军c(diǎn)處的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)，取m=3,n=2,整理得到訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，利用上述參數(shù)化降階建模方法分別構(gòu)建升力系數(shù)CL和力矩系數(shù)Cm的降階模型。

圖3 NACA64A010翼型的FWGN激勵(lì)信號(hào)

圖4 參數(shù)空間及采樣點(diǎn)

2.3 SVR-ROM降階模型有效性檢驗(yàn)

基于上述24個(gè)樣本點(diǎn)處的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)，構(gòu)建SVR-ROM降階模型，其訓(xùn)練時(shí)間為7.8 h。為了驗(yàn)證該降階方法在參數(shù)空間內(nèi)的效果，選取3個(gè)測(cè)試點(diǎn):Ma=0.81,α0=0.5°;Ma=0.85,α0=2.5°;Ma=0.89,α0=1.5°;分別采用降階模型SVR-ROM和CFD方法預(yù)測(cè)在FWGN激勵(lì)下的氣動(dòng)力響應(yīng)。圖5給出了3個(gè)測(cè)試點(diǎn)處由SVR-ROM和CFD預(yù)測(cè)的升力系數(shù)和力矩系數(shù)時(shí)域比較。表1給出了3個(gè)測(cè)試點(diǎn)處SVR-ROM與CFD預(yù)測(cè)結(jié)果之間的相對(duì)誤差。計(jì)算結(jié)果表明，在FWGN激勵(lì)下由SVR-ROM預(yù)測(cè)的氣動(dòng)力響應(yīng)與CFD的計(jì)算結(jié)果吻合很好。

表1 FWGN激勵(lì)下SVR-ROM與CFD結(jié)果的相對(duì)誤差

圖5 FWGN激勵(lì)下SVR-ROM和CFD預(yù)測(cè)的氣動(dòng)力響應(yīng)

為了考察SVR-ROM降階模型在其他輸入下的可靠性，分別在3個(gè)測(cè)試點(diǎn)處使沉浮和俯仰自由度分別做不同頻率的間諧運(yùn)動(dòng)，采用降階模型SVR-ROM和CFD方法預(yù)測(cè)氣動(dòng)力響應(yīng)。如圖6所示，在Ma=0.81、α0=0.5°時(shí)，降階模型SVR-ROM預(yù)測(cè)的結(jié)果與CFD計(jì)算結(jié)果吻合較好。表2給出了3個(gè)測(cè)試點(diǎn)處SVR-ROM與CFD預(yù)測(cè)結(jié)果之間的相對(duì)誤差。

圖6 Ma=0.81、α0=0.5°時(shí)間諧激勵(lì)下氣動(dòng)力響應(yīng)

表2 間諧激勵(lì)下SVR-ROM與CFD結(jié)果的相對(duì)誤差

2.4 IL-ROM降階模型有效性檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)IL-ROM降階模型隨參數(shù)變化時(shí)的精度和可靠性，在2.2節(jié)參數(shù)范圍基礎(chǔ)上進(jìn)行拓寬，選擇飛行參數(shù)范圍為馬赫數(shù)0.8～0.96，平均迎角0°～3°，在參數(shù)范圍內(nèi)選擇36個(gè)樣本點(diǎn)，如圖7所示。對(duì)比圖4發(fā)現(xiàn)在馬赫數(shù)0.92～0.96中增加12個(gè)樣本點(diǎn)，所以在此分別采用LS-SVM和增量學(xué)習(xí)算法構(gòu)建降階模型。本節(jié)采用與2.2節(jié)中相同的激勵(lì)信號(hào)獲得新增樣本點(diǎn)處的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)。整理新參數(shù)空間內(nèi)36個(gè)樣本點(diǎn)處的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)，基于LS-SVM構(gòu)建新的SVR-ROM降階模型。在2.3節(jié)SVR-ROM基礎(chǔ)上，補(bǔ)充增加的12個(gè)樣本點(diǎn)氣動(dòng)力數(shù)據(jù)，基于增量學(xué)習(xí)算法構(gòu)建IL-ROM降階模型。

圖7 新參數(shù)空間及采樣點(diǎn)

為了檢驗(yàn)上述兩種降階模型的有效性，同樣選取3個(gè)測(cè)試點(diǎn):Ma=0.83,α0=0.5°;Ma=0.89,α0=2.5°;Ma=0.95,α0=1.5°;分別采用SV-ROM、IL-ROM和CFD方法預(yù)測(cè)在FWGN激勵(lì)下的氣動(dòng)力響應(yīng)。圖8給出了3個(gè)測(cè)試點(diǎn)處由以上3種方法預(yù)測(cè)的升力系數(shù)和力矩系數(shù)時(shí)域比較。表3給出了3個(gè)測(cè)試點(diǎn)處SVR-ROM和IL-ROM 與CFD預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差。對(duì)比結(jié)果表明，在FWGN激勵(lì)下由SVR-ROM和IL-ROM預(yù)測(cè)的氣動(dòng)力響應(yīng)誤差相差不大，且都與CFD的計(jì)算結(jié)果吻合很好。

表3 FWGN激勵(lì)下SVR-ROM和IL-ROM與CFD結(jié)果的相對(duì)誤差

圖8 FWGN激勵(lì)下SVR-ROM、IL-ROM和CFD預(yù)測(cè)的氣動(dòng)力響應(yīng)

采用與2.3節(jié)相同的方法，在3個(gè)測(cè)試點(diǎn)處，使沉浮和俯仰自由度分別做不同頻率的間諧運(yùn)動(dòng)，采用兩種降階模型和CFD方法預(yù)測(cè)氣動(dòng)力響應(yīng)。如圖9所示，在Ma=0.83、α0=0.5°時(shí)，降階模型SVR-ROM和IL-ROM預(yù)測(cè)的結(jié)果與CFD計(jì)算結(jié)果吻合較好。表4給出了3個(gè)測(cè)試點(diǎn)處SVR-ROM和IL-ROM與CFD預(yù)測(cè)結(jié)果之間的相對(duì)誤差。對(duì)比結(jié)果表明，在間諧激勵(lì)下由SVR-ROM和IL-ROM預(yù)測(cè)的氣動(dòng)力響應(yīng)誤差相差不大，且都與CFD的計(jì)算結(jié)果吻合的很好。

圖9 Ma=0.83、α0=0.5°時(shí)間諧激勵(lì)下氣動(dòng)力響應(yīng)

表4 間諧激勵(lì)下SVR-ROM和IL-ROM與CFD結(jié)果的相對(duì)誤差

以上算例均在具有8核CPU、3.2 GHz主頻和16 G內(nèi)存的工作機(jī)上運(yùn)行，基于36個(gè)樣本點(diǎn)處的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)，SVR-ROM和IL-ROM兩種降階模型的訓(xùn)練時(shí)間分別為27.3 h和2.6 h，需要說(shuō)明的是IL-ROM模型是在2.2節(jié)降階模型基礎(chǔ)上訓(xùn)練得到的。對(duì)比結(jié)果表明，兩種降階模型的精度差不多，但增量學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練時(shí)間要快得多，建模效率得到很大提高。

2.5 氣動(dòng)彈性仿真

圖10 時(shí)沉浮自由度的氣動(dòng)彈性響應(yīng)及 FFT 分析

圖11 時(shí)俯仰自由度的氣動(dòng)彈性響應(yīng)及 FFT 分析

圖12是基于CFD方法和IL-ROM方法計(jì)算機(jī)翼顫振邊界的對(duì)比，二者結(jié)果基本一致。從圖中可看出，顫振邊界表現(xiàn)為“雙臺(tái)階”型，分別在Ma∞=0.85,0.9處顫振速度出現(xiàn)兩次較大提升。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因認(rèn)為是激波運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致氣動(dòng)力對(duì)機(jī)翼做功降低，從而使顫振速度大幅提高。

圖12 CFD和IL-ROM方法預(yù)測(cè)NACA64A010翼型的顫振邊界

與CFD/CSD耦合方法相比，基于非定常氣動(dòng)力降階方法的計(jì)算效率具有巨大優(yōu)勢(shì)。本節(jié)氣動(dòng)彈性仿真在同一臺(tái)計(jì)算機(jī)上完成，CFD/CSD耦合方法計(jì)算一個(gè)流速下氣動(dòng)彈性響應(yīng)大約需要37 min，而基于降階方法完成同樣氣動(dòng)彈性響應(yīng)預(yù)測(cè)只需約1.3 s。若是對(duì)于三維機(jī)翼或全機(jī)模型，氣動(dòng)力降階方法的效率優(yōu)勢(shì)將更加明顯，同時(shí)表明基于降階方法的氣動(dòng)彈性模型適用于氣動(dòng)伺服彈性分析。

3 結(jié) 論

本文提出了一種基于最小二乘支持向量回歸算法的跨聲速非定常氣動(dòng)力參數(shù)化降階模型，并發(fā)展了增量學(xué)習(xí)算法，在增加樣本數(shù)據(jù)時(shí)可對(duì)降階模型進(jìn)行快速二次訓(xùn)練。該降階方法應(yīng)用于兩自由度NACA64A010翼型，預(yù)測(cè)不同來(lái)流參數(shù)下的氣動(dòng)力和氣動(dòng)彈性響應(yīng)，論證了其有效性，得出以下結(jié)論：

1)基于最小二乘支持向量回歸算法構(gòu)建的參數(shù)化降階模型SVR-ROM可預(yù)測(cè)定義參數(shù)空間內(nèi)隨機(jī)激勵(lì)下的跨聲速非定常氣動(dòng)力，與CFD計(jì)算結(jié)果比較，整體相對(duì)誤差不超過(guò)4%。

2)拓寬參數(shù)空間中馬赫數(shù)的范圍，增加訓(xùn)練數(shù)據(jù)時(shí)，基于增量學(xué)習(xí)算法構(gòu)建IL-ROM模型，與SVR-ROM進(jìn)行重新訓(xùn)練相比，建模效率得到大幅提高，并且兩種模型誤差接近。

3)與CFD/CSD耦合方法相比，IL-ROM模型能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)不同馬赫數(shù)的顫振邊界，但計(jì)算效率得到大幅提高。未來(lái)，該降階模型可以應(yīng)用到更復(fù)雜的多自由模型進(jìn)行氣動(dòng)力預(yù)測(cè)和氣動(dòng)彈性分析，也可與控制器耦合進(jìn)行氣動(dòng)伺服彈性分析。