高昌，李正洲，黃江濤，賀元元，吳穎川，樂(lè)嘉陵，桂豐

1.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 高超聲速?zèng)_壓發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，綿陽(yáng) 621000 2.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心，綿陽(yáng) 621000 3.中國(guó)航發(fā)四川燃?xì)鉁u輪研究院，成都 610500

高超聲速飛行器具有實(shí)現(xiàn)全球快速到達(dá)和低成本進(jìn)入空間的潛力，目前各主要航天大國(guó)都正在開(kāi)展對(duì)高超聲速飛行器的深入研究。高超聲速飛行環(huán)境下，飛行器受到氣動(dòng)力、熱載荷嚴(yán)酷，高超聲速飛行器機(jī)體和推進(jìn)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)面臨推阻平衡、升重平衡等難題，機(jī)體/推進(jìn)一體化設(shè)計(jì)方法是解決這些難題的有效方法[1-2]。目前的一體化設(shè)計(jì)方法主要是基于無(wú)黏理論，高超聲速來(lái)流條件下黏性對(duì)于飛行器氣動(dòng)性能有重要影響，實(shí)際應(yīng)用中還要權(quán)衡幾何修型導(dǎo)致的性能惡化[3]。氣動(dòng)設(shè)計(jì)作為概念設(shè)計(jì)的起始點(diǎn)，性能優(yōu)良的氣動(dòng)外形有利于整個(gè)總體設(shè)計(jì)方案的封閉性和可實(shí)現(xiàn)性。在考慮黏性的情況下，針對(duì)高超聲速飛行器開(kāi)展高精度氣動(dòng)優(yōu)化可以在一體化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高飛行器的氣動(dòng)性能。

高精度氣動(dòng)優(yōu)化需要借助精細(xì)化CFD(Computational Fluid Dynamics)工具開(kāi)展氣動(dòng)性能預(yù)測(cè)，優(yōu)化過(guò)程通常采用進(jìn)化策略或梯度策略[4]。進(jìn)化策略基于遺傳算法、粒子群算法等優(yōu)化算法對(duì)整個(gè)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行全局尋優(yōu)，對(duì)于多設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化問(wèn)題，龐大的CFD計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)是面臨的主要困難，代理模型在一定程度上可以降低CFD計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)，但仍存在精度和泛化性問(wèn)題[5-6]。梯度策略根據(jù)目標(biāo)函數(shù)梯度信息對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行局部尋優(yōu)，伴隨方法具有計(jì)算量與設(shè)計(jì)變量數(shù)目無(wú)關(guān)的優(yōu)勢(shì)，是氣動(dòng)優(yōu)化中高效獲取目標(biāo)函數(shù)梯度的方法，已成熟應(yīng)用于亞、跨和低超聲速氣動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題[7-9]。但對(duì)于高超聲速流動(dòng)，伴隨方程推導(dǎo)需要考慮黏性輸運(yùn)系數(shù)變分的貢獻(xiàn)；同時(shí)高超聲速流動(dòng)中存在的強(qiáng)激波間斷對(duì)伴隨方程對(duì)流項(xiàng)離散格式的精度和魯棒性提出了更高的要求。

針對(duì)伴隨方法在高超聲速優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用，國(guó)內(nèi)外研究人員進(jìn)行了一系列探索。Copeland等在考慮高溫化學(xué)非平衡效應(yīng)的情況下推導(dǎo)了連續(xù)伴隨方程，基于Steger-Warming格式對(duì)伴隨方程對(duì)流項(xiàng)進(jìn)行離散，在高馬赫數(shù)來(lái)流下針對(duì)二維翼型對(duì)連續(xù)伴隨方法的計(jì)算精準(zhǔn)度進(jìn)行了驗(yàn)證[10]；Kline等采用連續(xù)伴隨方法針對(duì)高超聲速進(jìn)氣道開(kāi)展了優(yōu)化研究，但忽略黏性輸運(yùn)系數(shù)變分對(duì)伴隨方程的貢獻(xiàn)，伴隨方程對(duì)流項(xiàng)離散采用JST(Jameson-Schmidt-Turkel)中心差分格式[11]。宋紅超等基于離散伴隨方法對(duì)高超聲速單邊膨脹噴管開(kāi)展了優(yōu)化研究[12]；高昌等基于連續(xù)伴隨方法對(duì)二維高超聲速進(jìn)氣道開(kāi)展了優(yōu)化研究[13]。目前對(duì)于伴隨方法在高超聲速優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用還處于初步探索階段，已有的研究工作主要針對(duì)二維或簡(jiǎn)單流場(chǎng)，對(duì)伴隨方法在三維復(fù)雜高超聲速流動(dòng)中的應(yīng)用缺乏深入研究和驗(yàn)證。

為進(jìn)一步探索伴隨方法在高超聲速優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用，建立高超聲速飛行器高精度氣動(dòng)優(yōu)化方法，本文基于Navier-Stokes(NS)方程推導(dǎo)了連續(xù)伴隨方程和氣動(dòng)力目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的邊界條件和靈敏度公式，考慮層流黏性輸運(yùn)系數(shù)對(duì)伴隨方程的貢獻(xiàn)，探究基于二階熵修正Roe格式的伴隨方程對(duì)流項(xiàng)離散格式，構(gòu)建適用于高超聲速流動(dòng)的連續(xù)伴隨求解器；基于連續(xù)伴隨求解器構(gòu)建針對(duì)高超聲速飛行器的高精度氣動(dòng)優(yōu)化框架；通過(guò)二維翼型和Sanger飛行器機(jī)翼優(yōu)化算例驗(yàn)證連續(xù)伴隨求解器的計(jì)算精度，以Sanger飛行器升阻比為優(yōu)化目標(biāo)開(kāi)展基于連續(xù)伴隨方法的高超聲速高精度氣動(dòng)優(yōu)化方法的應(yīng)用研究。

1 優(yōu)化方法

1.1 連續(xù)伴隨方程

伴隨方法的基本思想是將流動(dòng)控制方程作為優(yōu)化問(wèn)題的約束條件，對(duì)于氣動(dòng)力優(yōu)化問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)可以表示為統(tǒng)一形式：

(1)

式中：J為伴隨方程目標(biāo)函數(shù)；Sw為壁面邊界；j為伴隨方程目標(biāo)函數(shù)積分項(xiàng)；p為壓力；σ為應(yīng)力；d為氣動(dòng)力目標(biāo)函數(shù)方向向量；I為單位矩陣；n為壁面法向量；dS為積分面元。

對(duì)于不同的氣動(dòng)力目標(biāo)函數(shù)：

(2)

(3)

式中：R為流動(dòng)控制方程殘差；U為流動(dòng)控制方程守恒變量；Fc為對(duì)流項(xiàng)；Fv為黏性項(xiàng)；μ為黏性輸運(yùn)系數(shù)。通過(guò)Lagrange乘子Ψ將NS方程引入目標(biāo)函數(shù)：

(4)

式中：D為計(jì)算域；dV為積分體積微元。對(duì)式(4)進(jìn)行變分運(yùn)算：

(5)

式中：δ為變分運(yùn)算符；δSw為壁面變分。目標(biāo)函數(shù)的變分項(xiàng)根據(jù)曲面變分公式可以簡(jiǎn)化為

(6)

對(duì)于式(5)中NS方程的變分項(xiàng)，由于黏性項(xiàng)中包含流場(chǎng)變量的梯度，為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)過(guò)程，將NS方程視為流場(chǎng)變量和流場(chǎng)變量梯度的函數(shù)：

(7)

對(duì)式(7)進(jìn)行變分運(yùn)算，根據(jù)求導(dǎo)交換法則：

(8)

式中：各Jacobian矩陣可表示為

(9)

式中：Ac為無(wú)黏通量Jacobian矩陣；Av為黏性通量Jacobian矩陣；Aμ為黏性輸運(yùn)系數(shù)變分項(xiàng)對(duì)伴隨方程的貢獻(xiàn)；D為黏性項(xiàng)關(guān)于守恒變量梯度的Jacobian矩陣。對(duì)于高超聲速流動(dòng)，黏性輸運(yùn)系數(shù)對(duì)近壁面流動(dòng)起主導(dǎo)作用，對(duì)壁面壓力和摩阻分布有顯著影響，進(jìn)而影響整個(gè)飛行器的氣動(dòng)性能。湍流輸運(yùn)系數(shù)變分項(xiàng)需要對(duì)湍流模型方程進(jìn)行變分推導(dǎo)，先只考慮層流輸運(yùn)系數(shù)變分項(xiàng)的貢獻(xiàn)，其中層流黏性系數(shù)μlam和層流熱傳導(dǎo)系數(shù)Klam的變分項(xiàng)可以通過(guò)Sutherland公式和層流Prandtl數(shù)Prlam計(jì)算：

(10)

式中：下標(biāo)lam表示層流參數(shù)；T為溫度；μref和Tref為Sutherland公式中的參考黏性系數(shù)和參考溫度；Sref為Sutherland公式中的常數(shù)；cp為定壓比熱。將式(8)代入式(5)的第3項(xiàng)，采用Gauss積分定理和壁面無(wú)滑移條件簡(jiǎn)化可以得到：

(11)

式中：u為速度矢量；φ為與動(dòng)量對(duì)應(yīng)的伴隨變量；S∞為遠(yuǎn)場(chǎng)邊界；K為熱傳導(dǎo)系數(shù)；Σφ和η為中間變量；ψρE為與能量對(duì)應(yīng)的伴隨變量；μ為黏性系數(shù);?n表示法向梯度，式(11)中最后一項(xiàng)體積分項(xiàng)即為與NS方程對(duì)應(yīng)的伴隨方程，設(shè)ψρ為與密度ρ對(duì)應(yīng)的伴隨變量，Lagrange乘子Ψ=[ψρ,φ,ψρE]是與流場(chǎng)守恒變量相對(duì)應(yīng)伴隨變量。其中：

(12)

式中：h為焓值。推導(dǎo)式(11)的目的是建立目標(biāo)函數(shù)與壁面變分的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步推導(dǎo)需要對(duì)NS方程的壁面邊界條件進(jìn)行變分運(yùn)算，建立目標(biāo)函數(shù)變分δJ′和壁面變分δSw的關(guān)系。

1.2 遠(yuǎn)場(chǎng)邊界條件

對(duì)于氣動(dòng)力目標(biāo)函數(shù)，在遠(yuǎn)場(chǎng)邊界可以忽略黏性的影響，式(11)第2項(xiàng)表示在遠(yuǎn)場(chǎng)邊界Γ∞上的積分。高超聲速計(jì)算通常采用小遠(yuǎn)場(chǎng)邊界，伴隨方程邊界條件需要結(jié)合流動(dòng)控制方程邊界條件進(jìn)行分析。伴隨變量在遠(yuǎn)場(chǎng)邊界需滿(mǎn)足

ΨT(Ac·n)δU=0

(13)

將式(13)展開(kāi)，寫(xiě)為初始變量的形可得

(14)

式中：un為邊界法向速度分量；γ為比熱比。

對(duì)于超聲速入口邊界，邊界流場(chǎng)變量密度、速度和壓力均由來(lái)流計(jì)算條件指定，此時(shí)

(15)

已滿(mǎn)足式(13)，不需要對(duì)伴隨變量施加邊界條件。

對(duì)于超聲速出口邊界，邊界流場(chǎng)變量均由流場(chǎng)內(nèi)點(diǎn)決定，此時(shí)

(16)

伴隨變量需滿(mǎn)足

(17)

在超聲速出口邊界Jacobian矩陣均為非零特征值，此時(shí)伴隨方程邊界條件為

(18)

對(duì)于亞聲速出口邊界，需要給定出口背壓，此時(shí)：

(19)

伴隨變量需滿(mǎn)足

(20)

求解得

(21)

式中：c為聲速；ψρE可由流場(chǎng)內(nèi)點(diǎn)插值決定。

1.3 壁面邊界條件

等溫壁面上流動(dòng)控制方程的邊界條件為

(22)

式中：Tw為給定的壁面溫度。線化處理后的變分形式為

(23)

將式(23)代入式(11)，為消除包含流場(chǎng)變量的積分項(xiàng)，得到連續(xù)伴隨方程在等溫壁面的邊界條件：

(24)

式(11)可以轉(zhuǎn)化為

(25)

式(25)中積分項(xiàng)表示氣動(dòng)力目標(biāo)函數(shù)關(guān)于局部壁面變分的靈敏度：

giso=μn·Σφ·?nu+K?nψρE?nT

(26)

式中：下標(biāo)iso表示等溫壁面。

對(duì)于絕熱壁面條件，流動(dòng)控制方程的邊界條件為

(27)

線化處理后的變分形式為

(28)

(29)

氣動(dòng)力目標(biāo)函數(shù)在絕熱壁面關(guān)于局部壁面變分的靈敏度為

(30)

式中：下標(biāo)adi表示絕熱壁面。

1.4 數(shù)值方法

采用基于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的有限體積法對(duì)流動(dòng)控制方程和連續(xù)伴隨方程進(jìn)行求解。對(duì)于流動(dòng)控制方程，對(duì)流項(xiàng)離散格式?jīng)Q定了流場(chǎng)波系結(jié)構(gòu)的求解精度，對(duì)流項(xiàng)離散格式在強(qiáng)激波間斷等位置需要具備強(qiáng)魯棒性和低耗散性，在保證計(jì)算收斂的同時(shí)提高激波捕獲精度。為此采用MUSCL(Monotonic Upstream-centered Scheme for Conservation Laws)格式[14]對(duì)界面變量進(jìn)行重構(gòu)，網(wǎng)格界面上對(duì)流項(xiàng)采用穩(wěn)定性好、計(jì)算精度高的Roe格式[15-16]進(jìn)行離散：

(31)

式中：下標(biāo)ij表示網(wǎng)格控制體j對(duì)i的貢獻(xiàn)，下標(biāo)R、L表示重構(gòu)后界面兩側(cè)流場(chǎng)變量對(duì)應(yīng)的值；下標(biāo)Roe表示界面兩側(cè)流場(chǎng)變量Roe平均后對(duì)應(yīng)的值；PRoe為Roe平均后特征向量構(gòu)成的矩陣；ΛRoe為Roe平均后對(duì)應(yīng)的特征值。為在強(qiáng)激波和聲速點(diǎn)位置滿(mǎn)足熵條件，對(duì)Roe平均特征采用Harten-Yee型熵修正[17]：

(32)

式中：ε*為常數(shù)，通常取0～0.4；cRoe為Roe平均的聲速。

(33)

1.5 優(yōu)化框架

單次優(yōu)化循環(huán)的主要計(jì)算耗時(shí)集中在流動(dòng)控制方程和連續(xù)伴隨方程的求解，連續(xù)伴隨方程求解計(jì)算量與流動(dòng)控制方程相當(dāng)，通過(guò)一次流動(dòng)控制方程和連續(xù)伴隨方程的求解可以得到目標(biāo)函數(shù)關(guān)于所有設(shè)計(jì)變量的梯度，因此伴隨方法具有計(jì)算量與設(shè)計(jì)變量數(shù)目無(wú)關(guān)的優(yōu)勢(shì)，適用于多設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化問(wèn)題。

圖1給出了基于伴隨方法的梯度優(yōu)化流程，首先對(duì)優(yōu)化對(duì)象建立幾何參數(shù)化模型，采用FFD(Free Form Deformation)方法[21-22]對(duì)優(yōu)化對(duì)象壁面進(jìn)行參數(shù)控制。FFD方法可以較少的設(shè)計(jì)變量實(shí)現(xiàn)對(duì)變形物體的光滑連續(xù)控制；對(duì)于三維復(fù)雜外形可以方便地建立參數(shù)化模型；具備較強(qiáng)的局部變形控制能力[23]。通過(guò)網(wǎng)格變形方法將壁面變形傳遞到整個(gè)計(jì)算網(wǎng)格。優(yōu)化對(duì)象氣動(dòng)性能通過(guò)求解RANS(Reynolds-Averaged Navier-Stokes)方程進(jìn)行評(píng)估，伴隨求解器讀取流場(chǎng)變量對(duì)連續(xù)伴隨方程進(jìn)行求解得到目標(biāo)函數(shù)壁面靈敏度，根據(jù)FFD方法將壁面靈敏度映射為目標(biāo)函數(shù)關(guān)于設(shè)計(jì)變量的梯度。梯度優(yōu)化算法采用SQP(Sequential Quadratic Programming)算法[24]，SQP算法根據(jù)目標(biāo)函數(shù)梯度信息開(kāi)展優(yōu)化循環(huán)。

圖1 優(yōu)化流程

2 流場(chǎng)求解器驗(yàn)證

為驗(yàn)證流場(chǎng)求解器精度，對(duì)Sanger飛行器在高超聲速來(lái)流條件下的氣動(dòng)性能計(jì)算[25]，并與AHL3D(Airbreathing Hypersonic Lab 3D)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。AHL3D是中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心開(kāi)發(fā)的大規(guī)模三維數(shù)值模擬軟件，經(jīng)過(guò)了大量研究和工程應(yīng)用驗(yàn)證[26]。AHL3D計(jì)算采用結(jié)構(gòu)網(wǎng)格如圖2所示，結(jié)構(gòu)網(wǎng)格分為49個(gè)塊，第1層網(wǎng)格高度為10-6，網(wǎng)格量約為1 080萬(wàn)，對(duì)流項(xiàng)離散采用AUSM格式，湍流模型采用k-ω剪切應(yīng)力傳輸(Shear Stress Transter,SST)模型。求解器采用非結(jié)構(gòu)混合網(wǎng)格，壁面邊界層采用三棱柱網(wǎng)格，第1層網(wǎng)格高度為10-5，流場(chǎng)中間采用四面體網(wǎng)格，對(duì)流項(xiàng)離散為Roe格式，湍流模型采用帶可壓縮修正的SA模型，計(jì)算條件為來(lái)流馬赫數(shù)6.0、高度35 km，壁面條件為1 000 K等溫壁面。圖3給出了不同攻角下升阻力系數(shù)對(duì)比，本文求解器得到的升阻力系數(shù)相對(duì)AHL3D偏小，阻力系數(shù)相差在5.0%以?xún)?nèi)，升力系數(shù)相差在3.0%以?xún)?nèi)。

圖2 Sanger飛行器結(jié)構(gòu)網(wǎng)格

圖3 Sanger飛行器升阻力系數(shù)對(duì)比

為對(duì)流場(chǎng)求解器網(wǎng)格無(wú)關(guān)性進(jìn)行研究，通過(guò)調(diào)整非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的表面網(wǎng)格尺寸和空間網(wǎng)格增長(zhǎng)率，得到了如圖4所示的3套網(wǎng)格，網(wǎng)格量分別為267萬(wàn)、494萬(wàn)和1 108萬(wàn)，來(lái)流攻角為4°。表1給出了3套網(wǎng)格升阻力系數(shù)計(jì)算結(jié)果，其中相對(duì)誤差為相對(duì)網(wǎng)格3計(jì)算結(jié)果的誤差，升力系數(shù)最大相對(duì)誤差為1.9%，阻力系數(shù)最大相對(duì)誤差為0.8%。

圖4 Sanger飛行器非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格

表1 Sanger飛行器氣動(dòng)力系數(shù)網(wǎng)格靈敏度

3 伴隨求解器驗(yàn)證

采用NACA64A-204翼型對(duì)伴隨方法求解結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，計(jì)算網(wǎng)格采用結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的形式(圖5)，采用FFD方法對(duì)翼型進(jìn)行參數(shù)化控制(圖6)，設(shè)計(jì)變量為FFD控制點(diǎn)沿法向的位移量，來(lái)流條件和計(jì)算設(shè)置與第2節(jié)中相同，攻角為4°。

圖5 NACA64A-204翼型計(jì)算網(wǎng)格

圖6 NACA64A-204翼型FFD模型

圖7 NACA64A-204翼型伴隨方程收斂歷程

圖8 NACA64A-204翼型ψρE云圖

圖9 NACA64A-204翼型伴隨方法與有限差分法梯度對(duì)比

4 Sanger飛行器機(jī)翼優(yōu)化

采用伴隨優(yōu)化框架對(duì)Sanger飛行器進(jìn)行驗(yàn)證和優(yōu)化研究，Sanger飛行器為德國(guó)二級(jí)入軌空天運(yùn)輸系統(tǒng)的一級(jí)飛行器，采用后掠三角翼兼顧中低速氣動(dòng)性能。機(jī)翼為影響整個(gè)飛行器氣動(dòng)性能的主要部件，采用FFD方法對(duì)飛行器機(jī)翼進(jìn)行參數(shù)化控制，上下表面共設(shè)置64個(gè)設(shè)計(jì)變量(圖10)，設(shè)計(jì)變量取值范圍以1～8設(shè)計(jì)變量所在剖面翼型厚度為基準(zhǔn)，為避免機(jī)翼前緣過(guò)度變薄，控制機(jī)翼前緣變形的設(shè)計(jì)變量的取值范圍為基準(zhǔn)的20%，其余設(shè)計(jì)變量的取值范圍設(shè)定為基準(zhǔn)的50%。計(jì)算網(wǎng)格采用第2節(jié)中的網(wǎng)格2(圖4(b))。

圖10 Sanger飛行器機(jī)翼FFD控制模型

為對(duì)連續(xù)伴隨方法進(jìn)行應(yīng)用驗(yàn)證，選擇Sanger飛行器巡航狀態(tài)進(jìn)行優(yōu)化，巡航來(lái)流狀態(tài)為馬赫數(shù)6.0、高度35 km、攻角4°，計(jì)算設(shè)置與第2節(jié)中相同，目標(biāo)函數(shù)選擇升阻比。圖11給出了壁面靈敏度積分值和伴隨變量殘差的收斂歷程，圖中ψρw為與守恒變量ρw對(duì)應(yīng)的伴隨變量，計(jì)算過(guò)程伴隨變量殘差一致收斂，經(jīng)過(guò)2萬(wàn)次迭代求解，翼型壁面靈敏度積分值基本穩(wěn)定，伴隨變量殘差降低了2個(gè)數(shù)量級(jí)以上。圖12給出了伴隨變量ψρE在對(duì)稱(chēng)面的分布云圖，可見(jiàn)采用的數(shù)值離散格式較好地捕捉到了伴隨流場(chǎng)的波系結(jié)構(gòu)。圖13 給出了升阻比壁面靈敏度分布，紅色區(qū)域表示壁面內(nèi)凹時(shí)飛行器升阻比增大，藍(lán)色區(qū)域反之。圖14給出了伴隨方法計(jì)算得到的升阻比關(guān)于設(shè)計(jì)變量梯度與有限差分結(jié)果的對(duì)比，由于設(shè)計(jì)變量數(shù)目較多，只選擇同一控制面上的設(shè)計(jì)變量9～16(機(jī)翼下表面)、41～48(機(jī)翼上表面)進(jìn)行有限差分驗(yàn)證，差分步長(zhǎng)選擇與NACA64A-204算例相同，可見(jiàn)不同步長(zhǎng)得到的有限差分結(jié)果一致性較好，同時(shí)前向差分和后向差分結(jié)果符合較好。從對(duì)比結(jié)果看，相對(duì)二維情況下此時(shí)伴隨方法與有限差分法結(jié)果在數(shù)值上的差異更明顯，這是由于三維情況下流場(chǎng)激波結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，同時(shí)機(jī)翼下表面氣流受到的壓縮更強(qiáng)，這種差異在設(shè)計(jì)變量9～16上更加明顯；但兩種方法得到的結(jié)果變化規(guī)律和正負(fù)分布一致，能夠?yàn)樘荻葍?yōu)化算法提供正確的優(yōu)化方向。

圖11 Sanger飛行器伴隨方程收斂歷程

圖12 Sanger飛行器對(duì)稱(chēng)面ψρE云圖

圖13 升阻比壁面靈敏度

圖14 Sanger飛行器目標(biāo)函數(shù)梯度對(duì)比

圖15給出了飛行器升阻比和3個(gè)站位翼型最大厚度的變化歷程，優(yōu)化循環(huán)共迭代29步，3個(gè)站位的位置分別為0.57(站位1)、0.72(站位2)和0.86(站位3)展寬位置，優(yōu)化過(guò)程中站位1處翼型最大厚度變化較小，站位2和站位3處翼型最大厚度出現(xiàn)明顯下降。飛行器升阻比在第11～20迭代步出現(xiàn)震蕩收斂，這是由于優(yōu)化歷程趨近收斂時(shí)，伴隨梯度精度的不足在一定程度上對(duì)優(yōu)化歷程產(chǎn)生影響，此時(shí)SQP算法通過(guò)減小試探步長(zhǎng)在一定程度上克服了這種影響，從而導(dǎo)致飛行器升阻比出現(xiàn)上下震蕩。表2給出了優(yōu)化前后飛行器升阻比、升阻力系數(shù)和3個(gè)站位翼型相對(duì)厚度的變化，優(yōu)化后飛行器升阻比增加5.0%，升力系數(shù)增加1.8%，阻力系數(shù)減小2.9%，3個(gè)站位翼型厚度分別減小1.8%、23.6%和25.4%。

表2 優(yōu)化結(jié)果

圖15 優(yōu)化歷程

圖16給出了優(yōu)化后飛行器機(jī)翼構(gòu)型變化，優(yōu)化后機(jī)翼上表面局部出現(xiàn)了小幅隆起，機(jī)翼前緣變薄，下表面出現(xiàn)明顯的內(nèi)凹，機(jī)翼構(gòu)型變化與圖13 中壁面靈敏度的分布一致，驗(yàn)證了FFD方法具備較強(qiáng)的局部變形控制能力。圖17給出了3個(gè)站位剖面翼型的變化，機(jī)翼下表面內(nèi)凹使得剖面翼型前緣厚度減小、彎度增加。

圖16 優(yōu)化后Sanger飛行器機(jī)翼構(gòu)型

圖17 3個(gè)站位機(jī)翼構(gòu)型變化

圖18和圖19分別給出了優(yōu)化前后3個(gè)站位壓力系數(shù)沿流場(chǎng)截面和翼型表面的變化，優(yōu)化后機(jī)翼前緣迎風(fēng)面積減小，頭部激波強(qiáng)度減弱，減小了飛行器阻力；氣流經(jīng)過(guò)頭部激波后出現(xiàn)明顯膨脹，在內(nèi)凹拐點(diǎn)處經(jīng)過(guò)二次激波壓縮，大幅增加了機(jī)翼下表面中后部壓力，顯著提高了飛行器的升力；優(yōu)化后站位2上表面壓力由于機(jī)翼隆起出現(xiàn)了小幅度下降，但機(jī)翼上表面壓力變化較小，下表面壓力變化是飛行器升阻比提升的主要因素。圖20給出了優(yōu)化前后機(jī)翼下表面的流場(chǎng)變化，從三維流動(dòng)分析來(lái)看，優(yōu)化后機(jī)翼前緣壓力明顯減小，緊貼機(jī)翼下表面的二次激波封閉了高壓氣流，減少了機(jī)翼前緣高壓氣流的泄流，機(jī)翼下表面高壓區(qū)范圍增大，達(dá)到了減阻增升的效果。

圖19 3個(gè)站位壓力系數(shù)分布變化

圖20 機(jī)翼附近流場(chǎng)變化

5 結(jié) 論

本文構(gòu)建了基于連續(xù)伴隨方法的高超聲速飛行器高精度氣動(dòng)優(yōu)化方法，通過(guò)對(duì)二維翼型和Sanger飛行器機(jī)翼優(yōu)化驗(yàn)證和應(yīng)用得到以下結(jié)論。

1)基于熵修正的Roe格式構(gòu)造了伴隨方程對(duì)流項(xiàng)離散格式，在二維和三維伴隨流場(chǎng)求解過(guò)程中伴隨變量殘差一致收斂，較好地捕捉到了與初始流場(chǎng)共軛的伴隨流場(chǎng)波系結(jié)構(gòu)，表明采用的數(shù)值格式具有較好的魯棒性和低耗散性。

2)基于構(gòu)造的數(shù)值格式，建立了適用于高超聲速流動(dòng)的連續(xù)伴隨求解器，通過(guò)二維翼型算例和Sanger飛行器機(jī)翼優(yōu)化算例的驗(yàn)證分析可知，在高超聲速來(lái)流條件下構(gòu)造的連續(xù)伴隨求解器能夠較好地給出氣動(dòng)力目標(biāo)函數(shù)的梯度信息，但計(jì)算精度一定程度上仍受到強(qiáng)激波的影響。

3)FFD方法具備較強(qiáng)的局部變形控制能力，與基于連續(xù)伴隨方法的梯度優(yōu)化相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了針對(duì)高超聲速飛行器的高精度優(yōu)化。

4)Sanger飛行器機(jī)翼經(jīng)過(guò)優(yōu)化后，機(jī)翼前緣內(nèi)凹，彎度增加，前緣迎風(fēng)面積較小，產(chǎn)生的二次激波壓縮使機(jī)翼下表面壓力顯著增加，飛行器升阻比增加5.0%，達(dá)到了減阻增升的效果。

5)經(jīng)過(guò)本文的驗(yàn)證和應(yīng)用研究可知，連續(xù)伴隨方法是實(shí)現(xiàn)高超聲速飛行器高精度氣動(dòng)優(yōu)化的可行方法。